专题10 相似三角形、锐角三角函数（5大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题10 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定与性质综合 题型02 相似三角形的实际应用 题型03 特殊角的三角函数 题型04 解直角三角形的相关计算 题型05 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定与性质综合 1．（2025·福建泉州·二模）已知四边形内接于，，在对角线上截取，延长至点E，连接，使得，与相交于点I，与相交于点G． (1)若是的直径，，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)连接，，，如图2，求证：； (3)当时，如图3，试用一个等式表示，，的数量关系，并证明． 2．（2025·福建厦门·二模）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，正方形中，点在对角线上，过点作于，交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图，过点作于，求证：； (3)如图，若交于点，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，求的面积． 4．（2025·福建福州·二模）如图，在菱形中，点E，F分别在边，上， (1)求证：； (2)为中点，交于点，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 5．（2025·甘肃武威·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 6．（2025·福建厦门·二模）（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度； （2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由； （3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．． 7．（2025·福建莆田·二模）定义：中，是它的中线，点在上，若，则称是的“陪位中线”． (1)如图，在中，，是的中点，，垂足为，求证：是的“陪位中线”； (2)内接于，是的中点，连接． 如图，点在上，连接交于点，连接，，若是的“陪位中线”，请从以下的结论中，选择一个正确的结论并给予证明； ⅰ）； ⅱ）是的“陪位中线”； ⅲ）； 如图，过点作的切线交延长线于点，连接交于点，请判断是否为的“陪位中线”，并说明理由． 8．（2025·福建三明·二模）如图，在中，，，为的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，求的面积．参考数据：，，． 9．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，高，点为上任意一点，点是点关于点的对称点，直线与交于点，点到与的距离分别为． (1)求的长度；（用含的式子表示） (2)猜想的数量关系，并说明理由． 10．（2025·福建厦门·二模）如图1，已知为的两条直径，连接，于点E，点F是半径的中点，连接． (1)设的半径为1，若，求线段的长； (2)如图2，连接，设与交于点P． ①求证：P为中点； ②若，试求之间的关系． ( 题型02 )相似三角形的实际应用 11．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 12．（2025·福建三明·二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，则像的高为 ． ( 题型03 )特殊角的三角函数 13．（2025·福建厦门·二模）计算：． 14．（2025·福建厦门·二模）计算： ． 15．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·福建·二模）计算： 17．（2025·福建福州·二模）计算：． 18．（2025·福建南平·二模）计算： 19．（2025·福建·二模）计算：． ( 题型0 4 )解直角三角形的相关计算 20．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，过A，C两点的交于点D，过点D作的切线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（2025·福建三明·二模）如图1，和是的直径，且，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)若，求证：； (2)如果． ①如图2，若，求证：是的中点； ②若为等腰三角形，求线段的长． 22．（2025·福建·二模）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（   ）米． A． B． C． D． 23．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 24．（2025·福建·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 25．（2025·福建泉州·二模）在等腰中，，点O是的角平分线上的一点，半径为1的经过点B，将沿方向平移，当与的边相切时，平移的距离是 ． 26．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，，．点E，F分别是，边上的动点，且，以为边向右作等边，连接，，．当时，的值为 ． 27．（2025·福建泉州·二模）如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是 ． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 28．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（   ） A． B． C． D． 29．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 30．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动． 