专题02 整式、因式分解、分式（7大题型49题）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题02 整式、因式分解、分式 题型概览 题型01 代数式 题型02 整式的加减乘除运算 题型03 利用乘法公式计算 题型04 分解因式 题型05 分式有意义的条件 题型06 分式化简求值 题型07 零指数幂、负整数指数幂 ( 题型01 )代数式 1．（2025·福建福州·二模）用代数式表示“比的倍小”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式．的倍是，而小，则在此基础上减即可． 【详解】解：用代数式表示“比的倍小”是， 故选：A． 2．（2025·福建厦门·二模）列代数式表示“a的相反数与b的和”是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键． 根据题意直接列代数式即可． 【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是． 故答案为：． 3．（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负性的性质得到，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（2025·福建·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ． 【答案】 【分析】解题考查一元二次方程根的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据一元二次方程根的定义得，即可得解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ( 题型02 )整式的加减乘除运算 5．（2025·福建厦门·二模）若k为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握同底数幂相乘的运算法则成为解题的关键． 先根据乘法的意义和积的乘方的运算法则可得，再根据同底数幂乘法的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 6．（2025·福建泉州·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方法则对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．，计算错误，故选项不合题意； B．，计算正确，故选项符合题意； C．和不是同类项不能合并，计算错误，故选项不合题意； D．，计算错误，故选项不合题意； 故选：B． 7．（2025·福建宁德·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，掌握上述法则是解题关键． 利用幂的乘方可验证A；利用同底数幂相乘法则可验证B；利用同底数幂相除法则可验证C；利用合并同类项可验证D． 【详解】解：，故A错误；，故B错误；，故C正确；，故D错误． 故选：C． 8．（2025·福建漳州·二模）下列计算，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂除法，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 9．（2025·福建泉州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，利用幂的运算性质，合并同类项法则逐句进行判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、不能合并同类项，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 10．（2025·福建·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，涉及同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项，掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 11．（2025·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方公式，同底数幂的除法，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．分别根据完全平方公式，同底数幂的除法，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 12．（2025·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C ( 题型03 )利用乘法公式计算 13．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 14．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，奸恶计息 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：（1）是的完整平方根， 理由如下： 即． ∴是的完整平方根． （2）∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是整数， ∴，． （3）∵是完整根式， ∴不妨设，其中，都是整数． 由（2）得，，． ∴． ∵，都是整数， ∴为完全平方数． ∴一定是完全平方数． 15．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（2025·福建·二模）已知：（）．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，因式分解的应用，由条件可得，即，再进一步解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．（2025·福建·二模）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)不可以，理由见详解 【分析】本题主要考查了完全本小题考查整式的运算、因式分解、奇数偶数等基础知识：考查运算能力、推理能力以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由a，b，m，n为整数，n为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴为非负数． （2）不可以，理由如下： ∵a，b，m，n为整数，n为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴a，b同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． ( 题型0 4 )分解因式 18．（2025·福建泉州·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，先确定公因式，然后提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 19．（2025·福建·二模）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 20．（2025·福建·二模）因式分解：= ． 【答案】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 21．（2025·福建·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法进行因式分解即可．找出公因式，即可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 22．（2025·福建·二模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，找到公因式是解答本题的关键． 直接提公因式，进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． ( 题型0 5 )分式有意义的条件 23．（2025·福建·二模）要使分式有意义，则x的值可以是 （写出一个符合要求的x的值）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式有意义的条件，代数式求值，理解分式有意义的条件是解答关键． 根据分式有意义的条件求出的取值范围，再取值范围内选一个的值代入进行计算求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， ， 当时，． 故答案为：1（答案不唯一）． 24．（2025·福建·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，得： ， 解得：且， 故答案为：且． 25．（2025·福建·二模）使分式有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 分式有意义，则分母，由此易求的取值范围． 【详解】解：当分母，即时，分式有意义． 故答案为：． 26．（2025·福建·二模）函数中，自变量x取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的意义，分母不能为据此得不等式求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为． 【点睛】本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． ( 题型0 6 )分式化简求值 27．（2025·福建福州·二模）先化简再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查分式化简与代入求值，关键步骤是正确进行分式加减、乘除运算及因式分解，最终结果需化简到最简形式并代入计算．先化简括号内的分式，将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解，约分后得到最简形式．再将代入化简后的表达式计算具体数值． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 28．（2025·福建三明·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，准确计算是解题的关键；先通分计算减法，再计算除法，最后化简并代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 29．