专题12 尺规作图、投影与视图（6大题型31题）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题12 尺规作图、投影与视图 题型概览 题型01 作角平分线 题型02 作垂线 题型03 画圆 题型04 过圆外一点作圆的切线 题型05 判断几何体的三视图 题型06 三视图的相关计算 ( 题型01 )作角平分线 1．（2025·甘肃临夏·一模）用直尺和圆规作圆的内接正方形． 作法 图形 ①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形． (1)完成作图；（保留作图痕迹） (2)说明按作法求作的四边形是正方形的理由． 【答案】(1)作图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查作图－复杂作图，角平分线的定义，直径所对的圆周角等于，正方形的判定，用“”证明三角形全等及性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：理由如下： ， ， 的平分线交于点， ， 是的直径， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． (1)在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． (2)请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析，正确，理由见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质． 按照小东的作法作出点，连接，，，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据圆周角定理可证点是的中点； 利用尺规作图作的平分线交于点，根据圆周角定理可知点即为的中点． 【详解】（1）解：如图所示． 小东的作法正确， 理由如下： 如图所示，连接，，，， 在和中，， ， ， 是的中点； （2）解：解图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、， 分别以点、为圆心大于为半径画弧，两弧交于点， 连接交于点， 点即为所求． 3．（2025·甘肃·一模）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了基本作图-角平分线，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作图—角平分线的作法，进行作图即可； （2）利用矩形的性质和直角三角形的性质得到，，，利用角平分线得到，则，即可证明猜想． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：猜想， 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵． ∴，， ∵， ∴ ∵的平分线，交于点M． ∴， ∴， ∴ 4．（2025·甘肃·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【详解】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． ( 题型02 )作垂线 5．（2025·甘肃定西·一模）《圆之吻—有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物．其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，尺规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程． 如图，已知弓形，的圆心为，的长为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以点和点为圆心，以的半径的长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间的距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作的两个圆弧在的下方分别交于点和点； ②分别以点和点为圆心，以的长为半径作圆弧，在上方相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作圆，与相交于点，则就是所求作的的中点． 【答案】见详解 【分析】根据题意进行作图；连接，证明是的垂直平分线即可；本题考查了作图能力，垂径定理的应用，掌握垂直平分是解题的关键． 【详解】解：如图，点F即为所求作的的中点； 理由如下：连接， 由作图可得：，， ∴四边形，为平行四边形，， ∴，，，， ∴三点共线；， ∵， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴点就是所求作的的中点； 6．（2025·甘肃平凉·一模）筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)该筒车的半径长为． 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，尺规作图等知识点． （1）先作出线段的垂直平分线，根据垂径定理和圆的性质可得即是所求； （2）利用垂径定理和勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】（1）解：线段如图所示． （2）解：由（1）知，且点在直线上，连接， ， ， 设该筒车的半径长为， ， ， ， 解得， 即该筒车的半径长为． 7．（2025·甘肃·一模）今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2025·甘肃·一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角． 求作：． 小芸的作法如下：如图．①作线段的垂直平分线m；②作线段的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，为半径作圆；④则为的外接圆；⑤在弧上取一点P，连结，，所以． 根据小芸设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接，，； 由作图可知，（①_________），（填推理的依据） ∴， ∴为的外接圆． ∵点C，P在上，， ∴（②_________）．（填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，同弧所对的圆周角相等 【分析】（1）根据步骤作图即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质证明为的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：连接，，； 由作图可知，（线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等） ∴， ∴为的外接圆． ∵点C，P在上，， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，同弧所对的圆周角相等 【点睛】此题考查了作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是正确作出图形，灵活应用所学知识解决问题． ( 题型03 )画圆 9．