课题 测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度 成员 组长：小李，成员：小红，小明 工具 皮尺，量角器，细绳，小石头 任务一 制作简易测角仪 小李在量角器的中心点处悬挂一条绑有小石头的细绳，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径瞄准目标，通过读取量角器的刻度得到的度数，就可求得仰角的大小． 任务二 测量纪念碑的高度 如图2，小红站在点处，眼睛与地面的距离为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为；小明站在离小红7.8米的点处，眼睛与地面的距离为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为．（点在同一水平直线上） 问题解决 1．如图1，若，求的大小；（用含的代数式表示） 2．如图2，求纪念碑的高度． 参考数据 31．（2025·福建·二模）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表． 校园主题文化长廊设计表 设计图 相关数据 点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．其中，，， 请根据设计表提供的信息完成下列问题： (1)求文化长廊的最大宽度的长； (2)求文化长廊的最高点E到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 32．（2025·福建·二模）在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为，则灯带的长约为 ．（结果精确到，参考数据：） 33．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形、锐角三角函数 题型概览 题型01 相似三角形的判定与性质综合 题型02 相似三角形的实际应用 题型03 特殊角的三角函数 题型04 解直角三角形的相关计算 题型05 解直角三角形的应用 ( 题型01 )相似三角形的判定与性质综合 1．（2025·福建泉州·二模）已知四边形内接于，，在对角线上截取，延长至点E，连接，使得，与相交于点I，与相交于点G． (1)若是的直径，，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） (2)连接，，，如图2，求证：； (3)当时，如图3，试用一个等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形内角和性质，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是的直径，故．结合，，则，即可作答． （2）根据圆周角定理得，设，则，结合三角形内角和性质得，因为，则，结合，证明，得，即，得，故，因为，故，整理得，即可作答． （3）先证明，再设，，即，因为 ，所以，结合，则．证明，即，整理得，由得，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图2，连接． ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：．证明过程如下： 如图4， ∵， ∴． 又∵， ∴， 设，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴ ∴， ∴． ∴， 由，得， ∴． 2．（2025·福建厦门·二模）如图1，已知是等腰三角形的外接圆，，是上一点，连接，交于点．射线与的夹角的角平分线交于点，射线交射线于点． (1)若，，，求的长度； (2)求证：； (3)如图2，当为直径时，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），通过添加辅助线，构造相似三角形是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）连接，先证明，进而根据圆周角定理得出，再根据三角形的外角性质可得，然后根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （3）连接，延长交于点，过点作于点，连接，，，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得， ，证明，根据相似三角形的性质可得，的长，然后设（），则利用的面积可求出的值，从而可得，的长，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵，，， ∴， （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ （3）解：如图，连接，延长交于点，过点作于点，连接，，， 设的半径为（），则 为的直径， ， ， 平分， ， 由圆周角定理得：， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 设（），则 在中，由勾股定理得：，即 解得：（负值舍去） ， ， 的面积为． 3．（2025·福建龙岩·二模）如图，正方形中，点在对角线上，过点作于，交边于点，连接． (1)求的度数； (2)如图，过点作于，求证：； (3)如图，若交于点，，将沿翻折，得到，连接，交于点，若点是边的中点，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积为 【分析】（）过作，交于点，则，由正方形性质可得，，故有，则四边形是矩形，所以，，再证明，故，然后由等边对等角即可求解； （）过作，交于点，则，由（）得，，，则有，再证明，又，从而证明，则有，然后通过勾股定理求出，，然后代入即可求证； （）连接，过作于点，则，由将沿翻折，得到，于，所以，，，得到，，所以，然后证明，根据性质可得，又因为点是边的中点，所以，得到，，通过勾股定理得，，求即可． 【详解】（1）解：如图，过作，交于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，交于点，则， 由（）得，，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过作于点，则， ∵将沿翻折，得到，于， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 由（）得：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了正方形与折叠，轴对称的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行线间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 4．