专题03 方程（组）及不等式（组）（12大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题03 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 解二元一次方程组 题型02 二元一次方程组的应用 题型03 一元二次方程根的判别式 题型04 一元二次方程根与系数的关系 题型05 一元二次方程的应用 题型06 解分式方程 题型07 分式方程的应用 题型08 利用不等式的性质解题 题型09 求一元一次不等式的解集 题型10 一元一次不等式的应用 题型11 求不等式组的解集 题型12 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )解二元一次方程组 1．（2025·福建漳州·二模）解方程组：． 2．（2025·福建三明·二模）解方程组： ( 题型02 )二元一次方程组的应用 3．（2025·福建·二模）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表： 分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦 1克碳水化合物 1 1.5 15 1克脂肪 3 3 45 请解答下列问题： (1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克． (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟） 4．（2025·福建宁德·二模）已知我市某景区成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人．暑假期间，小明与小红两家共8人一同前往该景区游玩，一共支付门票520元．用二元一次方程组解决该问题时，若设成人有人，儿童有人，已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是 ． 5．（2025·福建福州·二模）为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 6．（2025·福建·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·福建·二模）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． (1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 8．（2025·福建三明·二模）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 9．（2025·福建三明·二模）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·福建龙岩·二模）学校积极开展“阳光体育”活动，某班需要购买，两种跳绳，已知购买1根型跳绳和2根型跳绳共需40元；购买3根型跳绳和3根型跳绳共需75元． (1)购买1根型跳绳和1根型跳绳各需多少元？ (2)若班级计划购买，两型跳绳共50根，型跳绳根数不少于型跳绳根数的2倍，设购买型跳绳根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？ ( 题型03 )一元二次方程根的判别式 11．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 12．（2025·福建·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 13．（2025·福建厦门·二模）已知整式． (1)化简该整式； (2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 14．（2025·福建三明·二模）下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )一元二次方程根与系数的关系 15．（2025·福建·二模）若，是方程的两个根，则的值为 ． 16．（2025·福建·二模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 ( 题型0 5 )一元二次方程的应用 17．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 18．（2025·福建泉州·二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 19．（2025·福建三明·二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为 ． 20．（2025·福建漳州·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 21．（2025·福建·二模）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则 ． 22．（2025·福建厦门·二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力，现已培育出100种农作物种子．若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则列出符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )解分式方程 23．（2025·福建厦门·二模）解方程： 24．（2025·福建南平·二模）解分式方程：． ( 题型0 7 )分式方程的应用 25．（2025·福建厦门·二模）林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（2025·福建·二模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 28．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 29．（2025·福建·二模）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 8 )利用不等式的性质解题 30．（2025·福建·二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 31．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． ( 题型0 9 )求一元一次不等式的解集 32．（2025·福建宁德·二模）不等式的解集是 ． 33．（2025·福建三明·二模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 34．（2025·福建·二模）不等式的解集是 ． ( 题型 10 )一元一次不等式的应用 35．（2025·福建福州·二模）为迎接2025中国（福州）国际渔业博览会，某厂家计划生产A，B两款创意海鲜公仔，总产量（单位：个）为20000．厂家经过市场调研与财务核算，制定了营销策略，相关信息如下表： 成本（元／个） 定价（元／个） 产量（单位：个） A款公仔 25 35 B款公仔 150 180 ① 总利润与的关系式：② (1)请直接写出表格中的①，②； (2)若A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，且生产的公仔全部售出，求可获取的最大利润． 36．（2025·福建泉州·二模）某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是 （只要写出一个满足条件的m即可） 37．（2025·福建南平·二模）某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． ( 题型 11 )求不等式组的解集 38．（2025·福建·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 39．（2025·福建·二模）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 40．（2025·福建三明·二模）解不等式组，并写出它的整数解． ( 题型 12 )一元一次不等式组的应用 41．（2025·福建·二模）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 42．