（2025·甘肃张掖·一模）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则是的切线． (1)按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． (2)若的半径是2，的半径是，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作线段垂直平分线，作圆，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，正确理解题意作出对应的图形是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）如图所示，连接，可得，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴． 10．（2025·甘肃·一模）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得． 【详解】（1）解：（1）如图：    （2）． 理由：连接DF，EG如图所示    则BD=BF=DF，BE=BG=EG 即和均为等边三角形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键． 11．（2025·甘肃·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）按照题意作图即可； （2）先根据三线合一定理得到CO⊥AB，然后证明BD＝r即可得到S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（三线合一定理）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝2S小⊙O． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键． ( 题型0 4 )过圆外一点作圆的切线 12．（2025·甘肃金昌·一模）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，，则，，是的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作圆的切线，根据题干中的步骤作图即可． 【详解】如图所示， 13．（2025·甘肃·一模）【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】    (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明是切线的理由； (3)若半径为3，，求的长． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆的切线的作法与证明，还涉及切线的性质、线段垂直平分线的性质、圆的性质、勾股定理等，解题的关键是熟知圆的相关性质． （1）根据题干提供的方法作出的切线即可． （2）依据直径所对的圆周角是直角可推得半径，则即为的切线． （3）连接．先由勾股定理求得的长，再由线段垂直平分线的性质可设，则，然后利用中的三边关系可求得x的值即可． 【详解】（1）画图：如图所示．    （2）证明：由题意，得：为的直径， ∴． ∴． ∵为的半径， ∴直线为的切线； （3）解：连接OD． ∵，， 在中，． 由作图可知：为的垂直平分线， ∴． 设．，则 在中，， ∴． 解得． 即：． ( 题型0 5 )判断几何体的三视图 14．（2025·甘肃金昌·一模）如图，所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图． 根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案． 【详解】 解：几何体的俯视图为 故选：C． 15．（2025·甘肃·一模）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键．根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看到的是三个正方形， 则俯视图为： 故选：A． 16．（2025·甘肃·一模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，根据从正面所看到的图形是主视图即可求解，掌握三视图是解题的关键． 【详解】解：如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是， 故选：． 17．（2025·甘肃·一模）如图所示的几何图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图的定义：从正面看得到的视图是主视图是解题的关键．根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：从正面看，从左起第一列有个小正方形，第二列有个小正方形，第三列有个小正方形，第四列有个小正方形，如图： 故选：B． 18．（2025·甘肃·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面往下看一一判断即可． 【详解】解：A．俯视图是两个共圆心的圆，故本选项不合题意； B．俯视图是圆，故本选项不符合题意； C．俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意； D．俯视图是三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 19．（2025·甘肃兰州·一模）如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是关键． 根据立体图形的特点分析即可． 【详解】解：左视图为， 故选：A ． 20．（2025·甘肃白银·一模）如图，这是U型磁铁示意图，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握：左视图是从左边看得到的图形．据此解答即可． 【详解】解：从左边看，是一个矩形，矩形中下部有一条横向的虚线． 故选：A． 21．（2025·甘肃武威·一模）如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮俯视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，熟练掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的前提．直接根据简单几何体三视图的画法画出其主视图即可． 【详解】解：该玉琮俯视图为： 故选：D． 22．（2025·甘肃·一模）如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键；根据几何体的特征可进行求解． 【详解】解：由图可知：该几何体的左视图如图所示： 故选B． 23．（2025·甘肃·一模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键； 从正面看得到的视图是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，根据中心对称图形的定义，即可求解； 【详解】解：主视图如图所示， 不是中心对称图形； 左视图如图所示， 不是中心对称图形； 俯视图如图所示， 是中心对称图形． 