（2025·福建福州·二模）如图，在菱形中，点E，F分别在边，上， (1)求证：； (2)为中点，交于点，垂足为． ①求证：； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析  ②；证明见解析 【分析】（1）根据菱形的性质，结合已知证明即可得证； （2）①先证明是等边三角形，利用等边三角形的性质，结合三角形相似的判定证明，得到比例式，再利用相似的判定定理2证明即可； ②延长，交于点，证明，利用特殊角三角函数计算解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①证明：如图，连接EF， 由（1）知， ， ， 是等边三角形， 为中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②解：， 证明如下：如图，延长，交于点， ， ， ， 即， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 即． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数的应用，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 5．（2025·甘肃武威·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键． （1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线． （2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，所对的弧是同弧， ． 是 的直径， ， ， ， 即， 是 的切线； （2）解：在中，， ，， ， 作， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， . 6．（2025·福建厦门·二模）（1）已知，，，点D在边上，，，连接，．线段，的数量关系为___________；若，则___________度； （2）如图2，已知，，点B，A，E共线，A点在B，E两点之间，点C，D在直线同侧，若，请判断和的数量关系，并说明理由； （3））如图3，已知等边，，E为中点，D为边上一动点，连接，，F为内一点，连接，，，若，求的最小值．． 【答案】（1）相等，；（2），见解析；（3） 【分析】（1）先根据，，，证明，再结合三角形内角和性质列式计算，即可作答． （2）根据得，证明，结合三角形内角和性质列式整理得， （3）延长至，使得，连接，，运用相似三角形的性质以及E为中点，，证明，结合为等边三角形，得，则是的中位线， ，所以，点F的轨迹为，在的优弧上取点，连接，过点作，运用解直角三角函数进行列式得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：相等，； （2），理由如下： ∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）延长至，使得，连接，， ∵， ∴，， ∵E为中点，， ∴，， ∴， ∴， 由（2）得， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 取中点G，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴点F在的劣弧上运动， 在的优弧上取点，连接，过点作， 则四边形是圆内接四边形， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 则， 则， 即， ∴， ∴， ∴， 当A、F、O共线时，取得最小值． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2025·福建莆田·二模）定义：中，是它的中线，点在上，若，则称是的“陪位中线”． (1)如图，在中，，是的中点，，垂足为，求证：是的“陪位中线”； (2)内接于，是的中点，连接． 如图，点在上，连接交于点，连接，，若是的“陪位中线”，请从以下的结论中，选择一个正确的结论并给予证明； ⅰ）； ⅱ）是的“陪位中线”； ⅲ）； 如图，过点作的切线交延长线于点，连接交于点，请判断是否为的“陪位中线”，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)ⅰ）见解析； ⅱ）见解析； ⅲ）见解析； 是，理由见解析． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据等边对等角可得：，因为，所以，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，从而可证结论成立； ⅰ）根据陪位中线的定义可知，根据圆周角定理可知，可证，根据相似三角形的性质可得：，根据中线的定义可知，从而可得：，根据陪位中线的定义可证，从而可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； ⅱ）根据圆周角定理可得：，根据三角形外角的性质可知，，所以可得：， 根据圆周角定理可证：，所以可得； ⅲ）若，则，即只有当时，才成立； 连接，，，根据切线的性质可知，为的中点，因为可知，根据同角的余角相等可得,从而可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得：，又因为，可得，根据相似三角形的性质可知 ，根据三角形外角的性质可得：，又因为，所以可得：，从而可证，可证结论成立． 【详解】（1）证明：在中，，为上的中线， ， ， ， ， ， ， ， 是的“陪位中线”； （2）解：ⅰ）：证明：是的“陪位中线”， ， ， ， ， ， 为上的中线， ， ． ， ， ， ， ， ， ； ⅱ）证明：， ， ，， ， ， ， ， 是的“陪位中线”； ⅲ）解：若， 则， 由ⅰ）可知， ， ， ， ， 即只有当时，成立； ：解是的“陪位中线”， 如下图所示，连接，，， 是的切线， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，， ， ，， ， ， 是的“陪位中线”． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周勾股定理、切线的判定与性质、新定义，解决本题的关键是理解“陪位中线”的定义，根据定义进行解答即可 8．