专题17 二次函数压轴题（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题17 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃·一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线向右平移2个单位后得抛物线，则符合条件的m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．先把抛物线化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出右平移2个单位后所得抛物线的解析式，写出对应系数的值即可． 【详解】解：抛物线化为， 抛物线向右平移2个单位后得抛物线，所得抛物线的解析式为：，即， ，解得， 故选：D． 2．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算等知识是关键． 根据二次函数图象可得，结合题意判定即可． 【详解】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点， ∴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图像与轴有两个交点， ∴，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； ∵对称轴为直线， ∴与时，值相等， ∴当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 3．（2025·甘肃·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最小值是 D．函数图象与y轴的交点坐标是 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象的对称轴以及开口方向，最值是解题的关键 根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】由二次函数的顶点式为， 顶点坐标为)，选项A说法错误，故该选项不符合题意； 对称轴为直线，选项B说法正确，故该选项符合题意； 函数的开口方向由 a 决定，且， 抛物线开口向下，抛物线有最大值，最大值为顶点的 y 坐标，为，选项C说法错误，故该选项不符合题意； 令，则， 图象与y轴的交点坐标为，故D选项错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， 对称轴位于轴的右侧， ∴， 抛物线与轴交于正半轴， 故错误； ②对称轴为直线，得，故正确； ③抛物线与x轴交于点， ，即， 故③错误； ④抛物线与x轴交于点和点B，对称轴为直线， ， 设二次函数关系式为， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后的函数关系式为， 当时，， 抛物线沿着y轴向下平移1个单位长度后经过点故④正确； 综上所述，正确的结论为：② 故选B． 5．（2025·甘肃·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∵，， ∴点与点关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 6．（2025·甘肃·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，根据题意可知抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧，由，即，可知对称轴直线，即可求解．利用对称性求出对称轴从而得出对称轴直线是解题关键． 【详解】解：∵抛物线（是常数，）经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，总有， ∴离对称远，离对称近，则点一定在对称轴右侧， 又∵，即， ∴对称轴直线，可得， ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 7．（2025·甘肃·一模）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米．    【答案】 【分析】先求出函数表达式，再求出点S和点T的坐标，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴点K的坐标是， 把代入得， 解得， ∴， ∵门的高度为1.5米，， ∴点S和点T的纵坐标均为1.5， 当时，， 解得，， ∴ 则， 即横梁的长度是米． 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、求点的坐标，准确求出点S和点T的坐标是解题的关键． 8．（2025·甘肃·一模）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为，图象开口向上；利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴距离对称轴越近，函数值越小， 而， ∴， 故答案为：． 9．（2025·甘肃·一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据图中信息可设抛物线表达式为，再将点A坐标代入表达式中可求出a值，以此即可求出抛物线的表达式，再根据题意解方程即可解答． 【详解】解：根据图中信息可设抛物线表达式为， 由抛物线过点， 得， 解得：， ∴铅球路径所在抛物线的表达式为； 令，则， 解得：， ∵点C在x轴正半轴上， ∴， ∴米， 故答案为： 10．（2025·甘肃·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先建立坐标系求解二次函数的解析式为，求解当时的自变量的值，从而可得答案； 【详解】解：如图，建立坐标系如下： 由题意可得，顶点， ∴设抛物线为：， ∴， 解得：， ∴抛物线为； 当时， ∴， 解得：，， ∵， ∴， 而， ∴农具活动范围的宽度为； 故答案为： 11．（2025·甘肃·一模）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点问题．令，（表示与轴平行的直线）结合二次函数的图象即可求解． 【详解】解：有两个不相等的实数根， 有两个不相等的实数根， 令，（表示与轴平行的直线）， 与有两个交点， ， ， 是整数， 整数的最小值为2 故答案为：2． 12．（2025·甘肃·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 13．（2025·甘肃·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求出二次函数的解析式，令，则，根据根与系数的关系求出，，求出，根据，得出求出m的取值范围即可． 【详解】解：把，代入得： ， 解得：， ∴， 令，则， ∴， ∵，在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：， 综上分析可知：． 故答案为：． 三、解答题 14．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)对称轴是直线 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称轴，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由点和都在二次函数（是常数）的图象上，从而，，结合，求出a，b，即可判断得解； （2）依据题意，结合二次函数的对称轴为直线，把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： 点和都在二次函数（是常数）的图象上， ， 又， ， 二次函数为． （2）解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴直线， ∴对称轴是直线． 