精品解析：江西省吉安市第一中学2024-2025学年高三下学期全真模拟（二）数学试卷

吉安一中2024-2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 的小数点后第二位的数字是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 4. 如图函数的图象过点三点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 21 6. 在随机事件满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的图象与的图象有且仅有一个公共点 10. 的内角所对的边分别为，且，则（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 11. 设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示： 夹角 0 0 注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和 互余 D. 和 互补 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 13. 若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____ 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某种昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：）有关；科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度 8 10 11 12 14 产卵数 6 11 14 经计算得产卵数y与温度的相关系数，可以判断产卵数y与温度线性相关性很强，又进一步通过最小二乘法求得关于的线性回归方程是 （1）已知，分别求样本数据中温度及产卵数的方差； （2）若，分别求的值. 附：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为. 16. 已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为. （1）如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小； （2）如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近） 17. 已知定点，定直线，动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知动直线与曲线交于点，若点的坐标为为坐标原点，则的面积可以等于2吗？若可以，求满足条件的直线；若不存在，说明理由； （3）已知定点，动点是曲线上的点，求的最小值. 18. 已知数列满足：，其中 （1）已知，令，求数列的通项公式； （2）已知，且对任意都满足：，求数列的通项公式； （3）已知，记，证明 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安一中2024-2025学年度下学期全真模拟考试（二） 高三数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先求解集合，再根据交集的定义求. 【详解】已知， 因为， 所以. 解得， 即. 已知， . 故选：C 2. 已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求. 【详解】， 因为复数为纯虚数，故， 故，故， 故选：B. 3. 的小数点后第二位的数字是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开后进行估值运算即可. 【详解】 故小数点后第二位的数字是0. 故选：A. 4. 如图函数的图象过点三点，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的对称性结合图象得一组相邻的对称中心与对称轴，从而确定函数的最小正周期，即可得的值. 【详解】由图可知点的中点为函数的对称中心， 由于过，则直线为函数的对称轴， 则由图可得，则最小正周期，解得. 故选：C. 5. 已知是等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】本题可先根据等差数列的性质求出，再表示出，进而得到的表达式，最后根据二次函数的性质求最小值. 【详解】在等差数列中，已知， ， 则，解得. 根据等差数列的前项和公式可得. 所以， 将其看作关于的二次函数，二次函数， 当时，取得最小值，最小值为 . 故选：B 6. 在随机事件满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件判断事件与的关系，再结合已知概率求出. 【详解】已知，根据条件概率公式，可得，即. 因为表示不发生且发生，所以，那么. 又因为，所以，展开可得，得到，则与相互独立. 已知，可得. 因为事件与相互独立，所以，将，代入可得： 故选：B. 7. 已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】上下底面的半径分别为，则由题设可得且，求出后结合公式可求圆台的体积. 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为， 上下底面的半径分别为，一条母线为， 因为展开图扇环的面积为，故， 而半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切， 故，且， 故且，故， 故圆台的体积为 故选：B. 8. 已知双曲线的实轴长等于8，等腰梯形的四个顶点均在双曲线上，边都与轴平行，其中在轴下方，且；又等腰梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰梯形的性质，设出坐标，代入双曲线中，求出双曲线参数，求得离心率. 