专题05 不等式与不等式组（7大题型）（河南专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01 不等式的性质 题型02 解一元一次不等式 题型03 一元一次不等式的应用 题型04 求不等式组的解集 题型05 求不等式组的整数解 题型06 由不等式组的解集情况求参数 题型07 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )不等式的性质 1．（2025·河南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河南·二模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式性质，根据不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由，可知，该选项错误，不符合题意； B、由，可知，该选项错误，不符合题意； C、由，可知，该选项错误，不符合题意； D、由，可知，该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式性质，熟记不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式），不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个正数，不等式方向不变；不等式两边同时乘以一个负数，不等式方向改变，是解决问题的关键． ( 题型02 )解一元一次不等式 3．（2025·河南安阳·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过移项、合并同类项、系数化为求解不等式的解集，再依据解集判断其在数轴上的正确表示．本题主要考查一元一次不等式的解法（移项、合并同类项、系数化为 ）及解集在数轴上的表示（实心点表示包含该点，折线方向体现不等号方向 ）．熟练掌握不等式变形规则和数轴表示解集的方法是解题关键，同时要留意题目可能存在的输入误差，结合选项合理分析． 【详解】解： ： ； ； ． 把表示在数轴上为 故选：B． 4．（2025·河南开封·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集并在数轴上表示，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀！同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．再根据包含等于号用实心表示，不包含等于号就用虚心表示即可． 【详解】解：解，解得：， 则不等式组的解集为：， 则在数轴上表示如下：， 故选：C 5．（2025·河南驻马店·二模）不等式的非正整数解有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，正确地解不等式，求出解集是解答本题的关键． 去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式，根据解集找出非正整数解的个数即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1得， ∴非正整数解有，，0，共3个． 故答案为：3． 6．（2025·河南焦作·二模）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数轴得到，解不等式组即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 7．（2025·河南开封·二模）（1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），画图见解析；（2） 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，分式的混合运算，化简求值； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1得到不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）先计算括号内分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 在数轴上表示其解集如下： ． （2） ； ∵， ∴， ∴原式． 8．（2025·河南鹤壁·二模）关于的不等式有正数解，则m的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式、不等式的整数解等知识点，掌握确定不等式整数解的方法成为解题的关键． 解不等式可得，再根据不等式有正数解确定m的取值范围即可解答． 【详解】解：， 移项可得：， 两边同时乘以，不等号方向改变，得． ∵不等式有正数解， ∴，解得：，m的值可以是2等． 故答案为2． 9．（2025·河南·二模）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：， 故的值可以是． 故选：D． ( 题型03 )一元一次不等式的应用 10．（2025·河南焦作·二模）月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． (1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元 (2)五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设豆沙月饼每盒的进价为，根据题意列方程即可求解； （2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为，先根据题意列出关于的不等式，求出的范围，再列出与的解析式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设豆沙月饼每盒的进价为， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 五仁月饼每盒的进价为（元）， 答：五仁月饼每盒的进价为元，豆沙月饼每盒的进价为元； （2）设五仁月饼有盒，则豆沙月饼有盒，利润为， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的增大而增大， 当时，最大，最大值为（元）， 五仁月饼购进，豆沙月饼购进盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润是元． 11．（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元 (2)共有3种购买方案 (3)当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元，根据“用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件”列分式方程，求解并检验即可； （2）设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据“购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元”列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，令表示总费用，求出一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款纪念品的单价为元，则款纪念品的单价为元， 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．