（2025·福建·二模）在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A．10＜x＜14 B．11＜x＜14 C．14＜x＜15 D．x＞15 43．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01 解二元一次方程组 题型02 二元一次方程组的应用 题型03 一元二次方程根的判别式 题型04 一元二次方程根与系数的关系 题型05 一元二次方程的应用 题型06 解分式方程 题型07 分式方程的应用 题型08 利用不等式的性质解题 题型09 求一元一次不等式的解集 题型10 一元一次不等式的应用 题型11 求不等式组的解集 题型12 一元一次不等式组的应用 ( 题型01 )解二元一次方程组 1．（2025·福建漳州·二模）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①②得， 解得， 将代入②得， 原方程组的解为． 2．（2025·福建三明·二模）解方程组： 【答案】 【分析】根据题意①＋②得，回代计算y值即可． 本题考查了解方程组，熟练选择方法是解题的关键． 【详解】解： ①＋②得， ． 将代入①得， ． 所以方程组的解是 ( 题型02 )二元一次方程组的应用 3．（2025·福建·二模）身体每天消耗的热量主要由碳水化合物和脂肪（不考虑蛋白质及其他有机物）提供．碳水化合物和脂肪分解时所消耗的氧气、生成的二氧化碳、释放的热量三个方面的相关数据如下表： 分解的营养物质 氧气消耗量/克 二氧化碳生成量/克 释放热量/千焦 1克碳水化合物 1 1.5 15 1克脂肪 3 3 45 请解答下列问题： (1)研究人员测出小祺在某次运动中平均每分钟消耗氧气2.5克，产生二氧化碳3克，求小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物与脂肪各多少克． (2)已知小祺骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，小祺某天骑脚踏车和快走共1小时，若要消耗完40克碳水化合物与20克脂肪分解后释放的热量，小祺至少需要分配多少分钟进行快走？（精确到1分钟） 【答案】(1)小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克 (2)小祺至少需要分配43分钟进行快走 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车，由此列不等式求解，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物克，脂肪克， 根据题意，得， 解得， 答：小祺的身体平均每分钟分解碳水化合物1克，脂肪1.5克． （2）解：设小祺分配分钟进行快走，则分配分钟骑脚踏车， 根据题意，得， 解得， ∵结果精确到1分钟， ∴的最小值为43， 答：小祺至少需要分配43分钟进行快走． 4．（2025·福建宁德·二模）已知我市某景区成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人．暑假期间，小明与小红两家共8人一同前往该景区游玩，一共支付门票520元．用二元一次方程组解决该问题时，若设成人有人，儿童有人，已经列出的一个方程是，则符合题意的另一个方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了二元一次方程组的应用，设成人有人，儿童有人，根据“成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人，一共支付门票520元”，列出方程即可． 【详解】解：设成人有人，儿童有人，根据“成人门票为80元/人，儿童门票为40元/人，一共支付门票520元”，列出方程得： ． 故答案为： 5．（2025·福建福州·二模）为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 【答案】52片 【分析】设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元，得到， 确定价格，后建立不等式解答即可． 本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元， 依题意得 ， 解得， 型芯片单价为3万元，型芯片单价为1万元， 设购进型芯片片，则购进型芯片片， ， 解得， 芯片为整数， 型芯片最多购进52片． 6．（2025·福建·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 7．（2025·福建·二模）学校组织航天知识竞赛，准备为表现优异的学生购买A、B两种航天主题奖品．已知购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元． (1)求A，B两种奖品的单价各是多少元？ (2)学校准备购买A，B两种奖品共50件，A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，问购买A种奖品多少件时，购买总费用最少？总费用最少是多少？ 【答案】(1)A的单价50元，B的单价35元 (2)购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据“购买3件A种奖品和2件B种奖品共需220元；购买5件A种奖品和4件B种奖品共需390元”列二元一次方程求解即可； （2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买总费用w元，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设A的单价为x元，B的单价为y元． 根据题意得：， 解得， 答：A的单价50元，B的单价35元； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，购买总费用w元． 根据题意得： 解得 ∴ ∵， ∴w随m的增大而增大 当时，w取最小值，最小值为2005元． 答：购买A种奖品17件时，购买总费用最少；总费用最少是2005元． 8．（2025·福建三明·二模）综合与实践：阅读下列材料，回答问题． “校安工程”全称为“全国中小学校舍安全工程”，是党中央、国务院做出的一项重大决策．某中学校安工程需要制作个矩形铝合金窗框，每个窗框由根长管（长度米/根）和根短管（长度米/根）组成，这些铝合金管用长度足够的铝合金型材作为原材料进行切割获得，切割后剩余的原材料（长度小于米）称为废料．已知有型材（长度为米/根）、型材（长度为米/根）两种铝合金型材可供选择，它们的价格均为元/米，且只能整根购买． 数学综合实践小组对如何节约原材料的购买成本展开讨论，各自发表了意见： 小聪：需要使用的铝合金管的总长度是确定的，而原材料购买成本只与购买的总长度有关，因此废料最少时原材料的购买成本最低； 小颖：若全部采用型材比全部采用型材的购买成本更高； 小亮：除了选择原材料，还要制定合理的切割方法，才能使得购买原材料的成本最低． (1)分别写出，两种型材所有符合要求的切割方法及对应的废料长度； (2)为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，请设计方案，方案应说明，两种型材的购买数量及对应切割方法，但不必说明理由． 【答案】(1)见解析； (2) 为了使这个矩形铝合金窗框所需原材料的购买成本最低，应购买根型材和根型材，切割方法如下：根型材按方法④切割，得到根长管；根型材按方法⑤切割，得到根短管；根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【分析】（1）结合两种型材的长度和所需长管、短管的长度分析即可得解； （2）根据三位同学的意见，通过设采用方法④的共根，推出不同情况下的废料长度，结合购买成本最低的要求分类讨论即可得解． 