故选：C 24．（2025·甘肃·一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 【详解】 解：由题意，得：“卯”的俯视图为：． 故选A． ( 题型0 6 )三视图的相关计算 25．（2025·甘肃·一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，几何体的表面积，根据三视图判断这个几何体的形状，再根据圆锥体的侧面积、底面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据三视图判断，该几何体是圆锥，底面圆的直径为4，母线长为5， ∴这个几何体的表面积是， 故答案为：． 26．（2025·甘肃·一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱的体积，利用三视图还原几何体是解题关键．由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为，再根据圆柱的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可知，几何体可以看成两部分，上部分是半圆柱，直径为，高为5，下部分是圆柱，直径为，高为， 则它的体积是， 故选：B． 27．（2025·甘肃·一模）如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个． 故选：C． 28．（2025·甘肃·一模）如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三视图还原几何体，正三棱柱表面积，解直角三角形，根据三视图可知，该几何体为正三棱柱，记底面三角形高为，结合解直角三角形求出，分别算出三棱柱的侧面积和三棱柱的两个底面积，即可得到这个几何体的表面积． 【详解】解：根据三视图可知，该几何体为正三棱柱， 三棱柱的侧面积为：， 记底面三角形高为，则， 三棱柱的两个底面积为：， 这个几何体的表面积是， 故答案为：． 29．（2025·甘肃·一模）由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查对三视图掌握程度和灵活运用能力，从左视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 【详解】解：底层正方体最多有2个正方体，第二层最少有1个正方体，所以组成这个几何体的小正方体的个数最少有3个． 故选：A． 30．（2025·甘肃·一模）如图是某种工件的三视图，其俯视图为正六边形，它的表面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是几何体的表面积及由三视图判断几何体，解题的关键是先判断几何体，再求其表面积． 由三视图可知，它的表面积为侧面积加上2个正六边形的面积． 【详解】解：由已知三视图得出，某种工件为六棱柱，如图，作于， 则， 工件为六棱柱， 为三角形． ． ． 工件为六棱柱， ． ， 六棱柱的侧面积为：， 所以它的表面积为：． 故答案为：． 31．（2025·甘肃·一模）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 【答案】7 【分析】本题考查根据三视图确定小正方体的个数，根据俯视图定位置，主视图确定个数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，当小立方块最少时，如图： （画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）； （个）； 故答案为：7． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 尺规作图、投影与视图 题型概览 题型01 作角平分线 题型02 作垂线 题型03 画圆 题型04 过圆外一点作圆的切线 题型05 判断几何体的三视图 题型06 三视图的相关计算 ( 题型01 )作角平分线 1．（2025·甘肃临夏·一模）用直尺和圆规作圆的内接正方形． 作法 图形 ①作直径． ②过点作的垂线． ③作的平分线交于点． ④以为圆心，长为半径，作弧交于点． ⑤依次连接，，． 四边形就是所求作的正方形． (1)完成作图；（保留作图痕迹） (2)说明按作法求作的四边形是正方形的理由． 2．（2025·甘肃嘉峪关·一模）有这样一道尺规作图题： 如图，点，，在上，连接，．求作：的中点． 下面是小东的作法： 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在右侧交于点，作射线交于点，则点即为所求． (1)在图中根据小东的作法画出点，试判断小东的作法是否正确，并说明理由． (2)请在备用图中再给出一种作图方法．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 3．（2025·甘肃·一模）如图，四边形是矩形，连接． (1)实践操作∶利用尺规作的平分线，交于点M．(要求∶尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母) (2)猜想证明：在所作的图中，猜想线段与的数量关系，并证明你的猜想． 4．（2025·甘肃·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． ( 题型02 )作垂线 5．（2025·甘肃定西·一模）《圆之吻—有趣的尺规作图》是一本关于尺规作图的综合性科普读物．其中有尺规作图，单规作图，单尺作图，尺规作图等一系列作图题，请你利用书中第六章尺规作图中给出的作法，完成下面的作图过程． 如图，已知弓形，的圆心为，的长为半径，只用圆规求作的中点．（按如下步骤完成，保留作图痕迹） ①分别以点和点为圆心，以的半径的长为半径作圆弧，再以点为圆心，两端点之间的距离为半径作弧，这个圆弧与刚才所作的两个圆弧在的下方分别交于点和点； ②分别以点和点为圆心，以的长为半径作圆弧，在上方相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作圆，与相交于点，则就是所求作的的中点． 6．（2025·甘肃平凉·一模）筒车（图1）是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图2，表示筒车的外轮廓，为筒车的涉水宽度，为涉水深度（筒车下方最低点到水面的距离，分别在线段、劣弧上）． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出线段，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作出的图形，若筒车的涉水宽度，涉水深度，求该筒车的半径长． 7．（2025·甘肃·一模）今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年．十年来，我国与151个国家、32个国际组织签署了200余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息．