专题4 负数的认识及统计-2025年小升初数学暑假专项提升（人教版）

专题4 负数的认识及统计-2025年小升初数学暑假专项提升 【要点梳理】 【要点一】正负数的认识  1. 比0大的数叫做 ，例如1、、3.5、102、π； 2.比0小的数叫做 ，例如-1、-、-3.5、-102、-π； 3. 既不是正数也不悬负数，0是正、负数的分界点。正数是 0的数，负数是 0的数。 4.读法：“+”读作“ ”、“-”读作“ ”,从左往右的顺序，先读符号，再读数。 ①带“+”的正数：先读“正”,再读数； ②省略“+”的正数：“正”也省略不读，直接读数例如：+0.5,读作：正零点五；0.5,读作：零点五。 ③先读“负”,再读数。 例如：-0.5,读作：负零点五；-2,读作：负二。 5.写法：“+”是正号；写正数时，带“+”或省略不写都可以；“-”是负号；写负数时，“.”一定要写，不能省略。 【要点二】正负数的实际意义 1.用正、负数表示两种具有 的量，若规定其中一个量为正，则与之相反的另一个量为负；提示：用正、负数表示具有相反意义的量时，规定哪个量为正或负并非固定不变，但习惯上把“上升、盈利、增加、收入、前进”等规定为正，把其相反意义的量规定为负。 2.相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能成为具有相反意义的量。 3.相反意义的量包含两层含义：同类量（属性相同）+意义相反（一般是一对反义词）。 【要点三】鸽巢原理 1.把多于n个物体任意分放进n个鸽巢中(n是非0自然数),那么一定有一个鸽巢里至少放进了2个物体。 2.把多于kn个的物体任意分放进n个鸽巢中(k和n是非0自然数),那么一定有一个鸽巢里至少放进了(k+1)个物体。 3.抽屉原理的关键：平均分配，物体数÷抽屉数，若有余数也要尽量平均分配。 4.物体数÷抽屉数=商……余数 至少数= 【要点四】应用鸽巢原理的解题方法 1.分析题意，把实际问题转化成"鸽巢问题",即弄清”鸽巢"("鸽巢"是什么,有几个鸽巢)和分放的物体及它们的个数 2.设计”鸽巢”的具体形式. 3.运用原理得出在某个"鸽巢"里至少分放的物体个数，最终解决问题. 【易错点拨】 【易错点一】正数和负数的概念混淆 规避策略：(1)正数大于0,“+”能省略； (2)负数小于0,“-”不能省略； (3)0是正、负数的分界点，0即不是正数也不是负数。 【易错点二】易错点2:忽视0或将0误认为正数或负数 规避策略： (1)0既不是正数也不是负数； (2)0是整数、0是自然数，0是偶数； 【易错点三】负数比较大小时忽略符号 规避策略：负数与负数比较大小时，关键看负号后面的数字，数字大的反而小。 拓展：1类实际问题 第一类：最不利原则一：求总数。 1.在日常生活中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，一般需要从最糟糕的情况出发分析问题，这就是最不利原则，即从最坏的情况出发分析问题，如果在最坏的情况下都能满足题目要求，那么所有情况都能保证满足题目要求。 2.一般问句中出现"至少.…保证…."这个词的时候，我们解决这个问题需要从最不利的方面思考。 【温故知新】 一、填空题 1．在﹣10、23、、﹣11.5、、0、590这几个数中，正数有( )个，负数有( )个，整数有( )个。 2．小林班同学仰卧起坐成绩是平均每分钟28个，小华每分钟做了30个，记作﹢2个，小宇每分钟做了25个，记作( )个，小安同学每分钟做了37个，记作( )个。 3．某商场1月份营业额为100万元，2月份营业额为130万元，比1月份增长( )%。3月份营业额为117万元，比2月份减少10%，称为负增长，也可以记为增长﹣10%。4月份营业额为111.15万元，比3月份增长( )%。5月份营业额为111.15万元，与4月份持平，增长率为( )%，也称为零增长。 4． (1)如果A点表示1，那么B点表示( )、C点表示( )。 (2)如果A点表示1平方米，则D点表示( )平方分米。 5．箱子里有3个红球，2个黄球和5个白球。从袋子里任意摸出一个球，摸出球的颜色有( )种可能；摸出( )球的可能性最大；要想摸出2个颜色相同的球，至少要摸( )个球。 二、判断题 6．任意一个数，不是正数就是负数。( ) 7．气温0℃比﹣7℃温度高一些，比﹢6℃温度低一些。( ) 8．赣州某天的温度是﹣1摄氏度～9摄氏度，赣州这天的温差是8摄氏度。( ) 9．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。( ) 三、选择题 10．某品牌面粉的质量标识为“”，下面选项中的面粉质量合格的是（ ）。 A．9.93kg B．9.98kg C．10.01kg D．10.05kg 11．