则． 答：款纪念品的单价为30元，款纪念品的单价为20元． （2）解：设购进款纪念品件，则购进款纪念品件，根据题意，得 ，解得． 款纪念品的数量不少于款纪念品数量的一半， ， 解得． ． 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种购买方案． （3）解：在（2）的条件下，令表示总费用，则． ， 随着的增大而增大． 当时，取得最小值， 最小值为． 答：当购买8件款纪念品，16件款纪念品时，所花费用最低，最低费用为560元． 12．（2025·河南许昌·二模）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 【答案】(1)甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元 (2)甲种钢笔式毛笔至少购买25套 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键； （1）设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套，依题意列出表达式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种钢笔式毛笔的进价为x元，则乙种钢笔式毛笔的进价为元， 依题意可列方程为， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合实际意义， 所以 答：甲、乙两种钢笔式毛笔的进价分别为8元、12元； （2）设甲种钢笔式毛笔购买了a套，则乙种钢笔式毛笔购买了套． 依题意可得：， 解得， 最小整数为， 答：甲种钢笔式毛笔至少购买25套． 13．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 14．（2025·河南郑州·二模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元 (2)商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元 【分析】本题考查了一次函数，一元一次方程，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元，根据“销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元”建立一元一次方程求解； （2）设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，由“款摆件的数量不超过款摆件数量的”建立不等式求出的取值范围，再设利润为元，求出关于的函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件款摆件的利润为元，则每件款摆件的利润元， 由题意得：， 解得：， 则， 答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元； （2）解：设商店购进款摆件个，则购进款摆件个， 由题意得：， 解得：， 设利润为元，则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，利润最大为：（元）， 此时（个）， 答：商店购进款摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元． 15．（2025·河南周口·二模）某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． (1)求甲、乙两种花木的单价； (2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 【答案】(1)甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元 (2)购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元，根据题意列方程组求解即可； （2）设需要购买棵甲种花木，总费用为W元，先列不等式求得，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲种花木的单价是元，乙种花木的单价为元， 由题意得：，解得：， 答：甲种花木的单价是90元，乙种花木的单价是60元； （2）解：设需要购买棵甲种花木，则购买棵乙种花木， 由题意得：，解得：， 设总费用为W元， 则， ∵， ∴当时，取最小值， 此时乙种花木的数量为（棵）， 答：购买甲种花木80棵，乙种花木40棵，总费用最少． 16．（2025·河南周口·二模）某校需要购买一批酒精灯和漏斗，已知购买20个酒精灯和20个漏斗需要160元；购买10个酒精灯和30个漏斗需要120元． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)若该校计划购买酒精灯和漏斗共300个，并且漏斗少于酒精灯的1.2倍，请你写出最省钱的购买方案和该方案所需的费用． 【答案】(1)酒精灯单价为6元，漏斗单价为2元． (2)最省钱的购买方案是购买酒精灯137个，漏斗163个，此方案共需花费1148元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，一元一次不等式的应用等，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键． （1）设酒精灯的单价为a元，漏斗的单价为b元，根据题目中的购买总价关系列出二元一次方程组，利用消元法或代入法求解即可； （2）设该校计划购买酒精灯个，则漏斗购买个，根据数量约束条件(漏斗少于酒精灯的1.2倍)建立不等式，确定购买数量的范围，再结合总费用函数，通过分析函数的单调性找到最小值即可． 【详解】（1）解：设酒精灯的单价为a元，漏斗的单价为b元． 根据题意得：， 解得，， 答：酒精灯单价为6元，漏斗单价为2元． （2）解：设该校计划购买酒精灯个，则漏斗购买个． 由题意可得：， 解得：， 设购买所需费用为元，则， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，最小为（元） 最省钱的购买方案是购买酒精灯137个，漏斗163个，此方案共需花费1148元． ( 题型0 4 )求不等式组的解集 17．（2025·河南焦作·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解出各不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：D． 18．