（2025·福建三明·二模）如图，在中，，，为的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若的面积为，求的面积．参考数据：，，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，进而根据旋转的性质以及等边对等角、三角形内角和定理得出，根据，即可求解； （2）由（1）得，，证明，根据，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为中点，， ． 线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． ∴． ∴． （2）由（1）得， ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．（2025·福建南平·二模）如图，在中，，高，点为上任意一点，点是点关于点的对称点，直线与交于点，点到与的距离分别为． (1)求的长度；（用含的式子表示） (2)猜想的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，对称点的性质，直角坐标系的应用，待定系数法求函数解析式． （1）解法一：证明得，即：，化简即可得出结论； 解法二：以为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得，由待定系数法求出直线解析式，进而得，再由可得结论； （2）解法一：分别用含的代数式表示出、、、，再证明得，再代入化简即可； 解法二：由，坐标求出直线解析式，进而得，再根据对称点的性质得，进而可得结论． 【详解】（1）解：解法一： ， ， 又， ， ， ∵点到与的距离分别为， ∴，，， ∴， ； 解法二： 如图所示：以为坐标原点建立平面直角坐标系， 由题得：， 设直线解析式为：， 把点，代入得：， 解得：， 直线解析式为：， ， ， ； （2）解：猜想：； 解法一：由题知：， ， ， ， ， ， ，即：， 化简得：； 解法二：由，坐标可求得直线解析式为：， ， 点是点关于点的对称点， ， 化简得：． 10．（2025·福建厦门·二模）如图1，已知为的两条直径，连接，于点E，点F是半径的中点，连接． (1)设的半径为1，若，求线段的长； (2)如图2，连接，设与交于点P． ①求证：P为中点； ②若，试求之间的关系． 【答案】(1) (2)①见解析；②，， 【分析】（1）先求出，，由垂径定理得，证明是等边三角形，可证，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题； （2）①过点F作于G，交于H，连接．想办法证明四边形是平行四边形可得结论； ②由平行线分线段成比例定理得，从而，求出可证，等量代换可得，设,，可得，进一步利用勾股定理的逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴，． ， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①证明：过点F作于G，交于H，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴P为中点； ②，理由： ∵， ∴＝＝1， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴设,， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 而， ∴, ∴，即， ∵， ∴，即； 综上：，. 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定及性质、直角三角形斜边中线的性质、平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，题目的综合性较强，添加辅助线较多，解题的关键是熟记并且灵活运用有关的性质定理． ( 题型02 )相似三角形的实际应用 11．（2025·福建厦门·二模）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，此时液面宽度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解；能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 12．（2025·福建三明·二模）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，则像的高为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质，先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出即可求出的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：18． ( 题型03 )特殊角的三角函数 13．（2025·福建厦门·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂的运算、特殊角的三角函数值和二次根式的运算进行计算即可． 【详解】解： ． 14．（2025·福建厦门·二模）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知45度角的正弦值和余弦值是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 15．（2025·福建龙岩·二模）如图，是菱形的对角线，于点E，交于点F，且E为的中点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数等；连接，由线段垂直平分线的性质得，结合菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由特殊角的三角形函数即可求解；掌握菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，特殊角的三角形函数是解题的关键． 【详解】解：连接， 于点E，E为的中点， ， 四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：D． 16．（2025·福建·二模）计算： 【答案】12 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，平方根，绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 17．