专题12 二次函数压轴题（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题12 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 2．（2025·福建·二模）已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（    ） A．该函数图像的对称轴为直线 B．若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C．函数在处取得最值 D．无论m取何值，均满足 3．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 5．（2025·福建泉州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（   ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．无论非零实数a为何值，都有 D．无论非零实数a为何值，都有 6．（2025·福建泉州·二模）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·福建泉州·二模）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 8．（2025·福建厦门·二模）已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是 ． 9．（2025·福建厦门·二模）已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是 ． 三、解答题 10．（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． 11．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 12．（2025·福建莆田·二模）【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 13．（2025·福建泉州·二模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 14．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 15．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 16．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．       (1)当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． (2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·福建南平·二模）已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 2．（2025·福建·二模）已知二次函数（）的图像经过，两点，则下列说法错误的是（    ） A．该函数图像的对称轴为直线 B．若为该函数图像上的点，当时，一定成立 C．函数在处取得最值 D．无论m取何值，均满足 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二次函数的图像与性质，逐项分析即可判断． 【详解】解：二次函数（）的图像经过，两点， 该函数图像的对称轴为直线，故A选项说法正确，不符合题意； 函数在处取得最值，故C选项说法正确，不符合题意； 对称轴， ， 代入到，得， ，故D选项说法正确，不符合题意； 若，当时，随的增大而减小；若，当时，随的增大而增大； 若为该函数图像上的点，当时，不一定成立，故B选项说法错误，符合题意； 故选：B． 3．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，．若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元一次不等式组、整式的加减的应用，由题意可得，，，结合，求出，从而即可得出，，计算出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线上有三点，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 故选：B． 4．（2025·福建龙岩·二模）已知二次函数，将其图象向右平移个单位，得到新的二次函数的图象，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小．则实数的取值可以是（   ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知“左加右减”的平移法则及二次函数的性质是解题的关键．根据“左加右减”的平移法则，表示出平移后的函数解析式，再根据题意得出关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： ∵， ∴， ∵时，随增大而增大；当时，随增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·福建泉州·二模）已知点，，在二次函数的图象上，，，则下列判断正确的是（   ） A．不存在实数a，使得 B．存在实数a，使得 C．无论非零实数a为何值，都有 D．无论非零实数a为何值，都有 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．先利用抛物线与y轴的交点坐标为和C点坐标得到抛物线对称轴为直线，再利用已知条件得到，所以点A到直线的距离小于点B到直线的距离，根据二次函数的性质，画出二次函数的草图，得出当时，；当时，，然后即可作出判断． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， ∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∴点A到直线的距离小于点B到直线的距离， 当时， 如图： 可得，即， ∴； 当时，如图： 可得，即， ∴， 综上，无论非零实数a为何值，都有， 故选：D． 6．（2025·福建泉州·二模）将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 二、填空题 7．（2025·福建泉州·二模）若二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由题意得，所求问题等价于的图象在的部分与直线有两个公共点，利用图象法即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意，令， ， 的图象在的部分与的图象有两个公共点等价于的图象在的部分与直线有两个公共点， 作图象和直线如下： 当时，有最小值， 当时，， 结合图象可得，， 解得：． 故答案为：． 8．（2025·福建厦门·二模）已知函数，当取不同值时，函数会有不同的图象，它们组成的“图象集”记为．若存在的某个范围，对该范围内的任意，当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交，则的该范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．把函数解析式变形可得当，即时，，从而得到对于任意，函数过定点，再由利用排除法可得不在范围内，满足条件，即可求解． 【详解】解：， 当，即时，， ∴对于任意，函数过定点， ∵当时，相应的函数图象与（不含的部分）都不相交， ∴不在范围内， ∴此时． 故答案为： 9．（2025·福建厦门·二模）已知二次函数，，都在该抛物线上，且 ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而根据 ，可得比离对称轴更近，列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，都在该抛物线上，且 ， ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题 10．（2025·福建南平·二模）已知二次函数． (1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当时，的取值范围是 ； … 0 0.5 1 … … … (2)两个不相等的正数满足．求证：关于的方程，不可能同时有实数根． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象和一元二次方程根的关系． （1）将表中数值代入，求出值填表即可；再通过表中的数据描点画出函数图象即可；最后根据函数图象可得，当时，的取值范围； （2）假设关于的方程都有实数根，根据（1）知，当时，，则当时，，时，，进而得，再根据是两个不相等的正数，得与相矛盾，即可得出结论． 