（2025·河南周口·二模）如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法，求出每个不等式的解集，找出公共部分即可得到不等式组的解集，然后根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式的， ∴不等式组的解集为， 可得数轴上c的值满足不等式组， 故选：C． 19．（2025·河南濮阳·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求解是解题的关键；分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 20．（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，理解解法是解答关键． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再利用确定不等式组解集的方法求解． 【详解】解：在不等式组中 由得 解得， 由得， 解得， 不等式组的解集是． 故答案为：． 21．（2025·河南周口·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式组的解集；先把不等式两边同时乘2，再移项，最后系数化为1即可求出． 【详解】解： 不等式两边同时乘2： 移项： 系数化为1：； 故答案为：． 22．（2025·河南信阳·二模）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再结合数轴即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 23．（2025·河南平顶山·二模）下列不等式中，与组成不等式组的解集为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解集，首先计算出不等式的解集，再根据不等式的解集确定方法；小小取较小可确定另一个不等式的解集，进而选出答案． 【详解】解：， 解得， A．组成的不等式组的解集为，故本选项不符合题意； B．组成的不等式组的解集为，故本选项符合题意； C．组成的不等式组的解集为，故本选项不符合题意； D．组成的不等式组无解，故本选项不符合题意． 故选：B． 24．（2025·河南南阳·二模）若点在第四象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的特点、解一元一次不等式组，首根据点在第四象限，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ， 解得：． 故选：A． 25．（2025·河南新乡·二模）下列不等式中，与组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤，求出不等式的解集．先求出不等式为，然后根据数轴得出不等式组的解集为，再得出这个不等式即可． 【详解】解：由不等式得：， 根据数轴可知，不等式组的解集为， ∴这个不等式是， 故选：D． 26．（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上确定出解集，判断即可． 【详解】解：解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示解集为：； 故选：D． 27．（2025·河南新乡·二模）已知由两个不等式组成的一元一次不等式组的解集为，其中一个不等式是，则另一个不等式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式解集与不等式组之间的关系，解题关键是依据“同小取小”原则，找到解为x小于等于0的另一个不等式． 先求解已知不等式得出．依据不等式组解集“同小取小”原则，找另一个解为x小于某非负数的不等式． 【详解】解：∵不等式， 两边同时除以，得． 根据“同小取小”的原则（即两个不等式都是小于号，取较小的那个范围作为解集）． ∴另一个不等式只要满足其解是小于某个数，且这个数大于等于即可． ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 28．（2025·河南信阳·二模）下列四个不等式组中，无解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的解集，根据确定不等式组的解集的方法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解，逐一判断即可． 【详解】解：A. 的解集为，故该选项不符合题意；     B. 无解，故该选项符合题意；     C. 的解集为，故该选项不符合题意；     D. 的解集为，故该选项不符合题意； 故选：B． 29．（2025·河南郑州·二模）不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分的解集，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由得， ∴， 解得， ∴由得， ∴， 解得， 故不等式组的解集是， 故答案为：． ( 题型0 5 )求不等式组的整数解 30．（2025·河南漯河·二模）请写出一个不等式，使其与不等式组成的不等式组只有一个整数解： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据题意，得出x的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：由得，， 当时，符合条件的整数解只有． 故答案为：（答案不唯一）． 31．（2025·河南周口·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，先求出不等式组的解集，进而得出不等式组的所有整数解，再相加即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，，， ∴所有整数解的和为， 故答案为：． 32．（2025·河南驻马店·二模） （1） 计算： （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解有：、． 【分析】本题考查了实数的混合运算，不等式组的解集，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先计算负指数幂，立方根，零指数幂，然后先计算除法，最后计算减法即可； （2）分别解不等式，然后得到不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 （2） 解①，得 解②，得 ． 整数解有：、． 33．（2025·河南·二模）关于的不等式组的整数解的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有、， ， 故答案为：． 34．（2025·河南·二模）不等式组 的最大整数解是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可． 【详解】解：由，得：； 由，得：， 不等式组的解集为：； 最大整数解是2； 故答案为：2 35．