（2025·福建龙岩·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，二次根式的化简，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先将括号内的通分计算，再把除法转换为乘法，约分得最简结果，化简后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 30．（2025·福建宁德·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面式子进行通分，再把除法化为乘法，同时对分式的分子或分母进行因式分解，然后约分，最后把代入进行计算即可，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 31．（2025·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值、分母有理化等知识，正确进行分式化简是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出答案． 【详解】解：原式 当时， 原式 ． 32．（2025·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 将，代入可得， 原式． 33．（2025·福建莆田·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算法则化简，再把代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 34．（2025·福建福州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先化简分式，再代入值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 35．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式； 36．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 37．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． ( 题型0 7 )零指数幂、负整数指数幂 38．（2025·福建厦门·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂的运算、特殊角的三角函数值和二次根式的运算进行计算即可． 【详解】解： ． 39．（2025·福建龙岩·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算．根据算术平方根定义，零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可． 【详解】解： ． 40．（2025·福建莆田·二模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用零指数幂、绝对值、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 41．（2025·福建福州·二模）计算： 【答案】0 【分析】根据计算解答即可． 本题考查了算术平方根，零指数幂，绝对值，熟练掌握定义和公式是解题的关键． 【详解】解： ． 42．（2025·福建泉州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的性质，二次根式的性质化简，零次幂的计算，先去绝对值，化简二次根式，计算零次幂的结果，再根据有理数的加减运算即可求解． 【详解】解： ． 43．（2025·福建泉州·二模）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查了立方根、零次幂，化简绝对值，先化简立方根、零次幂，绝对值，再运算加减，即可作答． 【详解】解：    44．（2025·福建三明·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是零指数幂，解题关键是熟练掌握零指数幂． 零指数幂法则：任何一个不等于零的数的零次幂都等于，据此即可得解． 【详解】解：根据零指数幂可得：． 故答案为：． 45．（2025·福建龙岩·二模）计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，先化简二次根式，化简绝对值，进行零指数幂的运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 46．（2025·福建泉州·二模）计算：； 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂化简，再计算即可． 【详解】解：． 47．（2025·福建厦门·二模）计算： 【答案】3 【分析】本题考查了实数的运算，根据绝对值的意义，算术平方根的定义，负整数指数幂的意义等计算即可． 【详解】解：原式 ． 48．（2025·福建福州·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 49．（2025·福建厦门·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，先进行零指数幂和负整数指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式、因式分解、分式 题型概览 题型01 代数式 题型02 整式的加减乘除运算 题型03 利用乘法公式计算 题型04 分解因式 题型05 分式有意义的条件 题型06 分式化简求值 题型07 零指数幂、负整数指数幂 ( 题型01 )代数式 1．（2025·福建福州·二模）用代数式表示“比的倍小”，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·福建厦门·二模）列代数式表示“a的相反数与b的和”是 ． 3．（2025·福建泉州·二模）已知，则的值是 ． 4．（2025·福建·二模）已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ． ( 题型02 )整式的加减乘除运算 5．（2025·福建厦门·二模）若k为正整数，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建泉州·二模）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025·福建宁德·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建漳州·二模）下列计算，结果为的是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·福建泉州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·福建·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2025·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·福建龙岩·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． ( 题型03 )利用乘法公式计算 13．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 14．（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式可以表式成的形式（其中，，，都是整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是完整根式的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式的完整平方根是，请用含，的代数式分别表示，； (3)若是完整根式，证明：一定是完全平方数． 15．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 16．（2025·福建·二模）已知：（）．求证：． 17．（2025·福建·二模）已知整数a，b，m，n满足． (1)求证：为非负数； (2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． ( 题型0 4 )分解因式 18．（2025·福建泉州·二模）分解因式： ． 19．（2025·福建·二模）因式分解： 20．（2025·福建·二模）因式分解：= ． 21．（2025·福建·二模）因式分解： ． 22．（2025·福建·二模）分解因式： ． ( 题型0 5 )分式有意义的条件 23．（2025·福建·二模）要使分式有意义，则x的值可以是 （写出一个符合要求的x的值）． 24．（2025·福建·二模）要使代数式有意义，则的取值范围是 ． 25．（2025·福建·二模）使分式有意义的的取值范围是 ． 26．（2025·福建·二模）函数中，自变量x取值范围是 ． ( 题型0 6 )分式化简求值 27．（2025·福建福州·二模）先化简再求值：，其中． 28．（2025·福建三明·二模）先化简，再求值：，其中． 29．（2025·福建龙岩·二模）先化简，再求值：，其中． 30．（2025·福建宁德·二模）先化简，再求值：，其中． 31．（2025·福建漳州·二模）先化简，再求值：，其中． 32．（2025·福建泉州·二模）先化简，再求值：，其中，． 33．（2025·福建莆田·二模）先化简，再求值：，其中． 34．（2025·福建福州·二模）先化简，再求值：，其中． 35．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． 36．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． 37．（2025·福建·二模）先化简，再求值：，其中． ( 题型0 7 )零指数幂、负整数指数幂 38．（2025·福建厦门·二模）计算：． 39．（2025·福建龙岩·二模）计算：． 40．（2025·福建莆田·二模）计算：． 41．（2025·福建福州·二模）计算： 42．（2025·福建泉州·二模）计算：． 43．（2025·福建泉州·二模）计算：． 44．（2025·福建三明·二模）计算： ． 45．（2025·福建龙岩·二模）计算： 46．（2025·福建泉州·二模）计算：； 47．（2025·福建厦门·二模）计算： 48．（2025·福建福州·二模）计算：． 49．（2025·福建厦门·二模）计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$