15．（2025·甘肃嘉峪关·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式． (3)已知车棚的宽度为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围．工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请确定消防喷淋头N与点B的距离的取值范围，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1米米，见解析 【分析】（1）建立以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系即可知点M的坐标； （2）根据（1），可知抛物线顶点M的坐标，且过点．设抛物线的函数表达式为．代入求解即可； （3）结合（1）和（2），过点E作的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交于点Q，则点Q的坐标为，进一步求得点P的坐标为，记顶点为M的抛物线为，顶点为N的抛物线为，由题意，可知抛物线可看作由抛物线向右平移得到的． 解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线过点时，过点P作于点H，则．即可知当抛物线过点时，． 解法二：根据抛物线的平移吗，设抛物线的函数表达式为．当抛物线经过点时，解得，则可求得和．当抛物线经过点时，解得，即可求得和． 总述即可得到消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围． 【详解】（1）解：如图1，以D为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则点M； （2）解：由图1，可知抛物线顶点M的坐标为，且过点． 设抛物线的函数表达式为． 将代入，得，解得． 抛物线的函数表达式为； （3）解：如图2和图3，过点E作的平行线，交（1）中的抛物线于点P，交于点Q，则点Q的坐标为， 令，解得或． 点P的坐标为． 记顶点为M的抛物线为，顶点为N的抛物线为 由题意，可知抛物线可看作由抛物线向右平移得到的． 解法一：根据抛物线的对称性，可知当抛物线过点时，如图2，过点P作于点H，则． ． 如图3，当抛物线过点时，． 解法二：设抛物线的函数表达式为． 当抛物线经过点时，如图2，则，解得或（舍去）． ． ． 当抛物线经过点时，如图3，则，解得或（舍去）． ． ． ． 消防喷淋头N与点B的距离BN的取值范围为1米米． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及建立坐标系、待定系数法求解析式、二次函数的对称性和二次函数的平移等知识点，解题的关键是熟悉二次函数的性质． 16．（2025·甘肃兰州·一模）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)梭梭树较茂密地带宽度CE的长为 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等． （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为 ∵抛物线经过点， ∴， 解得： ∴该抛物线的表达式为： （2）解：∵， ∴点C的横坐标为30． ∴当时， ∴梭梭树较茂密地带宽度的长为 ． 17．（2025·甘肃·一模）如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)面积的最大值为， (3)或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：， 联立方程组：， 解得或， ∵， ∴点的坐标是； （2）解：如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，的面积的最大，最大值为，此时； （3）解：设直线与轴相交于点，则， ∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G， ∴设点坐标为，则点点坐标为， ， ， ， 轴， ， 若为直角三角形，则是等腰直角三角形， ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ； ②当，则， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或． 18．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3． 【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论． 【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3； 设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0）， 将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得： ，解得：， ∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1． （2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示． 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+ ． ∵﹣＜0， ∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣， ）． （3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3， ∴点N的坐标为（0，3）． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1． ∵点C的坐标为（﹣2，3）， ∴点C，N关于抛物线的对称轴对称． 令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示． ∵点C，N关于抛物线的对称轴对称， ∴MN＝CM， ∴AM+MN＝AM+MC＝AC， ∴此时△ANM周长取最小值． 当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2， ∴此时点M的坐标为（﹣1，2）． ∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3）， ∴AC＝ ＝3，AN＝ ＝， ∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+． ∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置． 19．（2025·甘肃·一模）如图抛物线y＝x2+bx+c（c＜0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由； （3）连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB＝∠ACO，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)；（3）(，﹣)或(4，5) 【分析】（1）易求得点B，C坐标，即可求得b、c的值，即可解题； （2）易求得顶点D的坐标，即可求得直线BD的解析式，根据∠CEF＝90°，即可求得点E纵坐标为﹣3，即可解题； （3）存在2种情况：①∠PCB＝∠ACO，②∠P'CB＝∠ACO，可分别求得tan∠PCE的值，即可求得直线PC斜率，即可求得直线PC于抛物线交点P坐标，即可解题． 