下图中，数轴上点A表示的数是（    ）。 A．﹣ B． C．﹣ D．﹣ 12．某品牌SUV汽车三月份的产量比二月份增长了﹣2.5%，“﹣2.5%”表示（    ）。 A．增长了2.5% B．下降了2.5% C．不增不降 D．无法确定 13．要表示正数、负数和0之间的关系，用图（    ）比较合适。 A． B． C． 14．某市一月份的平均气温是﹣2℃，二月份的平均气温比一月份的升高了6℃，该市二月份的平均气温是（    ）。 A．6℃ B．4℃ C．8℃ D．﹣6℃ 15．一个袋中装有红、黄、蓝三种不同颜色的小球各10个，至少要摸出（    ）个小球，肯定有10个颜色相同的。 A．10 B．11 C．21 D．28 16．电梯上升记为正，下降记为负。从一楼开始，电梯经过如下四次运动：﹢11层，﹣5层，﹣7层，﹢15层。现在电梯停在（     ）楼。 A．15 B．1 C．14   D．﹣1 四、连线题 17．连一连． 五、解答题 18．看图填空。    ①（    ）是正数和负数的分界点。 ②所有的正数都在0的（    ）边，所有的负数都在0的（    ）边。 ③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是（    ）和（    ） ④如果一个人从0点先向东走3米记作﹢3米到A点，那么这个人又走﹣5米到B点是什么意思？这时他距离出发点有多远？在直线上表示出来。 19．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 20．某单位购进92箱桔子，每箱至少110个，至多138个，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有几箱？ 21．体育课上，男生队的7名同学做仰卧起坐的测试，以能做30个为达标，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，记录如下： ﹣2 ﹢1 0 ﹢5 ﹣1 ﹢3 ﹢6 男生队有几名同学达标？该组的达标率是多少？（百分号前保留一位小数） 【暑期培优】 1．聪聪和明明进行百米赛跑，他们同时从起点开跑（如下图），当聪聪跑到终点时，明明跑到了A点，聪聪与明明跑步的速度比是( )∶( )；照这样的速度，假设聪聪退到B点开始起跑，就能和明明同时跑到终点，则B点的位置可以表示为( )米。 2．如图，半径为1个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径。 (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是( )。 (2)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次滚动情况记录如下：﹢2、﹣1、﹢4、﹣6、﹢3。当圆片结束运动时，此时点A所表示的数是( )。 参考答案 【要点梳理】 【要点一】正数 负数 0 大于 小于 正 负 【要点二】相反意义 【要点三】商+1 【温故知新】 1． 3/三 3/三 4/四 【分析】大于0的数是正数；小于0的数是负数；如﹣2、﹣1、0、1、2⋯⋯这样的数就是整数。 【详解】这几个数中，正数有23、、590共3个； 负数有﹣10、、﹣11.5共3个； 整数有﹣10、23、0、590共有4个。 【点睛】本题考查正数和负数，明确正数和负数的定义是解题的关键。 2． ﹣3 ﹢9/9 【分析】正负数表示一组相反意义的量，根据题中平均每分钟28个，小华每分钟做了30个，记作﹢2个可知：把超过平均数的记为正，不够平均数的记为负，据此解答即可。 【详解】28－25＝3（个） 37－28＝9（个） 小林班同学仰卧起坐成绩是平均每分钟28个，小华每分钟做了30个，记作﹢2个，小宇每分钟做了25个，记作（﹣3）个，小安同学每分钟做了37个，记作（﹢9）个。 3． 30 ﹣5 0 【分析】先求出2月份的营业额比1月份增长多少，再除以1月份的营业额，最后再乘100%即可；求出4月份营业额比3月份少多少，再除以3月份的营业额，最后再乘100%即可，再结合减少10%可以记为增长﹣10%，再解答即可；5月份营业额为111.15万元，与4月份持平，即增长率为0%，也称为零增长。 【详解】（130－100）÷100×100% ＝30÷100×100% ＝0.3×100% ＝30% （117－111.15）÷117×100% ＝5.85÷117×100% ＝0.05×100% ＝5% 则某商场1月份营业额为100万元，2月份营业额为130万元，比1月份增长30%。4月份营业额为111.15万元，比3月份减少5%，也就是增长﹣5%。