【详解】（1）解：依题得： 方法①：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法②：每根型材切割出短管根，废料长度为每根米； 方法③：每根型材切割出长管、短管各根，废料长度为每根米； 方法④：每根型材切割出长管根，废料长度为每根米； 方法⑤：每根型材切割出短管根，无废料． （2）解：购买数量：应购买根型材和根型材，切割方法如下： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 理由如下： 依题意，共需切割出长管、短管各根， 比较方法①与方法③，因为，方法①比方法③的废料更少，因此不必考虑方法③； 设采用方法④的共根，可得到根长管，另有根长管只能采用方法①切割根型材获得，这样共可获得长管根和短管根，废料为（米）； 另外还需要方法②或方法⑤得到短管根， 比较方法②与方法⑤，当需要获得的短管数量为的倍数时，应采用方法⑤， 所以要使得购买成本最低，采用方法②的最多为根， （）若都不采用方法②，则采用方法⑤的根数为，且为整数，废料的总长度为米，当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料的总长度为（米），当时，废料的总长度最小，其值为米； （）若采用方法②的为根，则采用方法⑤的为根，且为整数，废料总长度为，当时，废料的总长度最小，其值为米． 因为，所以当时，废料的总长度最小，此时所需原材料的购买成本最低， 即购买成本最低的方案是： 根型材按方法④切割，得到根长管； 根型材按方法⑤切割，得到根短管； 根型材按方法①切割，得到根长管和根短管． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，逻辑推理，解题关键是利用分类讨论求解． 9．（2025·福建三明·二模）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件确定的符号后，结合二元一次方程组对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：， ， 又不等式的解集是， ，， 即， 结合一次函数解析式可得， 此时一定在该函数图象上， 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，与已知矛盾，选项错误； 选项，将代入解析式可得，结合可解得，符合，选项正确． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是不等式解集与一次函数图象的关系、二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据已知条件确定参数的符号． 10．（2025·福建龙岩·二模）学校积极开展“阳光体育”活动，某班需要购买，两种跳绳，已知购买1根型跳绳和2根型跳绳共需40元；购买3根型跳绳和3根型跳绳共需75元． (1)购买1根型跳绳和1根型跳绳各需多少元？ (2)若班级计划购买，两型跳绳共50根，型跳绳根数不少于型跳绳根数的2倍，设购买型跳绳根，求购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】(1)1根型跳绳10元，1根型跳绳15元 (2)670元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购买1根A型跳绳需x元，1根B型跳绳需y元，根据“购买1根A型跳绳和2根B型跳绳共需40元；购买3根A型跳绳和3根B型跳绳共需75元”，可列出关于x,y的二元一次方程组，解之可得出结论； （2）根据购买B型跳绳根数不少于A型跳绳根数的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的值，设购买跳绳所需费用是w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设1根型跳绳和1根型跳绳分别需元、元， 依题意，得，解得 答：购买1根型跳绳10元，1根型跳绳15元． （2）解：购买跳绳所需总费用为： ∵ ∴随的增大而减少 又∵ ∴ ∵为正整数 ∴当时，有最小值670． ∴购买跳绳所需最少费用是670元． ( 题型03 )一元二次方程根的判别式 11．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】(1)是“平衡集合”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡集合”的定义，进行作答即可； （2）结合、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，得，设，则，解得，，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ ∴是“平衡集合”； （2）解：∵、是两个不同的正数，且是“平衡集合”， ∴， 设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴、至少有一个大于2． 12．（2025·福建·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故选：A． 13．（2025·福建厦门·二模）已知整式． (1)化简该整式； (2)若该整式的值为正数，判断关于的方程的根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)有两个不相等的实数根；理由见解析 【分析】该题考查了一元二次方程根判别式和整式混合运算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘多项式乘法法则和单项式乘多项式乘法法则去括号，再运算加减法即可； （2）根据该整式的值为正数，得出，求出，再根据一元二次方程根判别式解答即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：由题可得， 解得：． 对于关于的方程， ． 因为， 所以． 所以该方程有两个不相等的实数根． 14．（2025·福建三明·二模）下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，选项正确； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误； 选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，选项错误； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误． 故选：． ( 题型0 4 )一元二次方程根与系数的关系 15．（2025·福建·二模）若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系； 根据一元二次方程的两根进行求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， 故答案为：． 16．（2025·福建·二模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． ( 题型0 5 )一元二次方程的应用 17．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 18．（2025·福建泉州·二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设两次调整中每次的平均下降率为x，该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：B． 19．（2025·福建三明·二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程． 这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可． 【详解】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 20．（2025·福建漳州·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是利用转化思想．等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设根据题意， ，解出，再求出正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比，再根据正方形的边长为4，即可求出答案． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ， 解得，（负值舍去）， 正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比为： ． ∵正方形的边长为 ∴等腰三角形的底边上的高为： 故答案为：． 21．（2025·福建·二模）如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形，若大正方形面积为5，小正方形面积为1，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了弦图、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值，求出的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，（舍去）， ， ． 