【详解】解：（1）∵OB＝OC＝3， ∴点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3）， ∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，∴， 解得：c＝﹣3，b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， ∴点D坐标为（1，﹣4）， ∵直线BD经过点B，D，设直线BD解析式为y＝kx+b， 则， 解得：k＝2，b＝﹣6， ∴直线BD解析式为y＝2x﹣6， ∵△ECF为直角三角形， 当∠CEF＝90°时，E点纵坐标和等于C点纵坐标， ∴点E纵坐标为﹣3， ∴点E横坐标为， ∴点E坐标为（，﹣3）； 当∠FCE＝90°时， ∵EF⊥x轴，所以易得△CFO∽FEC， ∴，即EF•OC＝CF2，＝OF2+OC2， 设OF＝m，因此F的坐标为（m，0）代入直线BD的方程y＝2x﹣6得E的坐标为（m，2m﹣6）， ∴EF＝6﹣2m， ∴（6﹣2m）×3＝m2+9，解得m＝3﹣3（负值舍去）， ∴点E的坐标为（3﹣3，6﹣12） 综上可得存在这样的点E，E点的坐标为(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)． （3）存在2种情况： ①∠PCB＝∠ACO， ∵∠BCE＝45°， ∴tan∠BCE＝1， ∵tan∠ACO＝， ∴tan∠PCB＝， ∴tan∠PCE＝tan（∠BCE﹣∠PCB）＝， ∵直线PC经过点P， ∴直线PC解析式为：y＝x﹣3， ∴点P坐标为：(，﹣)， ②∠P'CB＝∠ACO， ∵∠BCE＝45°， ∴tan∠BCE＝1， ∵tan∠ACO＝， ∴tan∠P'CB＝， ∴tan∠P'CE＝tan（∠BCE﹣∠P'CB）＝， ∵直线PC经过点P， ∴直线PC解析式为：y＝2x﹣3， ∴点P坐标为：(4，5)． 【点睛】本题包含知识点有求二次函数解析式，一次函数解析式，相似三角形的证明与性质，三角函数等知识点，属于中考综合题型，难度较难． 20．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为2 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； （3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 21．（2025·甘肃·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出点，，得出，根据，点D为抛物线顶点，得出，根据点D到x轴的距离与的长度相等，得出，求出结果即可； （2）设点P的坐标为，求出，直线的表达式为，得出，根据，求出结果即可； （3）过点P作轴交的延长线于点H，证明，得出，根据点，求出，得出，说明，根据二次函数的性质，求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 令，则，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， ∴， ∵，点D为抛物线顶点， ∴， ∵点D到x轴的距离与的长度相等， ∴， ∴. ∴此抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 设点P的坐标为， 令，则， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， 解得，， ∴点P的坐标为或； （3）解：如图，过点P作轴交的延长线于点H，    由题知，， ∵轴， ∴， ∴， 由（1）可得，，由（2）可得，直线的表达式为，点， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 22．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）设点，，结合点为第四象限内抛物线上一动点， ，可得，再解方程并检验即可； （3）过点C作且，连接、， 证明， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； （3）解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算、求函数表达式等，确定三角形全等是解题的关键． 23．（2025·甘肃·一模）综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，S有最大值，S的最大值为 (3)存在，点M的坐标为或 或 【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案； （2）过点P作x轴的垂线交线段于Q，再根据，根据二次函数的性质即可得答案； （3）分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别求解即可得答案． 【详解】（1）将点代入得， ，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点Q， 如图，抛物线与y轴交点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∴当时，S有最大值，S的最大值为； （3）存在． ①如图2，当四边形 为平行四边形时，． ∵抛物线的对称轴为直线，点． ∴点； ②如图3，当四边形为平行四边形时，过点M作轴于点Q． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴，． 设点， ∴，解得，， ∴点 或， 综上所述，点M的坐标为或 或 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键． 24．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值的取值范围． (3)当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，且的最大值为，则的取值范围是______________． (4)已知、两点均在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将抛物线上、两点之间（含、两点）的图像记为，当图像的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由抛物线的解析式为，可得时，有最小值为，再求出和时的函数值，即可求解； （3）求出函数值为是时的自变量的值，即可求解； （4）由题意得：，，分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 对称轴为直线， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线开口向上，在时，有最小值为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，先随的增大而减小，后随的增大而增大，的最小值为， 当时，， 当时，， 当时，的最大值为， 当时，； （3）把代入得：， 解得：，， 当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，且的最大值为，且对称轴为直线， ， 故答案为：； （4）由题意得：，， 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为或． 25．