专题08 尺规作图（5大题型）（福建专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题08 尺规作图 题型概览 题型01 作线段 题型02 尺规作图——作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 画圆和过圆外一点作圆的切线 ( 题型01 )作线段 1．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，按要求完成下列问题． (1)分别作出的边、的中点、，连接并延长到点，使，连接，得四边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，求证：四边形是平行四边形． ( 题型0 2 )尺规作图——作角 3．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 4．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． ( 题型0 3 )作角平分线 5．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 6．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． ( 题型0 4 )作垂线 7．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 8．（2025·福建厦门·二模）某地举办中学生科技创新夏令营，小梧的团队要用轻型材料搭建几何艺术小展区，他们参考了各种屋顶桁架结构设计了含有“自相似形”的展区顶棚．顶棚由2个等腰三角形（顶角为钝角）桁架组成，他们要在每个桁架（如图的）的左右两侧斜梁，和横梁之间对称安装若干连接杆，其中在左侧的操作步骤如下： ①在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ②在斜梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ③在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆；……依此类推． (1)如图是桁架的平面设计图，请在该图中作出点；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若他们设计的桁架斜梁长度为，且与横梁夹角为．根据测算，为确保安全性和稳定性，每个桁架的左右两侧至少要各安装2个连接杆，每个桁架配的连接杆材料是否够用？请说明理由； (3)从数学的角度，上述操作可不断进行．设为，为，直接写出表示左侧连接杆的线段的长度变化规律的代数式． 9．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． ( 题型0 5 )画圆和过圆外一点作圆的切线 10．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 11．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 尺规作图 题型概览 题型01 作线段 题型02 尺规作图——作角 题型03 作角平分线 题型04 作垂线 题型05 画圆和过圆外一点作圆的切线 ( 题型01 )作线段 1．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，， (1)尺规作图： 将绕点B按顺时针方向旋转得到，使得点C的对应点E恰好落在线段上；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接的平分线交于点F，连接．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，旋转的性质； （1）先以为圆心，为半径画弧与的交点即为，再分别以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交点即为； （2）由（1）可得，，，，即可求出，再根据的平分线结合等腰三角形的三线合一得到，最后根据斜边中线得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）可得，，，， ∴， ∴， ∵的平分线交于点F，， ∴， ∴． 2．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知，按要求完成下列问题． (1)分别作出的边、的中点、，连接并延长到点，使，连接，得四边形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)根据（1）中作图，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）根据题目要求，使用尺规作图的方法找到三角形的中点，并且连接这些中点形成线段; （2）由题意证明四边形的一组对边平行且相等即，． 【详解】（1）解：如图，就是所要求作的 （2）证明： ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ( 题型0 2 )尺规作图——作角 3．（2025·福建福州·二模）如图，在中，． (1)尺规作图：求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解；如图所示，点D即为所求； （2）解：如图所示，设交于点，过点作于点，设， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， 解得， ． ． 4．（2025·福建莆田·二模）问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． ( 题型0 3 )作角平分线 5．（2025·福建厦门·二模）如图，在中，． (1)在边上确定一点O，以O为圆心，为半径作，使得与边相切于点D；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)已知，，在所作的图形中，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，切线的性质，切线长性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，只需作的平分线，与的交点就是所求作的圆心O． （2）根据勾股定理，切线的性质计算即可． 【详解】（1）解：如图：为所作． （2）解：连接， 在中，，，， ， ，且点在上， 为的切线， 与相切于， ， ， 设的半径为， 在中， ， 解得：，即的半径为． 6．（2025·福建龙岩·二模）如图，已知中，． (1)求作，使圆心在边中点，且与边相切于点；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：是的切线． 