（2025·河南·二模）不等式组 的正整数解的和为 . 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练运用不等式性质解一元一次不等式是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再确定正整数解，最后进行计算即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为： ∴正整数解为1，2 即 故答案为：3． ( 题 型 0 6 )由不等式组的解集情况求参数 36．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，分别解不等式，再根据不等式组解，得出． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组有解， ， 故答案为：． 37．（2025·河南驻马店·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确理解大大小小找不到．首先解出第一个不等式的解集，再根据大大小小找不到确定的取值范围． 【详解】解： ， 解①得：， 解得：， 不等式组无解， ， 故答案为：． 38．（2025·河南郑州·二模）若是一元一次不等式组的一个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，根据同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】解：∵是一元一次不等式组的一个整数解， ∴． 故答案为：． 39．（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的整数解，根据有且仅有两个整数解可得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 故答案为：． ( 题 型 0 7 )一元一次不等式组的应用 40．（2025·河南·二模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)节后每千克A粽子的进价为10元 (2)①；②节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元 【分析】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据节前用480元购进A粽子的数是节后用200元购进的数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据总费用不超过4600元，列出不等式，解不等式即可； ②设获得的利润为w元，根据利润售价进价列出关系式，根据总费用不超过4600元，根据m的范围，一次函数函数增减性，求出最大利润即可． 【详解】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合实际， 答：节后每千克A粽子的进价为10元． （2）解：①设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得： ， 解得：； ②获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w取最大值，且最大值为：， 答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元． 41．（2025·河南·二模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 (1)若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ (2)设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆； (2)①；②租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元 【分析】（1）设租用甲型号的大客车x辆，根据“租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地”列一元一次方程，求解即可； （2）①租用甲型号的大客车x辆，根据租车费用列出一次函数，再根据题意列不等式组求得x的取值范围；②利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， 解得， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆； （2）解：①设租用甲型号的大客车x辆，则租用甲型号的大客车辆， 依题意得， ，解得， ∴； ②∵， ∴当时，y有最小值，最小值为12800， ， 答：租用甲型号的大客车8辆，租用甲型号的大客车4辆时，费用最少，为12800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 题型概览 题型01 不等式的性质 题型02 解一元一次不等式 题型03 一元一次不等式的应用 题型04 求不等式组的解集 题型05 求不等式组的整数解 题型06 由不等式组的解集情况求参数 题型07 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )不等式的性质 1．（2025·河南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·二模）已知，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )解一元一次不等式 3．（2025·河南安阳·二模）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南开封·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南驻马店·二模）不等式的非正整数解有 个． 6．（2025·河南焦作·二模）如图，点是数轴上，之间的一个动点（不与，重合），则的取值范围是 ． 7．（2025·河南开封·二模）（1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）已知，求代数式的值． 8．（2025·河南鹤壁·二模）关于的不等式有正数解，则m的值可以是 （写出一个即可）． 9．（2025·河南·二模）若关于的方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． ( 题型03 )一元一次不等式的应用 10．（2025·河南焦作·二模）月饼象征团圆，是中华传统节日中秋节的必备美食．郑州市某品牌五仁月饼的进价比豆沙月饼的进价每盒多元，某超市用元购进的五仁月饼盒数与元购进的豆沙月饼盒数相同． (1)求五仁月饼和豆沙月饼每盒的进价； (2)该超市五仁月饼每盒售价为元，豆沙月饼每盒售价为元，根据市场需求，该超市计划用不超过元的总费用购进五仁月饼和豆沙月饼共盒进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 11．