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标； (3)抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据题意画出图形，分类讨论是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式的顶点式得出顶点D的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再利待定系数法求出线的解析式，设，则，得出，即可求解； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况讨论：当点P在点B的下方，由得，由待定系数法求出直线的解析式，即可求解；当点P在点B的上方，如图，交于点E，设，由得，由两点间的距离公式得关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，取最大值， 此时， ∴； （3）解：设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 分以下两种情况： 当点P在点B的下方，如图， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， ∴令，则， ∴； 当点P在点B的上方，如图，交于点E， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得或， 令，则， ∴； 综上所述，抛物线上存在一点P，使得，P点的坐标为或． 26．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． (1)直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 【答案】(1)，，，抛物线对称轴为直线； (2)①； ②，时，S取得最大值． 【分析】（1）由题意令求出的值，确定出与坐标，令求出的值确定出的坐标，进而求出对称轴即可； （2）①根据与坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，进而表示出与坐标，根据抛物线解析式确定出与坐标，表示出； ②连接，设直线与轴交于点，求出的长，三角形面积等于三角形面积加上三角形面积，列出关于的二次函数解析式，利用二次函数性质确定出取得最大值时的值即可． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，得到； 令，得到， 即， 解得：或， 则，，， ∴， ∴抛物线对称轴为直线； （2）①连接， 设直线的函数解析式为， 把，分别代入得：， 解得：，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴线段； ②连接， 设直线与x轴交于点M， 由，，可得， ∵， ∴， 则当时，S取得最大值． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法确定二次函数解析式，平行四边形的判定，熟练掌握二次函数性质是解答本题的关键． 27．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，此时 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图形与性质，轴对称的性质，垂线段，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）利用二次函数的交点式和待定系数法即可求解； （2）直线的关系式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，表示出，利用表示出面积，再利用二次函数图象的性质求解即可； （3）作点关于直线的对称点，求出点的坐标，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点，此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长，过点作轴，交直线于点，求出直线的表达式，则可得点的坐标，再利用，求出即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线的关系式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 由题设点的坐标为， 则， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值， 此时， 则最大值为，此时点的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为，交直线于点， 此时，根据垂线段最短知，的最小值为的长， 如图，过点作轴，交直线于点， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， 设直线的表达式为， 把代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， 则点的坐标为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为． 28．（2025·甘肃·一模）抛物线与轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图1，点为第二象限抛物线上一点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于两点，点坐标为，连接，分别与抛物线交于M，N两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)见解析 【分析】（1）对于函数，令，则，得到，根据，得到，，把点A，B的坐标代入抛物线，求出a，b的值，即可解答． （2）过点D作轴交于点G，设（），待定系数法求得直线的解析式为，则，， 根据，得到，从而根据二次函数的性质即可解答； （3）设，，，，得到直线，直线，直线，直线；根据直线过定点，得到①，根据直线过点，得到②，根据直线过点，得到③，由②得，由③得，代入①，得，即，因此直线，即当时，，得证直线过定点． 【详解】（1）解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：过点D作轴交于点G， 设， 设过点，的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴当，有最大值，为，此时． （3）解：设，，， ， 由，可得直线； 由，可得直线； 由，可得直线； 由，可得直线； ∵直线， ∴直线过定点， 把点代入直线，可得，即①， ∵直线过点， ∴，即②， ∵直线过点， ∴，即③， 由②得， 由③得， 代入①，得， 整理，得， ∴， ∴直线 ， ∴当时，， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形等，综合运用相关知识是解题的关键． 29．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与几何图形面积，二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法，二次函数与图形面积，特殊四边形的综合运用技巧是关键． （1）根据题意得到，由抛物线与轴的交点可设，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，运用待定系数法可得直线的解析式为，设点，则点，所以，由，结合二次函数最大值的计算方法即可求解； （3）设，，则，根据菱形的性质得到，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，， ∴， 抛物线与轴交于点，， ∴设，将点代入， 得：， 解得：， ； 该抛物线的函数表达式为； （2）解：为第一象限的抛物线上一点，如图所示，过点作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：设，， ， 四边形是菱形， ， ， 解得：， ． 30．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2 (2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣） (3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=． 【分析】（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值； （2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论； （3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）． 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2； （2）∵y=﹣x2+x+2， ∴y=﹣（x﹣）2+， ∴抛物线的对称轴是x=． ∴OD=． ∵C（0，2）， ∴OC=2． 在Rt△OCD中，由勾股定理，得 CD=． ∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形， ∴CP1=CP2=CP3=CD． 作CH⊥x轴于H， ∴HP1=HD=2， ∴DP1=4． ∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）； （3）当y=0时，0=﹣x2+x+2， ∴x1=﹣1，x2=4， ∴B（4，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b，由图像，得 ， 解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2． 如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2）， ∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）． ∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN， =××2+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a）， =﹣a2+4a+（0≤x≤4）． =﹣（a﹣2）2+ ∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=， ∴E（2，1）． 【点睛】1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值 31．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值； （3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或 【分析】根据题意将、的坐标代入抛物线表达式，即可求解； 由题意设点M的坐标为，则点，，即可求解； 由题意和如图所示可知，，在中，，，，进行分析计算即可求解． 【详解】解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的解析式为：； 过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：， 则直线BC的表达式为：， 设点M的坐标为，则点， ， ，有最大值， 当时， 最大值为4， 点M的坐标为； 如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N， 过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H， 点M坐标为，设：点Q坐标为， 点A、C的坐标为、，， 轴， ， ，则， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：， 则直线AC的表达式为：， 则点， 在中，，， ， 解得：或， 即点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强． 32．（2025·甘肃·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数的解析式即可； （2）先求出，得出，过点P作轴于点L，得出，然后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）根据二次函数的性质求出，过点K作于点M，交于点N，作于点G，证明，得出，，过点F作于T，证明与都是等腰直角三角形，得出，，，根据，得出，求出t即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴正半轴于点， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴ 把点、代入得： 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时， 解得：， ∴， ∴， ∵点P在抛物线上，点P的横坐标为， ∴， 过点P作轴于点L， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， 过点K作于点M，交于点N，作于点G， 根据对称性可知：，， ， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 过点D作， ∵，，， ∴， ∴，， 过点F作于T， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴ ∵点P的横坐标为t， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 二次函数压轴题 一、单选题 1．（2025·甘肃·一模）在同一平面直角坐标系中，若抛物线向右平移2个单位后得抛物线，则符合条件的m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃·一模）已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数的最小值是 D．函数图象与y轴的交点坐标是 4．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于点和点B，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当抛物线沿着轴向下平移1个单位长度就可能经过点．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2025·甘肃·一模）已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2025·甘肃·一模）抛物线（是常数，）经过两点，且．点，在抛物线上，当且时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025·甘肃·一模）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示，已知米．若借助横梁建一个门，要求门的高度为1.5米，则横梁的长度是 米．    8．（2025·甘肃·一模）已知二次函数的图象上有三点，，则的大小关系为 ． 9．（2025·甘肃·一模）小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．则小明此次试投的成绩（线段的长度）是 米． 10．（2025·甘肃·一模）大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变．如图是蔬菜大棚的截面示意图，其形状近似看作抛物线．其中大棚的跨径，最顶端点到保温墙的水平距离为4m，到地面的距离为3.6m．现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作（农具宽度忽略不计），则农具活动范围的宽度为 m． 11．（2025·甘肃·一模）二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ． 12．（2025·甘肃·一模）若二次函数有最大值为6，则的最小值为 ． 13．（2025·甘肃·一模）已知抛物线，，，，四点都在该抛物线上，且，则的取值范围为 ． 三、解答题 14．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，点和都在二次函数（，a、b是常数）的图象上． (1)若，求该二次函数的解析式； (2)若，，直接写出该抛物线的对称轴． 15．（2025·甘肃嘉峪关·一模）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米． (1)请建立适当的平面直角坐标系，并写出点M的坐标为_________． (2)在（1）的条件下，求最外层水柱所在抛物线的函数表达式． (3)已知车棚的宽度为7米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖至少离地面1米高的全部范围．工作人员想在棚顶上加装一个相同型号（喷出水柱的形状相同）的消防喷淋头N，请确定消防喷淋头N与点B的距离的取值范围，并说明理由． 16．（2025·甘肃兰州·一模）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘（呈对称）两翼端点的水平距离（，沙丘弧顶最高点A到的距离为，边界线与之间为梭梭树生长较茂密地带，且，点C到沙丘左翼端点O的水平距离． (1)求抛物线状沙丘的表达式： (2)求梭梭树生长较茂密地带宽度的长． 17．（2025·甘肃·一模）如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． (1)求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； (2)点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； (3)点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 18．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标； （3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 19．（2025·甘肃·一模）如图抛物线y＝x2+bx+c（c＜0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由； （3）连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB＝∠ACO，请直接写出点P的坐标． 20．（2025·甘肃·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； (3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 21．（2025·甘肃·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线顶点，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作轴于点E，连接，交于点F，已知点D到x轴的距离与的长度相等，设点P的横坐标为m．    (1)求此抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接交于点G，设和的面积分别为，求的最大值 22．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 23．（2025·甘肃·一模）综合与探究 如图，抛物线经过点，与y轴交于点C，作直线． (1)求抛物线的函数表达式． (2)若P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值． (3)若点M是抛物线上的一点，过点M作交x轴于点N，是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求函数值的取值范围． (3)当时，函数值先随的增大而减小，后随的增大而增大，且的最大值为，则的取值范围是______________． (4)已知、两点均在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，将抛物线上、两点之间（含、两点）的图像记为，当图像的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值． 25．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标； (3)抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标． 26．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线与x轴相交的于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D． (1)直接写出A，B，C三点的坐标和抛物线的对称轴； (2)连接，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段上的一个动点（P不与C，B两点重合），过点P作交抛物线于点F，设点P的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长． ②设的面积为S，求S与m的函数关系式；当m为何值时，S有最大值． 27．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是点关于轴的对称点． (1)求抛物线的表达式； (2)为直线上方抛物线上一动点，求的面积最大值及的面积最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点，在上有一动点，且，求的最小值． 28．（2025·甘肃·一模）抛物线与轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)直接写出抛物线解析式； (2)如图1，点为第二象限抛物线上一点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于两点，点坐标为，连接，分别与抛物线交于M，N两点，连接，求证：直线过定点． 29．（2025·甘肃·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点．为第一象限的抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求面积的最大值； (3)若点、分别为线段、上一点，且四边形是菱形，直接写出的坐标． 30．（2025·甘肃·一模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 31．（2025·甘肃·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值； （3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由． 32．（2025·甘肃·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴负半轴交于点B，与x轴正半轴于点，交y轴于点C，连接，． (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，点P为第三象限抛物线上一点，连接，，若设的面积为S，点P的横坐标为t，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，如图3，过点P作轴于点E，点K为抛物线的顶点，连接交于点F，点D为上一点，，连接，若，求点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$