5月份营业额为111.15万元，与4月份持平，增长率为0%，也称为零增长。 4．(1) ﹣2 2.75 (2)50 【分析】（1）根据数轴知识，结合图示，如果A点表示1，那么一个大格表示1，每个大格都被平均分成4个小格，一个小格表示，也就是0.25；数轴上0左边的数就是负数，0右边的数就是正数；B在0的左边，和0的距离是2个大格，所以B也就是﹣2；C在0的右边，和0的距离是2个大格加3个小格，所以C就是，即2.75。 （2）D在0的右边，D和0的距离是大格的一半，也就是A的；已知A点表示1平方米，可知D点表示0.5平方米。据此解答。 【详解】（1）如果A点表示1，那么B点表示﹣2，C点表示2.75。 （2）如果A点表示1平方米，则D点表示0.5平方米，也就是50平方分米。 【点睛】本题考查了数轴知识，结合题意分析解答即可。 5． 三/3 白 4/四 【分析】箱子里红球、黄球和白球，任意摸出一个球，可能是红球，可能是黄球，可能是白球； 哪种颜色的球的数量最多，摸出哪种颜色的球的可能性最大； 利用抽屉原理，考虑最差情况：如果前3次摸出的都是不同颜色的球，那么第4次摸到的球一定是3个颜色中的1个，据此解答。 【详解】从袋子里任意摸出一个球，摸出球的颜色有3种可能；摸出白球的可能性最大。 3＋1＝4（个） 【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 6．× 【分析】大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不是正数也不是负数。据此判断即可。 【详解】由分析可知： 0既不是正数也不是负数，原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查正负数，明确0既不是正数也不是负数是解题的关键。 7．√ 【分析】根据正负数的定义，比0小的数是负数，比0大的数是正数，据此判断即可。 【详解】由分析可知： 气温0℃比﹣7℃温度高一些，比﹢6℃温度低一些。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查正负数，明确正负数的定义是解题的关键。 8．× 【分析】比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”；比0℃高的温度叫零上温度，通常在数字前面加“﹢”，也可以省略不写。 根据题意，赣州某天的温度是﹣1摄氏度～9摄氏度，﹣1摄氏度与0摄氏度相差1摄氏度，9摄氏度与0摄氏度相差9摄氏度，所以﹣1摄氏度～9摄氏度相差（9＋1）摄氏度，据此判断。 【详解】9＋1＝10（摄氏度） 赣州这天的温差是10摄氏度。 原题说法错误。 故答案为：× 9．√ 【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。 【详解】5×（3－1）＋1 ＝5×2＋1 ＝10＋1 ＝11（本） 所以这些书至少需要11本。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。 10．C 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负表示，以10kg为标准，面粉质量高于10kg用“﹢”表示，面粉质量低于10kg用“﹣”表示，合格面粉的质量在（10kg－10g）和（10kg＋20g）之间，据此解答。 【详解】20g＝0.02kg 10g＝0.01kg 10－0.01＝9.99（kg） 10＋0.02＝10.02（kg） 因为9.99kg＜合格面粉的质量＜10.02kg，所以选项中的面粉质量合格的是10.01kg。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查正负数的意义及应用，理解题中的正负数表示的意义是解答题目的关键。 11．A 【分析】数轴上0的左边都是负数，0的右边都是正数。同是负数比较大小时，不考虑负号，数字部分大的数反而小，选项中的几个数﹣＜﹣1＜﹣＜﹣＜0＜，据此解答。 【详解】A．﹣是负数，在﹣1和0之间，离﹣1近； B． 是正数，应该在0的右侧； C．﹣是负数，在﹣1和﹣2之间； D．﹣是负数，在﹣1和0之间，离0近； 所以数轴上点A表示的数是﹣。 故答案为：A 12．B 【分析】分析题目，正数与负数表示意义相反的两种量，把二月份的汽车产量看作分界线，则三月份比二月份增长记为正，三月份比二月份减少记为负，据此结合百分数的意义解答。 【详解】“﹣2.5%”表示下降了2.5%。 某品牌SUV汽车三月份的产量比二月份增长了﹣2.5%，“﹣2.5%”表示下降了2.5%。 故答案为：B 13．B 【分析】比0大的数是正数，如3、500、4.7，这些数都是正数。