如图，北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建一个货物中转仓，使其到A，B，C三地的距离相等，那么如何选择中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P，保留作图痕迹，不用说明理由，并在答题卡上描黑作图痕迹． 8．（2025·甘肃·一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角． 求作：． 小芸的作法如下：如图．①作线段的垂直平分线m；②作线段的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，为半径作圆；④则为的外接圆；⑤在弧上取一点P，连结，，所以． 根据小芸设计的尺规作图过程． (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：连接，，； 由作图可知，（①_________），（填推理的依据） ∴， ∴为的外接圆． ∵点C，P在上，， ∴（②_________）．（填推理的依据） ( 题型03 )画圆 9．（2025·甘肃张掖·一模）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，则是的切线． (1)按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． (2)若的半径是2，的半径是，求的长． 10．（2025·甘肃·一模）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题： 原文 释义 甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．    (1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系． 11．（2025·甘肃·一模）有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案： ①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作射线OC交⊙O于点D； ②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆； ③大⊙O即为所求作． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA、CB 在△ABC中，∵CA＝CB，O是AB的中点， ∴CO⊥AB（ 　 　）（填推理的依据） 设小O半径长为r ∵OB＝OD，∠DOB＝90° ∴BD＝r ∴S大⊙O＝π（r）2＝　 　S小⊙O． ( 题型0 4 )过圆外一点作圆的切线 12．（2025·甘肃金昌·一模）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”． 如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图： ①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A； ②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R； ③连接，，则，，是的切线． 按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹． 13．（2025·甘肃·一模）【阅读材料】在学习完《24.2．2直线与圆的位置关系》，某位老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线，使与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线的上下两侧）； ②作直线交于点C； ③以点C为圆心，为半径作，交于点Q（点Q位于直线的上侧）； ④连接，交于点D，则直线即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】    (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明是切线的理由； (3)若半径为3，，求的长． ( 题型0 5 )判断几何体的三视图 14．（2025·甘肃金昌·一模）如图，所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃·一模）如图所示几何体的俯视图是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·甘肃·一模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·甘肃·一模）如图所示的几何图形的主视图是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·甘肃·一模）下列几何体中，俯视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·甘肃兰州·一模）如图是由四块完全相同的正方体木块组成的几何体，其左视图为（   ） A． B． C． D． 20．（2025·甘肃白银·一模）如图，这是U型磁铁示意图，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·甘肃武威·一模）如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．下列是该玉琮俯视图的是（   ） A． B． C． D． 22．（2025·甘肃·一模）如图，是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 23．（2025·甘肃·一模）如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图中是中心对称图形的是（   ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．以上说法都不对 24．（2025·甘肃·一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )三视图的相关计算 25．（2025·甘肃·一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是 ． 26．（2025·甘肃·一模）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·甘肃·一模）如图是由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小正方体最少有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 28．（2025·甘肃·一模）如图，从三个不同方向看同一个几何体得到的平面图形，则这个几何体的表面积是 ． 29．（2025·甘肃·一模）由若干个相同小正方体搭成的几何体，其主视图和左视图如图所示．则搭成这个几何体至少需要小正方体的个数是（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 30．（2025·甘肃·一模）如图是某种工件的三视图，其俯视图为正六边形，它的表面积是 ． 31．（2025·甘肃·一模）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$