故答案为：2． 22．（2025·福建厦门·二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力，现已培育出100种农作物种子．若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则列出符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据增长率问题的等量关系，列出方程，进行判断即可． 【详解】解：由题意，； 故选D． ( 题型0 6 )解分式方程 23．（2025·福建厦门·二模）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意检验． 去分母，转化为一元一次方程，去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】解：方程两边乘，得 ， 解得， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 24．（2025·福建南平·二模）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，再移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】解：方程两边乘得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． ( 题型0 7 )分式方程的应用 25．（2025·福建厦门·二模）林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列分式方程的关键．由题意可表示原计划每人能分到的糖果，及实际每人分到的糖果，再根据原计划每人能分到的糖果实际每人分到的糖果列出方程即可． 【详解】根据题意得：． 故选：A． 26．（2025·福建·二模）在古代建筑中，榫（sǔn）卯（mǎo）结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为x千克，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，结合30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同，再建立方程即可． 【详解】解：设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为千克，则 ， 故选：A 27．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】(1)一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤 (2)果园至少还需要9个果农挑担 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； （2）解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 28．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次 (2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出不等式和方程是解题的关键． （1）设在活动二中篮球掉落x次，根据活动一和活动二完成的时间加上因为篮球掉落额外增加的时间不超过28秒列出不等式求解即可； （2）设小红跑了秒，则小强跑了秒，根据小红的说法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为2， 答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 29．（2025·福建·二模）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间差列方程，是解决问题的关键． 20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得． 【详解】∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是， ∴A选手的平均速度为， ∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟， ， ∴． 故选：B． ( 题型0 8 )利用不等式的性质解题 30．（2025·福建·二模）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，根据题意得到，，由此根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由题意得，，， A.∵， ∴， 故选项A正确，符合题意； B. ∵， ∴， 故选项B错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； D.∵，， ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 31．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ( 题型0 9 )求一元一次不等式的解集 32．（2025·福建宁德·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，首先根据不等式的基本性质一，不等式的两边同时加上可得：，再根据不等式的基本性质二，不等式两边同时除以得：． 【详解】解：， 不等式两边同时加上可得：， 不等式两边同时除以得：． 故答案为：． 33．（2025·福建三明·二模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 34．（2025·福建·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】解不等式即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题关键. ( 题型 10 )一元一次不等式的应用 35．（2025·福建福州·二模）为迎接2025中国（福州）国际渔业博览会，某厂家计划生产A，B两款创意海鲜公仔，总产量（单位：个）为20000．厂家经过市场调研与财务核算，制定了营销策略，相关信息如下表： 成本（元／个） 定价（元／个） 产量（单位：个） A款公仔 25 35 B款公仔 150 180 ① 总利润与的关系式：② (1)请直接写出表格中的①，②； (2)若A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，且生产的公仔全部售出，求可获取的最大利润． 【答案】(1)， (2)可获得的最大利润为300000元 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据总产量减去A款公仔的产量表示出，根据总利润等于两种公仔的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据A款公仔产量不少于B款公仔产量的3倍，列出不等式，求出的范围，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：①； ②； （2）由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，的值最大为：； 故可获得的最大利润为：300000元． 36．（2025·福建泉州·二模）某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是 （只要写出一个满足条件的m即可） 【答案】60 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据商店售完这些软糖能够盈利，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合为正整数且正整数m是10的倍数，可得出m的值，任取其一即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数，且正整数m是10的倍数， ∴m可以为60，70，80，90． 