（2025·福建福州·二模）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 利用求一个数的绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 18．（2025·福建南平·二模）计算： 【答案】1 【分析】此题考查了实数的运算，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及正确化简一个数的绝对值． 利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质以及正确化简一个数的绝对值的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 19．（2025·福建·二模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数、二次根式及三角函数的混合运算，掌握相关运算的运算法则及特殊角的三角形函数值是解题的关键． 根据零次幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数及绝对值的意义分别进行计算，合并后即可得解． 【详解】解： ． ( 题型0 4 )解直角三角形的相关计算 20．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，，，过A，C两点的交于点D，过点D作的切线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理，正切函数，弧长公式等； （1）连接、，由圆周角定理得，由切线的性质得，即可得证； （2）过作交于，过作交于，延长交于，由勾股定理得，由正切函数得，由勾股定理得，同理可得，结合弧长公式，即可求解； 理解圆的定义，掌握等腰三角形的性质，切线的性质，能熟练利用勾股定理，正切函数，弧长公式进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接、， ，， ， , , ， 是的切线， ， ； （2）解：过作交于，过作交于，延长交于， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 21．（2025·福建三明·二模）如图1，和是的直径，且，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)若，求证：； (2)如果． ①如图2，若，求证：是的中点； ②若为等腰三角形，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②线段的长或 【分析】（1）连接，根据，证明，得出，结合等腰三角形的性质可得，根据等腰三角形的判定即可证明； （2）①过作于，连接交于点M，根据直径对直角可得，根据，结合等腰三角形的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，结合，根据等腰三角形的性质得出，即可证点是的中点． ②分三种情况讨论，当时，不符合题意；当时，连接，证明，即可得解；当时，连接，设与交于，先证明是的中位线，是的中位线，可得，再根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴． （2）解：①过作于，连接交于点M， ∵是直径， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ∵， ， 即点是的中点． ②如图，连接， 当时，如图， ， ， ， 由①知，不符合题意； 当时，连接， 和是的两条直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，连接，设与交于， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ， ， 综上所述，线段的长或． 【点睛】本题考查了圆综合，勾股定理，三角函数，中位线，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，运用分类讨论思想． 22．（2025·福建·二模）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意，得，， 在中，米， ∴米， 故选：B． 23．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 【答案】任务一：，作图见解析,任务二：当时，通信线路取得最小值 【分析】（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，再根据外角性质得出，结合勾股定理算出，，则，即可作答． （2）在等腰直角三角形中，，过点B作，使得，先证明，得出，即，则当A、N、D三点共线时， 有最小值，，得出米，即可作答． 【详解】解：任务一：如图所示， 作的垂直平分线交于点D， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴ ． 任务二： 在等腰直角三角形中，， 过点B作，使得，如图， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∴， 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当时，有最小值， 过点A作交的延长线于点E， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴米，， ∴米， 即当时，通信线路取得最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，做垂线，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（2025·福建·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质． 由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∵，，， ∴在中，， ， ． 过点D作于点H，设与的交点为G， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴在中，． 故选：C 25．