【详解】如图所示，，等腰梯形的高等于3，设，则，实轴长等于8，则双曲线， 代入可得，可得，代入得， 化简得，解得或，因为，所以，代入得， 双曲线中，则离心率为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，函数的图象与的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的定义域为 D. 的图象与的图象有且仅有一个公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由单调性判断A；计算判断B；求出函数值域判断C；构造函数并利用导数确定零点个数判断D. 【详解】对于A，函数在上单调递增，因此，A正确； 对于B，， 因此，B错误； 对于C，，则，，函数的值域为， 由函数的图象与的图象关于直线对称，得函数与互为反函数， 因此的定义域为，C正确； 对于D，由函数的图象与的图象关于直线对称， 得的图象与的图象的交点在对称轴上，因此函数的图象与的图象交点个数即为为直线与的图象交点个数，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而，因此函数有唯一零点， 的图象与的图象有且仅有一个公共点，D正确. 故选：ACD 10. 的内角所对的边分别为，且，则（ ） A. 若，则为锐角三角形 B. 的最大值为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两角和在正切公式判断A；根据两角差在正切公式结合基本不等式判断B；根据正弦定理判断C；根据正弦定理，结合余弦定理判断D. 【详解】对于A选项，已知，且，则，. . 当时，，所以，. A，B，C均为锐角，所以为锐角三角形，A选项正确. 对于B选项，. 令，，则. 根据均值不等式（当且仅当，即时取等号）. 所以. 因为A，B是三角形内角，所以，则的最大值为，B选项正确. 对于C选项，若，由正弦定理可得. . 又因为，即，. 所以，因为，则，. 因为，所以，C选项错误. 对于D选项，由可得，即. 根据正弦定理（为外接圆半径），则，. 再根据余弦定理，. 所以，化简可得，D选项正确. 故选：ABD. 11. 设直线 两两垂直，且三条直线与平面 所成角如下表所示： 夹角 0 0 注： 夹角为 0 表示相应直线和平面平行.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 和 互余 D. 和 互补 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题目所给条件可在空间直角坐标系中研究问题，利用线面角公式可取各个平面的一个法向量，计算其余各角的大小. 【详解】设空间直角坐标系中，直线对应的方向向量分别为,平面的法向量分别为. 不妨设直线方向向量与法向量的夹角，由题意得， ， 两式相除得 ，可取，同理可取， 所以， 所以. 故选： CD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间向量解决线面角问题，具体思路如下： （1）根据所给条件把直线和平面放在空间直角坐标系中，设直线的方向向量和平面的法向量. （2）利用题目中的已知角结合线面角公式可取各个平面的一个法向量. （3）根据所取法向量和直线的方向向量求其他线面角的大小. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 13. 若直线 上有且仅有一点 ，使得 ，则直线 被圆 截得的弦长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线上有且仅有一点使得，得出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长计算公式求出弦长. 【详解】因为直线上有且仅有一点，使得，这意味着直线与以原点为圆心，半径为的圆相切. 则原点到直线的距离为： 由于直线与以原点为圆心，半径为的圆相切，所以，即. 已知圆，其圆心为，半径. 由前面可知圆心到直线的距离. 根据圆的弦长计算公式，可得直线被圆截得的弦长为： . 故答案为：. 14. “素数”是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其它正整数整除的数，例如2､3､都是素数；“孪生素数”是指相差为2的两个素数，例如都是“孪生素数”；关于“孪生素数”有一个著名的猜想：自然数中存在无穷多对“孪生素数”；2013年数学家张益唐证明了“存在无穷多对素数，它们的差不超过7000万”，2014年陶哲轩等数学家证明了“存在无数多对素数，它们的差不超过246”；现在某同学要从小于20的素数中取出4个，则取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率=__________. 【答案】 【解析】 【分析】分两个是“孪生素数”分别是或或或逐个确定，再结合古典概率模型概率计算公式即可求解. 【详解】小于20的素数共有，8个， 其中“孪生素数”有4对， 若取，则不能取7，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，则不能取3，从中取2个，同时和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 若取，再从中取2个，同时，，和不能同时出现，故有种， 总共有， 而从个数中取出4个共有种， 所以取出的4个素数中恰有两个是“孪生素数”的概率为， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某种昆虫的产卵数y（单位：个）与一定范围内的温度（单位：）有关；科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究，观测得到样本数据如下： 温度 8 10 11 12 14 产卵数 6 11 14 经计算得产卵数y与温度的相关系数，可以判断产卵数y与温度线性相关性很强，又进一步通过最小二乘法求得关于的线性回归方程是 （1）已知，分别求样本数据中温度及产卵数的方差； （2）若，分别求的值. 