故答案为：60（答案不唯一）． 37．（2025·福建南平·二模）某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【答案】(1)①方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒；②方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒 (2) 【分析】本题考查了不等式的实际应用； （1）①方阵A所有人员队列长度加上即为撤离行驶的路程，再除以撤离速度即可； ②先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间． （2）先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间，即为礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【详解】（1）解：①因为撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒，考虑方阵A（同理方阵D）师生的撤离，该方阵最后一个人到达安全出口1即为完全撤离，所用时间为： （秒） 答：方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒； ②需判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米 因为，所以方阵的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一人离开A号门还没有0.75米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门0.75米，队伍再继续行进，这时方阵B所有人员完全撤离所用时间为： （秒） 答：方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒； （2）解：设礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处所用时间为秒，因为每个方阵有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米秒，先考虑方阵A师生的撤离，该方阵最后一个人达到安全出口1即为完全撤离，所用时间为； 方阵B最后一个人达到安全出口1所用时间为， 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，分两种情况： 情况一： 当方阵B的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人不影响方阵B师生的撤离，这种情形出现的条件是，这时两个方阵的人员完全撤离所用时间为： ； 情况二： 当方阵B的第一个人行进至A号门时，方阵A的最后一人离开A号门还没有米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门米时，队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个方阵内的人员完全撤离所用时间为： ， 综上，． ( 题型 11 )求不等式组的解集 38．（2025·福建·二模）解不等式组：，并写出它的所有正整数解． 【答案】，不等式组的正整数解为1，2，3 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大小，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找”确定出不等式组的解集，再在解集范围内确定出所有正整数解． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 39．（2025·福建·二模）不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集为：． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 40．（2025·福建三明·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组解集为，整数解为； 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 则不等式组的解集为：，其整数解分别为：． ( 题型 12 )一元一次不等式组的应用 41．（2025·福建·二模）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列．    如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： (1)当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是________； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； (3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1)； (2)直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； (3)共有种运输方案，理由见解析． 【分析】（）根据“一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加”，列出函数关系式； （）把代入解析式，求出的值即可； （）设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次，根据题意得 ，求出的取值范围即可； 本题考查了一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是列出函数解析式和不等式组． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴车身总长与购物车辆数的表达式为， 故答案为：； （2）解：当时，， 解得：，（辆）， 答：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车； （3）解：有3种，设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， 由（）得：直立电梯一次性最多可以运输辆购物车， ∴ ， 解得：， ∴为正整数， ∴，，， ∴共有种运输方案： 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次，直立电梯运次； 扶手电梯运次． 42．（2025·福建·二模）在2021年全民读书月活动期间，小亮网购了一本《数学家的眼光》，同学们想知道书的价格，小亮让他们猜，甲说：“至多14元，”乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，”小亮说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）的范围为（　　） A．10＜x＜14 B．11＜x＜14 C．14＜x＜15 D．x＞15 【答案】C 【分析】设这本书的价格为x元，根据三人的说法得到关于x的不等式，然后根据三人的说法都是错误的求解即可得到答案. 【详解】解：设这本书的价格为x元 ∵甲说：“至多14元，乙说：“至少15元，”丙说：“至多10元，这三种说法都是错误的 ∴ 解得 故选C. 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式求解. 43．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 【答案】(1)12 (2)，， 【分析】此题考查的是整式的除法，多项式除以多项式． （1）由于是的一个因式，，则说明当时，，从而得到关于a，b，c的两个等式，对两个等式变形，可得； （2）由结合，即可求出的范围，但是a，c为大于1的正整数，且，可求出，从而求出、． 【详解】（1）解：， 根据题意得：是的一个因式， ∴，即，是方程的解， ∴， 得：， 即的值为12； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵a，c为大于1的正整数， ∴，4，5，6，7，但，a也是正整数， ∴，， 将，代入①得，， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$