（2025·福建泉州·二模）在等腰中，，点O是的角平分线上的一点，半径为1的经过点B，将沿方向平移，当与的边相切时，平移的距离是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，过点B作交延长线于H，则，解直角三角形可得，证明，则可求出；再分当与相切时，当与相切时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于H， ∵等腰中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 如图1所示，当与相切时，设切点为G，连接，则， ∴， ∴， ∴此时的平移距离为； 如图2所示，当与相切时，设切点为S，连接，在上取一点R使得，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时的平移距离为； 综上所述，与的边相切时，平移的距离是或． 故答案为：或． 26．（2025·福建厦门·二模）如图，在菱形中，，．点E，F分别是，边上的动点，且，以为边向右作等边，连接，，．当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含60度角的直角三角形，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 在上截取，连接，过点D作的延长线于点N，延长，交于点H，过点G作于点P，设，可得，根据菱形和等边三角形的性质，证明，继而求出，，，从而表示出，证明四边形是矩形，即可得到，在中，利用三角函数求出，列出一元一次方程，即可解答． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作的延长线于点N，延长，交于点H，过点G作于点P，如图， 有，， 设，则，， ∵四边形是菱形，，， ，， ∴， ∴，， 是等边三角形， ，， ∴， ， ，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． 27．（2025·福建泉州·二模）如图，点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点，分别延长边和边相交于点，点分别在射线和上，过点分别作交于点，交于点．设，，令，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意，正八边形的每个内角的度数为，如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作，四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，分类讨论：当点与点重合时；当点与点重合时；当点与点重合时；由等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点是边长为的正八边形围成的区域（包括各边）内的一点， ∴正八边形的每个内角的度数为， 如图所示，连接，过点作于点，过点作于点，延长交于点，过点作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 当点与点重合时， ∴，， ∴； 当点与点重合时， 同理，，， ∴点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴，， ∴； 当点与点重合时， 同理，点与点重合，点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∴， ∴； ∴． ( 题型0 5 )解直角三角形的应用 28．（2025·福建莆田·二模）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图， ∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∴折射率， 故选：． 29．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角． (1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式； (2)求平屋面的长；（结果精确到） (3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到） （参考数值：，，，） 【答案】(1) (2) (3)设计符合要求 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、解直角三角形等知识，熟练掌握待定系数法、解直角三角形等知识是关键． （1）利用待定系数法进行解答即可； （2）令，得，解得，．即可求出答案； （3）过点作于点．求出．得到．过点作，交延长线于点，交轴于点．求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，． 设抛物线的表达式为， 将，代入，得： 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）∵平屋面离底面的距离为， ∴令，得， 解得，． ∴． ∴平屋面的长为． （3）如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ∴． 如图，过点作，交延长线于点，交轴于点． 易得四边形为矩形， 在中，， ， ∴， ∵， ∴． ∴设计符合要求． 30．（2025·福建漳州·二模）某校九年级数学兴趣小组开展测量物体高度的综合实践活动． 课题 测量“中国女排三连冠”纪念碑的高度 成员 组长：小李，成员：小红，小明 工具 皮尺，量角器，细绳，小石头 任务一 制作简易测角仪 小李在量角器的中心点处悬挂一条绑有小石头的细绳，制作一个简易测角仪（如图1）、测量时，视线沿着量角器的直径瞄准目标，通过读取量角器的刻度得到的度数，就可求得仰角的大小． 任务二 测量纪念碑的高度 如图2，小红站在点处，眼睛与地面的距离为1.6米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为；小明站在离小红7.8米的点处，眼睛与地面的距离为1.8米，用简易测角仪测得纪念碑顶端的仰角为．（点在同一水平直线上） 问题解决 1．如图1，若，求的大小；（用含的代数式表示） 2．如图2，求纪念碑的高度． 参考数据 【答案】（1）；（2）纪念碑EF的高度为25.8米 【分析】本题考查解直角三角形测高，涉及平角定义、解直角三角形，数形结合是解决问题的关键． （1）如图所示，由，当时，由平角定义代值求解即可得到答案； （2）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示，在和中，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： ∵， ∴； （2）过点作，过点作，垂足分别为，如图所示： ∴． 