附：参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差公式计算即可；（2）求出，样本中心代入方程进而得到，得到联立解题. 【小问1详解】 ， ， 又由，得：， 解得：. 【小问2详解】 , 由得：①. 又由得. 即：②. 联立①，②得： 16. 已知圆锥的顶点为，底面圆的直径的长度为4，母线长为. （1）如图1所示，若为圆上异于点的任意一点，当三角形的面积达到最大时，求二面角的大小； （2）如图2所示，若，点在线段上，一只蚂蚁从点出发，在圆锥的侧面沿着最短路径爬行一周到达点，在运动过程中，上坡的路程是下坡路程的3倍，求线段的长度.（上坡表示距离顶点越来越近） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判断为钝角，当且仅当时最大，以为坐标原点建立空间直角坐标系求解. （2）将圆锥的侧面展开成扇形，在中，过作的垂线，设垂足为由题意知，利用及向量运算求得的长度. 【小问1详解】 由，易得圆锥的高 ，所以，所以为钝角， ，当且仅当时取等号， （满足条件的点有两种对称位置，只研究其中的一种） 此时易得，在直角三角形中，由勾股定理得，， 从而为等边三角形， 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量， 即 令，得，所以， 取平面的法向量， 设二面角的平面角为，显然为锐角， ，所以二面角的大小为； 【小问2详解】 将圆锥的侧面展开成扇形如图，扇形的弧长为，扇形的半径， 则扇形的圆心角， 在中，过作的垂线，设垂足为 在段距离顶点越来越近为上坡，段为下坡，所以， 设，易得， 因为，所以， 即，得， 解得，即. 17. 已知定点，定直线，动点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）已知动直线与曲线交于点，若点的坐标为为坐标原点，则的面积可以等于2吗？若可以，求满足条件的直线；若不存在，说明理由； （3）已知定点，动点是曲线上的点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）不存在，理由： 当直线的斜率不存在时，的面积为，不合题意； 当直线的斜率存在时，设，， 由消去得， 则，， 又点到直线的距离，由 整理得：或，而两个方程均无实数解， 所以不存在满足条件的直线. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简求解即可. （2）按直线的斜率是否存在分类，结合给定的面积列出方程求解判断. （3）利用轨迹的定义及椭圆的定义，将转化为点到点的距离与到直线的距离和求解. 【小问1详解】 设，点到直线的距离为， 由，得，化简得：. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设点到直线的距离为，到直线的距离为， 则，又，根据椭圆的第二定义，得，即， 于是， 因此，，过作直线的垂线为垂足， 则，当且仅当点时取等号， 所以的最小值等于. 18. 已知数列满足：，其中 （1）已知，令，求数列的通项公式； （2）已知，且对任意都满足：，求数列的通项公式； （3）已知，记，证明 【答案】（1） （2） （3） 由可推出， ，从而可得数列是递增数列. 由， 得：， ， 由得： 【解析】 【分析】（1）利用对数运算可得，结合构造法可求通项； （2）由题设中的两个递推关系构成的方程组求解后可得； （3）利用裂项相消法可求可证题设中的不等式成立. 【小问1详解】 由得， ，即，， ，是等比数列，首项为2，公比为， 即； 【小问2详解】 由得：， 又得：， 两式相减得：， 得：或， 当时，代入①得：解得：， 当时，代入①得：解得：， . 【小问3详解】 略 19. 记．已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】（1） 函数和＂2次缠绕＂， 理由如下：，当和时，， 则对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由＂次缠绕＂定义可知和在上＂2次缠绕＂． （2）； （3） 方法一：取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立． 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且和在上＂次缠绕＂． 方法二：记，取， 设，其中，则， 且当时，， 因为， 所以与同号，（＊） 为奇数时，设， 显然，且， 当时，与同号， 由（＊），（＊＊）式知，对给定，任意，与同号； 所以． 为偶数时，设， 同理可知，，且和“次缠绕”． 综上，存在，使得， 且和在上“次缠绕” 【解析】 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）方法一：取，令，则，且，即可证明存在，则证明了结论；方法二： 记，取，设，再对分奇数和偶数讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 因为和在上＂3次缠绕＂， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立， 所以是的三个零点． 注意到，所以1是的一个零点． ， ①当时，在上单调递增， 1是的唯一零点，不合题意． ②当时，在上单调递减， 1是的唯一零点，不合题意． ③当时，令，存在两根， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上单调递减，所以，即， 所以存在． 又， 所以存在． 所以恒成立， 即时，和在上＂3次缠绕＂， 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $