专题14 相似三角形（5大题型30题）（甘肃专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题14 相似三角形 题型概览 题型01 相似三角形的概念及性质 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的判定与性质综合 题型04 相似三角形的实际应用 题型05 位似 ( 题型01 )相似三角形的概念及性质 1．（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2025·甘肃陇南·一模）如图，已知直线m，n被一组平行线，，所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，若，，则等于 ． 4．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2025·甘肃·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 )利用相似三角形的性质求解 7．（2025·甘肃·一模）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 8．（2025·甘肃·一模）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·甘肃·一模）已知，相似比为：，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃·一模）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为 ． ( 题型03 )相似三角形的判定与性质综合 11．（2025·甘肃·一模）如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则的面积与的面积之比为 ． 12．（2025·甘肃·一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交与点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 13．（2025·甘肃·一模）如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则 ． 14．（2025·甘肃·一模）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·甘肃·一模）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 16．（2025·甘肃·一模）如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． (1)求证：． (2)若，， 求． 17．（2025·甘肃·一模）如图，在和中，的延长线经过点C，且，    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 18．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，则 ． 19．（2025·甘肃·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 20．（2025·甘肃·一模）如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 21．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 22．（2025·甘肃·一模）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图1，求证； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，若点为的中点，求的值． 23．（2025·甘肃·一模）如图，在中，、分别是、的中点，则 ． ( 题型0 4 )相似三角形的实际应用 24．（2025·甘肃·一模）阿基米德说：  “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面 ． 25．（2025·甘肃·一模）如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·甘肃·一模）如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD＝ ． ( 题型0 5 )位似 27．（2025·甘肃·一模）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是 ． 28．（2025·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第四象限内将按相似比放大，画出放大后的图形． 29．（2025·甘肃兰州·一模）如图，缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A，B，，均在图中的格点上．若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 30．（2025·甘肃·一模）如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 相似三角形 题型概览 题型01 相似三角形的概念及性质 题型02 利用相似三角形的性质求解 题型03 相似三角形的判定与性质综合 题型04 相似三角形的实际应用 题型05 位似 ( 题型01 )相似三角形的概念及性质 1．（2025·甘肃·一模）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．如图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．在小孔成像的实验中，带小孔的纸板和光屏平行，蜡烛与有小孔的纸板之间的水平距离为．当蜡烛火焰的高度是它的像高度的时，有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为，根据题意得到，求出，即可得到答案． 【详解】解∶ 设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为， 根据题意得， 解得， 设有小孔的纸板与光屏之间的水平距离为， 故选：C． 2．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割， 根据黄金分割的性质得，再代入计算即可. 【详解】解：∵点E是的黄金分割点， ∴. ∵， ∴. 故选：B. 3．（2025·甘肃陇南·一模）如图，已知直线m，n被一组平行线，，所截，交点分别为A，B，C和D，E，F，若，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由，可得四边形是平行四边形，于是可得，由可得，由平行线分线段成比例定理可得，即，进而可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即：， ， ， 故选：． 5．（2025·甘肃·一模）已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中的两个内项之积等于两个外项的积，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 6．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，，，， ∴，即：， ∴AE=4， 故选B． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键． ( 题型02 )利用相似三角形的性质求解 7．（2025·甘肃·一模）已知与相似，，则的长可能是（    ） A．2 B．4.5 C．9 D．9.6 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据与相似，由对应边成比例分三种情况列出比例式求解即可求得的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，注意分情况讨论． 【详解】解：当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 当时， ∴，即， 则； 故选：C． 8．（2025·甘肃·一模）如果两个相似三角形的周长比是，那么它们的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的面积比为， 故选：C． 9．（2025·甘肃·一模）已知，相似比为：，且的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【详解】解：∽，相似比为：， 的周长：的周长：， 的周长为， 的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解，正确记忆相似三角形周长的比等于相似比是解题关键． 10．（2025·甘肃·一模）如图，与位似，位似中心为点O，且，若的周长为9，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵与位似， ∴， ∴， ∴ ∴与的周长比为， ∵的周长为9， ∴的周长为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． ( 题型03 )相似三角形的判定与性质综合 11．（2025·甘肃·一模）如图，在中，点在边上，且，连接交于点，则的面积与的面积之比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到，，得到，得出，得到． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 故答案为：． 12．（2025·甘肃·一模）如图．中，，，，为平面内一点，且，过点B作，与的延长线相交与点E，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，圆周角定理等知识点，根据勾股定理可得，，再证，得，则即：当取得最大值是，的面积取得最大值，由，，根据圆周角定理可知，，，，四点共圆，点在以为直径的圆上，可知的最大值为3，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴，， ∵，则， ∵， ∴， ∴，则 即：当取得最大值时，的面积取得最大值， ∵，， 由圆周角定理可知，，，，四点共圆， ∴点在以为直径的圆上， ∴，即的最大值为3， ∴的最大值为， 故选：B． 13．（2025·甘肃·一模）如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造平行线得到相似三角形是解题的关键；过点E作交于点G，则，，从而有，，得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作交于点G， 则，， ∴，， 即 ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·甘肃·一模）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先根据已知得到，再证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即的值为， 故选：C． 15．（2025·甘肃·一模）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）因为四边形是平行四边形，可知，，又因为，，可知，可求证； （2）因为，可知，因为是直角三角形，由勾股定理可知即可求得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， 由（1），知； ， 即， ，， . 在中，，，， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及相似三角形边长比例关系，熟练掌握相似三角形的相关性质以及直角三角形勾股定理应用是解题的关键． 16．（2025·甘肃·一模）如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． (1)求证：． (2)若，， 求． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据已知条件和三角形外角定义求得，再两个角对应相等的两个三角形相似求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例来求解． 【详解】（1）证明： 是斜边上的中线， ， ， 在 中，． 又即， ， ． （2）解：是斜边上的中线， ， ， ， 即， 解得或 (舍去)， ． 17．（2025·甘肃·一模）如图，在和中，的延长线经过点C，且，    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，则，而，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明∽； （2）由相似三角形的性质得，而，，，则 【详解】（1）证明： ， ，， ， ， ∽； （2）解：∵， ， ，，， ， 的长是 18．（2025·甘肃·一模）如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．根据题意可以得到和相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可以求得的面积，从而可求得四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 19．（2025·甘肃·一模）如图，，是的切线，，为切点，延长，与，延长线交于点，点． (1)求证：； (2)过点作交于点．若，．求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的切线长定理，圆的切线的性质，等腰直角三角形的判定与三边关系，二次根式，熟练掌握这些性质、判定与定理是解题的关键． （1）由圆的切线长定理得，结合切线的性质，和，即可判定，即可得； （2）判定是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形三边关系得出，由，得出，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，，为切点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（2025·甘肃·一模）如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 21．（2025·甘肃嘉峪关·一模）如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】或 【分析】首先根据题意得到点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆，当与相切时，最大，然后分点P在左侧和点P在右侧两种情况讨论，根据勾股定理求出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如解图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ， ； 如解图2，当点P在右侧时， 同理，可得， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是得到当与相切时，最大． 22．（2025·甘肃·一模）在中，，点为的中点，点是线段上一动点，过点作分别交边于点． (1)如图1，求证； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，若点为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意可得，由直角三角形斜边中线的性质得出，则，推出，即可求证； （2）由（1）可知，，，根据，得出，结合相似三角形的性质，即可求证； （3）过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q，易证，则，通过证明，得出，根据，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：过点A作于点P，过点B作交延长线于点Q， ∵，，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴． 23．（2025·甘肃·一模）如图，在中，、分别是、的中点，则 ． 【答案】/0.25 【分析】此题重点考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵分别是的中点， ， ， ， ， 故答案为：． ( 题型0 4 )相似三角形的实际应用 24．（2025·甘肃·一模）阿基米德说：  “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理．如图，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图是该舂臼的侧面简易示意图， 点是支点， 点距地面，且，在舂臼使用过程中， 若端上升至距地面处， 则端此时距地面 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论． 【详解】解：过作地面于，过作地面于，过作地面于，过作于交于，则，， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 端此时距地面， 故答案为：． 25．（2025·甘肃·一模）如图，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度．如图，从“矩”的一端望向树顶端的点，使视线通过“矩”的另一端，测得，．若“矩”的边，边，则树高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证明，得到，代入已知数据即可求解，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 26．（2025·甘肃·一模）如图，小雅同学在利用标杆BE测量建筑物的高度时，测得标杆BE高1.2m，又知AB：BC＝1：8，则建筑物CD＝ ． 【答案】10.8m 【分析】先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质可得AB：AC=BE：CD，根据已知条件即可求出CD的值． 【详解】解：∵∠ABE=∠ACD=90°，∠A=∠A， ∴△ABE∽△ACD， ∴AB：AC=BE：CD， ∵AB：BC=1：8， ∴AB：AC=1：9， ∵BE=1.2m， ∴CD=1.2×9=10.8(m)， 故答案为：10.8m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． ( 题型0 5 )位似 27．（2025·甘肃·一模）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查中心投影的定义和性质，位似三角形的性质，熟练掌握中心投影和位似三角形的性质是解题的关键．利用中心投影得定义可得与是位似三角形，再利用位似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形， ∴，且由位似得， ∴， 得：， 故答案为：． 28．（2025·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)以点为位似中心，在第四象限内将按相似比放大，画出放大后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质和位似图形，解题关键是能够由轴对称的性质（位似图形的性质）先确定变化后关键点的坐标，然后再连线即可． （1）由轴对称的性质先确定、、的坐标，再描点，连线即可； （2）根据位似图形的性质确定、、的坐标，再连线即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求． 29．（2025·甘肃兰州·一模）如图，缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A，B，，均在图中的格点上．若线段上有一点，则点P在上的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．根据点A，B两点坐标以及对应点，点的坐标得出坐标变化规律，进而得出的坐标． 【详解】解：∵缩小后变为，其中A，B的对应点分别为，，点A、B、、均在图中在格点上， 即点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴线段上有一点，则点在上的对应点的坐标为． 故选：D． 30．（2025·甘肃·一模）如图，已知点是坐标原点，两点的坐标分别为，． (1)以点为位似中心在轴左侧将放大到倍（即新图与原图的相似比为），画出，并写出两点的对应点，的坐标； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出图形． 【答案】(1)画图见解析，， (2)画图见解析 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可，由图形可得点的坐标； （）根据旋转的性质画图即可； 本题考查了位似作图，旋转作图，坐标与图形，掌握位似图形和旋转的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，由图形可得，，； （2）如图所示，即为所求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$