（2025·河南南阳·二模）开封万岁山武侠城旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．已知A款纪念品的单价是B款纪念品单价的1.5倍，用600元单独购买A款纪念品比单独购买B款纪念品要少10件． (1)求A，B两款纪念品的单价分别为多少元． (2)某校综合实践活动小组的同学游览开封万岁山武侠城后，他们决定购买A，B两款纪念品共24件，且投入的经费不超过580元，要使购买的A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，则共有几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，应如何购买才能使所花费用最低？最低费用为多少元？ 12．（2025·河南许昌·二模）“一笔一世界，一划一时光”，如图是一款便携小楷软笔头——钢笔式毛笔，它巧妙地将传统毛笔的韵味和现代钢笔的便捷融为一体，让书写变得更加自由流畅．某商家欲购进甲、乙两种钢笔式毛笔进行销售．已知一套甲种钢笔式毛笔比一套乙种钢笔式毛笔进价少4元，且用480元购买甲种钢笔式毛笔的数量是用360元购买乙种钢笔式毛笔数量的2倍． (1)求这两种钢笔式毛笔的进价分别为多少元？ (2)若购买的甲乙两种钢笔式毛笔的总数量为50套，且总费用不超过500元，则甲种钢笔式毛笔至少购买多少套？ 13．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 14．（2025·河南郑州·二模）2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元． (1)求，两款摆件每个的利润分别是多少？ (2)若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？ 15．（2025·河南周口·二模）某社区以建设“口袋公园”为重点，有效利用社区的边边角角，为业主打造更多的绿地空间和休闲去处．为此社区中心准备购买甲、乙两种花木，用来美化“口袋公园”，经问询得知，甲种花木的单价比乙种花木的单价高30元，购买2棵甲种花木的费用与购买3棵乙种花木的费用相同． (1)求甲、乙两种花木的单价； (2)现需要购买甲、乙两种花木共120棵，且要求甲种花木的棵数不少于乙种花木棵数的2倍，请你设计一种总费用最少的购买方案． 16．（2025·河南周口·二模）某校需要购买一批酒精灯和漏斗，已知购买20个酒精灯和20个漏斗需要160元；购买10个酒精灯和30个漏斗需要120元． (1)求酒精灯和漏斗的单价； (2)若该校计划购买酒精灯和漏斗共300个，并且漏斗少于酒精灯的1.2倍，请你写出最省钱的购买方案和该方案所需的费用． ( 题型0 4 )求不等式组的解集 17．（2025·河南焦作·二模）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·河南周口·二模）如图，数轴上四点表示的数是不等式组的解的是（　　） A．a B．b C．c D．d 19．（2025·河南濮阳·二模）不等式组的解集是 ． 20．（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集是 ． 21．（2025·河南周口·二模）不等式组的解集是 ． 22．（2025·河南信阳·二模）已知关于的不等式组，其中在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为 ． 23．（2025·河南平顶山·二模）下列不等式中，与组成不等式组的解集为的是（   ） A． B． C． D． 24．（2025·河南南阳·二模）若点在第四象限，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·河南新乡·二模）下列不等式中，与组成的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南南阳·二模）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 27．（2025·河南新乡·二模）已知由两个不等式组成的一元一次不等式组的解集为，其中一个不等式是，则另一个不等式可以是 ． 28．（2025·河南信阳·二模）下列四个不等式组中，无解的是（     ） A． B． C． D． 29．（2025·河南郑州·二模）不等式组的解集是 ． ( 题型0 5 )求不等式组的整数解 30．（2025·河南漯河·二模）请写出一个不等式，使其与不等式组成的不等式组只有一个整数解： ． 31．（2025·河南周口·二模）不等式组的所有整数解的和为 ． 32．（2025·河南驻马店·二模） （1） 计算： （2）解不等式组，并写出它的整数解． 33．（2025·河南·二模）关于的不等式组的整数解的和是 ． 34．（2025·河南·二模）不等式组 的最大整数解是 ． 35．（2025·河南·二模）不等式组 的正整数解的和为 . ( 题 型 0 6 )由不等式组的解集情况求参数 36．（2025·河南周口·二模）关于x的不等式组 有解，则实数m的取值范围是 ． 37．（2025·河南驻马店·二模）不等式组无解，则的取值范围是 ． 38．（2025·河南郑州·二模）若是一元一次不等式组的一个整数解，则的取值范围是 ． 39．（2025·河南南阳·二模）若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． ( 题 型 0 7 )一元一次不等式组的应用 40．（2025·河南·二模）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用480元购进A粽子的数量是节后用200元购进的数量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： (1)该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？ (2)如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元．设节前购进A粽子m千克， ①求m的取值范围． ②按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？ 41．（2025·河南·二模）学校决定按年级开展师生研学活动，该校八年级师生共580人将参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲、乙两种型号的大客车，它们的满座载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 满座载客量（人/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1200 800 (1)若租用的12辆大客车恰好能一次将八年级师生送到研学基地，求应分别租用甲、乙型号的大客车多少辆？ (2)设租用甲型号大客车x辆，租车总费用为y元． ①求出y（元）与x（辆）的函数关系式，并求出x的取值范围； ②当租用甲型号大客车多少辆时，租车的总费用最少，最少费用是多少？ 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$