【详解】（1）解：表格如下： … 0 0.5 1 … … 0 1 0 … 在网格图中画出函数图象如下： 由函数图象可知，当时，的取值范围：， 故答案为：； （2）解：证明：假设关于的方程都有实数根， 则有 由（1）知，当时，， 所以当时，， 当时，， 所以， 因为是两个不相等的正数， 所以，与相矛盾， 所以假设不成立， 所以关于的方程不可能同时有实数根． 11．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)不同意；理由见解析 (2)①不可能达到；理由见解析  ②不会穿进；理由见解析 【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可； （2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题可知，． 过点作于，交地面水平线于点，则，． 所以． 所以． 因为喷泉为抛物线形状， 所以点，关于直线成轴对称． 所以． 过点作，交的延长线于点， 则． 因为， 所以． 在中，， 所以，即． 因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例， 所以，即． 所以． 解得． 所以． 考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形， 所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断． （2）①根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律． 设． 把，代入可得， 解得 所以． 由（1）可知，无风时． 由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即． 若喷泉达到最佳观赏比例，则，即． 又因为，可得． 解得，不符合的条件． 所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为． 设该抛物线的解析式为：， 因为，， 所以． 所以． 把代入，得． 可得，即． 若设该抛物线的解析式为，则，可得． 又因为抛物线经过，可得． 即抛物线形喷泉的解析式为． 由①可知，，而， 所以． 对于， 因为，在每个象限内，随的增大而增大． 所以． 因为当时，， 可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外． 对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小． 所以当时，都有． 也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 12．（2025·福建莆田·二模）【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：81天． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． 任务1：把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 任务2：求出当，2，3，4，5时，对应的函数值，进而根据题意求出S关于a的函数关系式，据此利用二次函数的性质求解即可； 任务3：根据任务2所求，求出当时，对应的自变量的值，再根据从11月7日开始，每15天记作一个单位时间即可求出答案． 【详解】解：任务1：二次函数的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 该二次函数过， ， 解得， 与x的函数解析式为． 任务2：当，2，3，4，5时， 对应的函数值分别为，，10.55，，， ， ∴当时，S最小， ． 任务3：由任务2得到优化后的函数解析式为． 白昼时长黑夜时长小时， 若黑夜时长13小时，则白昼时长为11小时， 令，则，即或5.7． 从11月7日开始，每15天记作一个单位时间， 或85.5， 白昼时长小于11小时的天数从2024年11月12日—2025年1月31日共天，即黑夜时长大于13小时的天数为81天． 13．（2025·福建泉州·二模）已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)点，在该抛物线上． ①若，时，求的值； ②若，求的最大值． 【答案】(1) (2)①或②3 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①根据，，得到，，代入解析式进行求解即可； ②根据，得到，，代入解析式后，得到关于的函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴； （2）①当，时，则：，，代入，得： ，整理，得：， 解得：或； ②时，则：，， ∴， 整理，得：， ∴当时，有最大值为3． 14．（2025·福建泉州·二模）定义：三角形的三个顶点都在二次函数的图象上，若该三角形的重心恰好在x轴上，则称此三角形为“平稳三角形”．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，A是二次函数图象上的一点，且点A在第三象限． (1)求二次函数的表达式； (2)若为“平稳三角形”，中线AD交x轴于点G，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数与几何综合，待定系数法求函数表达式、重心的概念，正确利用中点公式是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）为“平稳三角形”，则可得到点，求出直线的表达式为，进而求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解： 为“平稳三角形”，是的中线，交x轴于G点， G是的重心， 设交x轴于点H， 是的中线， 点的纵坐标为， 令，则，解得，（舍去）， ． 设直线的表达式为， 将与代入， 得， 解得， 所以直线的表达式为， 令，则，解得， ， 是的中线， D为的中点， ， ． 15．（2025·福建福州·二模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、根与系数的关系、相似三角形的判定与性质、不等式的性质等知识点，灵活运用反证法成为解题的关键． （1）当时，抛物线的解析式为：，然后根据一元二次根的判别式解答即可； （2）①由题意可知：画图如下：连接，先证明可得，再求得、、，进而得到、，然后代入可得；再根据根与系数的关系可得，然后进行整理即可解答； ②假设，则或，然后运用反证法即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标为方程的解， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， ∴当时，抛物线与轴有两个交点． （2）解：①，理由如下： 由题意可知：画图如下：连接， ∵， ∴， ∴， 令时，则，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵、是抛物线与x轴的两个交点， ∴方程的两个根为a，b， ∴， ∵a为正数，且， ∴，即， ∴， ∴，即； ②假设，则或， 将代入中得，即， ∴， 当时，该等式不成立， 当时，， ∵a、b均为正整数， ∴t为正整数， 由①知，又， ∴为正整数，则k为整数，且， 又， ∴k为正整数， ∴为整数，且能被2整除， ∴的值可以为，， 又∵， ∴， ∴，此时，，，这与矛盾， 故假设不成立， ∴当为正整数时，． 16．（2025·福建泉州·二模）已知：抛物线，其顶点为A，且与y轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线．       (1)当时， ①求抛物线的解析式，并直接写出顶点A的坐标． ②点D在抛物线上，延长至E使得，若点E落在抛物线上，求D的坐标． (2)动点M在抛物线的对称轴上（M不与A重合），过M作直线垂直于y轴，交于点P（P在对称轴左侧），交于点Q（Q在对称轴右侧）．当点P与点B重合时，若时，求h的值． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，正确根据翻折的性质得到翻折后的抛物线解析式是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标；②可求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为的中点，则，即可得到，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则， ，同理可得抛物线的解析式为：，则， 再由，联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入中得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，，当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵点P与点重合，且轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即，① 又点在抛物线上， ∴，即，② 把②代入①得， 解得：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$