在中，， ∵， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴（米）， 答：纪念碑EF的高度为25.8米． 31．（2025·福建·二模）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表． 校园主题文化长廊设计表 设计图 相关数据 点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．其中，，， 请根据设计表提供的信息完成下列问题： (1)求文化长廊的最大宽度的长； (2)求文化长廊的最高点E到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)文化长廊的最大宽度的长为； (2)文化长廊的最高点E到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作延长线于H，证明四边形为矩形，得到，，即可求解 根据解直角三角形得到，再根据矩形的性质得到，得到，再根据解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点作延长线于H，如图： ∵， ∴， 在中，， ， ∵垂直平分垂直平分，， ∴四边形为矩形， ，， ∴， ∴， 答：文化长廊的最大宽度的长为； （2）解：在中，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， 答：文化长廊的最高点E到地面的距离EF为． 32．（2025·福建·二模）在天花板上嵌入灯带可以与主灯配合使用，确保整个房间的光线更加均匀．如图，学校要为某会议室的天花板上嵌入灯带，工人师傅将平面镜放置在点A处，使得沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射后恰好落在灯带的左侧端点C处，此时利用测角仪测得天花板边缘O的仰角为，移动平面镜到达点B处，此时沿着天花板边缘O射入的光线，经过平面镜反射恰好落在灯带的右侧端点D处，此时测得天花板边缘O的仰角为，该会议室天花板的高度为，则灯带的长约为 ．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．作于点，作于点，由题意得，，，根据光的反射得到，，推出，，再解和求出的长，得出的长，再利用即可求解． 【详解】解：如图，作于点，作于点， 由题意得，，，， 根据光的反射可得，， 又，， ， ， 同理可得：， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 灯带的长约为． 故答案为：． 33．（2025·福建厦门·二模）某公园有一个地面喷泉景观区，如图，在景观区内的点处竖直装有水管，地面上、下的长度分别为，，点处连接水泵，点处装有喷头，使其向右喷出抛物线形水柱（简称喷泉）．该抛物线上与点离地高度相同的点记为，喷泉的最大高度（即最高点的离地高度）记为，通常当时喷泉达到最佳观赏比例．小梧用无人机拍摄喷泉景观区．无风时，观测到与射线的夹角为，且此时该喷泉正好达到最佳观赏比例． (1)通常来说，在不考虑水管对水的摩擦和阻力的情况下，水泵能把水从水泵竖直压上去的最大高度近似为该水泵的压水扬程．但实际上，考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及若要保持水柱特定形状（如抛物线形），都需要水泵有更大的压水扬程．小桐推断：这个喷泉的水泵的压水扬程为．你同意吗？请说明理由； (2)根据测算，当有风且风力不超过3级时，该喷泉仍保持抛物线形，但受风力影响，喷泉的最大高度是无风时的至，的长度也会改变，表三是测算所得的数据． 表三 3.20 3.25 3.30 3.35 3.41 3.50 的长度 8.80 9.00 9.20 9.40 9.60 10.00 当有风且风力不超过3级时， ①判断喷泉是否还可能达到最佳观赏比例，并说明理由； ②记喷泉落地点为．无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，是否会穿进喷泉？请说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)不同意；理由见解析 (2)①不可能达到；理由见解析  ②不会穿进；理由见解析 【分析】（1）首先求出，然后得到，，由求出，然后在中，解直角三角形求出，然后得到，求出，得到，进而求解即可； （2）①首先求出，然后求出当有风且风力不超过3级时，，然后由，求出，进而判断求解即可； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出抛物线形喷泉的解析式为，然后得出，，当时，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）由题可知，． 过点作于，交地面水平线于点，则，． 所以． 所以． 因为喷泉为抛物线形状， 所以点，关于直线成轴对称． 所以． 过点作，交的延长线于点， 则． 因为， 所以． 在中，， 所以，即． 因为此时该喷泉正好达到最佳观赏比例， 所以，即． 所以． 解得． 所以． 考虑到水管对水的摩擦和阻力，以及要保持水柱为抛物线形， 所以该喷泉的水泵的压水扬程应大于，故不同意小桐的推断． （2）①根据表三，当有风且风力不超过3级时，长度随着喷泉的最大高度的增大大致呈现出均匀增大的规律． 设． 把，代入可得， 解得 所以． 由（1）可知，无风时． 由题可知，当有风且风力不超过3级时，，即． 若喷泉达到最佳观赏比例，则，即． 又因为，可得． 解得，不符合的条件． 所以，有风且风力不超过3级时，喷泉不可能达到最佳观赏比例； ②以地面水平线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则点的坐标为． 过点作于，交轴于点，则，顶点的坐标为． 设该抛物线的解析式为：， 因为，， 所以． 所以． 把代入，得． 可得，即． 若设该抛物线的解析式为，则，可得． 又因为抛物线经过，可得． 即抛物线形喷泉的解析式为． 由①可知，，而， 所以． 对于， 因为，在每个象限内，随的增大而增大． 所以． 因为当时，， 可得，即无论取何值，无人机飞行终点的位置（射线正上方且与点水平距离处）都在抛物线外． 对于该抛物线，因为，当时，随的增大而减小． 所以当时，都有． 也即，无人机从射线正上方且与点水平距离处出发，水平向左飞行，不会穿进喷泉． 【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，解直角三角形．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$