【答案】(1)作图见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，作垂线，切线的判定与性质，角平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先作角平分线，交于点，然后过作的垂线，以为半径作圆即可； （）过作于点，由与边相切于点，则，由作图可知平分，所以，然后根据切线的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：过作于点， ∵与边相切于点， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． ( 题型0 4 )作垂线 7．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 【答案】任务一：，作图见解析,任务二：当时，通信线路取得最小值 【分析】（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，再根据外角性质得出，结合勾股定理算出，，则，即可作答． （2）在等腰直角三角形中，，过点B作，使得，先证明，得出，即，则当A、N、D三点共线时， 有最小值，，得出米，即可作答． 【详解】解：任务一：如图所示， 作的垂直平分线交于点D， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴ ． 任务二： 在等腰直角三角形中，， 过点B作，使得，如图， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∴， 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当时，有最小值， 过点A作交的延长线于点E， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴米，， ∴米， 即当时，通信线路取得最小值． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的性质，做垂线，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（2025·福建厦门·二模）某地举办中学生科技创新夏令营，小梧的团队要用轻型材料搭建几何艺术小展区，他们参考了各种屋顶桁架结构设计了含有“自相似形”的展区顶棚．顶棚由2个等腰三角形（顶角为钝角）桁架组成，他们要在每个桁架（如图的）的左右两侧斜梁，和横梁之间对称安装若干连接杆，其中在左侧的操作步骤如下： ①在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ②在斜梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆； ③在横梁上确定点，使与相似，且与点对应，得到连接杆；……依此类推． (1)如图是桁架的平面设计图，请在该图中作出点；（作图要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若他们设计的桁架斜梁长度为，且与横梁夹角为．根据测算，为确保安全性和稳定性，每个桁架的左右两侧至少要各安装2个连接杆，每个桁架配的连接杆材料是否够用？请说明理由； (3)从数学的角度，上述操作可不断进行．设为，为，直接写出表示左侧连接杆的线段的长度变化规律的代数式． 【答案】(1)见解析 (2)不够用；理由见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点即可； （2）作于点，求得，推出，证明和，求得，，进一步计算即可求解； （3）同（2）求得，利用和，求得，，得到规律，利用规律求解即可． 【详解】（1）解：点如图所示； ； （2）解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 根据题意需要连接杆的长度为， ∵， ∴每个桁架配的连接杆材料不够用； （3）解：∵，，如图，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．第三问，推出规律是解题的关键． 9．（2025·福建南平·二模）如图，在等腰三角形中，，点为边上的点． (1)尺规作图：在的外侧作，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了利用尺作一个三角形，全等三角形的判定与性质综合，解直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识，并能熟练运用求解． （1）法一，利用作全等三角形；法二：利用作全等三角形；法三：通过作一次垂直构造全等三角形；法四：通过作两次垂直构造全等三角形； （2）先利用等腰直角三角形的性质，说明，再设，可用表示出，接着用表示出，就可用表示出，然后利用全等三角形的性质证得，就可求得的值． 【详解】（1）解：作图． 法一：作．   法二：作． 法三：作．     法四：作． 如图所示，即为所作的三角形． （2）过点作，垂足为点， 等腰三角形中，， ， 设，则， ， ． 又， ， ． ( 题型0 5 )画圆和过圆外一点作圆的切线 10．（2025·福建福州·二模）已知矩形中，为边上一点，连接，，为上一点，且． (1)如图，作，满足圆心在上，且经过点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（）的条件下，如图，若点在上，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（）连接，作线段的垂直平分线，交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可； （）连接，利用圆周角定理和矩形的性质可证，可得，又由平行线的性质得，即得，进而即可求证． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，圆周角定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2025·福建泉州·二模）如图，直线l，垂足为B，， (1)求作，使得与直线相切，切点为T；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求点T到直线l的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作的垂线，垂足为，再以点为圆心，为半径作圆，则即为所作； （2）连接，过点T作，垂足为H．在中，利用三角函数求得，再由勾股定理求得．再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，是所求作的圆： （2）解：如图，连接，过点T作，垂足为H． ∵是的切线， ∴， 即， ∴， 在中，，， 由勾股定理，得． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点T到直线的距离为． 【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$