正数可以在数字前加“﹢”（正号），一般情况下可省略不写。 比0小的数是负数，也可以说在正数的前面添上负号“﹣”的数，如﹣3、﹣500、﹣4.7，这些数都是负数。 特别注意：0既不是正数，也不是负数。 【详解】据分析可知，正数和负数以及0是并列的。 要表示正数、负数和0之间的关系，用图比较合适。 故答案为：B 14．B 【分析】根据题意，先求出从﹣2℃到0℃上升几摄氏度，从0℃还需要上升多少是6℃，再从0℃加上多少即可解答。 【详解】﹣2℃到0摄氏度上升2摄氏度 6℃－2℃＝4℃ 该市二月份的平均气温是4℃。 故答案为：B 15．D 【分析】典型的抽屉原理中最不利原则，需要颜色相同，则拿出的球都是不同的颜色，红色拿出9个，蓝色的拿出9个，黄色的也拿出9个，就摸出了27个，那么取出28个球，无论取的球是什么颜色取出的球都有10个颜色相同。 【详解】9×3＋1 ＝27＋1 ＝28（个） 则至少要摸出28个小球，肯定有10个颜色相同的。 故答案为：D 16．A 【分析】正为加、负为减，从一楼开始把四次运动的层数加减一下，算出停的楼层；据此解答。 【详解】1＋11－5－7＋15 ＝12－5－7＋15 ＝7－7＋15 ＝0＋15 ＝15（楼） 现在电梯停在15楼。 故答案为：A 【点睛】要注意的是从一楼开始，要加上一楼起始楼层。 17． 【详解】略 18．①0； ②右；左； ③﹢4；﹣4； ④向西走5米；2米；见详解 【分析】根据正、负数的意义，数的前面加有“﹢”号的数，就是正数，正数前面的“﹢”可以省略；数的前面加有“﹣”号的数，就是负数，0既不是正数也不是负数；在数轴上，正数在0的右边，负数在0的左边，所以0是正负数的分界点；在0的右边，距0点4个单位长度的点是﹢4；在0的左边，距0点4个单位长度的点是﹣4；正负数可以用来表示具有意义相反的两种量，如果向东走的米数记为正，则向西走的米数就记为负，据此解答即可。 【详解】①0是正数和负数的分界点； ②所有的正数都在0的右边，所有的负数都在0的左边； ③在直线上，距0点4个单位长度的点分别是﹣4和﹢4； ④这个人走﹣5米到B点表示向西走5米。 5－3＝2（米） 这时他距离出发点有2米。 如图： 19．5个 【分析】分清楚这个袋子里面总共有多少种颜色的球，要保证一定有两个颜色相同的，每个颜色的球都取一个以后，下一次取出的球的颜色一定与之前取出的球的颜色相同。 【详解】此题中求至少取多少个球，即为“最不利原则”问题。 解决此类问题，从最坏情况出发考虑问题。最坏的情况就是摸出的前4个球的颜色都不一样，那么摸出的第5个球的颜色必定与之前的四个球中的某一个球颜色相同。 答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 【点睛】本题考查了抽屉原理。 20．4箱 【分析】每箱装的个数在110～138个，从最不利的情况考虑，最多有138－110＋1＝29种装箱情况，把29种装箱情况看作29个抽屉，把92箱看作92个元素，那么每个抽屉需要放92÷29＝3（箱）⋯⋯5（箱），所以每个抽屉放剩下的5箱，再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3＋1＝4箱，所以，现将桔子数相同的作为一组，箱子数最多的一组至少有4箱，据此解答。 【详解】根据分析可得，138－110＋1＝29（种） 92÷29＝3（箱）⋯⋯5（箱） 3＋1＝4（箱） 答：箱子数最多的一组至少有4箱。 【点睛】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可。 21．5名；71.4% 【分析】根据正负数的意义，大于或等于0表示达标人数；达标人数÷总人数×100%＝达标率，据此列式解答。 【详解】达标成绩有：﹢1、0、﹢5、﹢3、﹢6，共5名。 5÷7×100% ≈0.714×100% ＝71.4% 答：男生队有5名同学达标，该组的达标率是71.4%。 【点睛】关键是理解正负数的意义，掌握百分率的求法。 【暑期培优】 1． 5 4 ﹣25 【分析】根据题意，聪聪跑了100m时，明明跑了80m，由于二人跑的时间相同，所以他们的路程比就等于二人的速度比；根据倍比问题的解题思路，用明明跑的路程除以4乘5，可以计算出聪聪跑的路程，再用聪聪跑的路程减去100，可以出B点到起点的距离，由于B点在起点的左面可以用负数表示，所以B点的位置需要用负数表示。 【详解】聪聪与明明跑步的速度比是100∶80＝5∶4； 100÷4×5－100 ＝25×5－100 ＝125－100 ＝25（米） 由于B点在起点的左面可以用负数表示，所以B点的位置可以表示为﹣25米。 【点睛】本题解题关键是理解：由于二人跑的时间相同，所以他们的路程比就等于二人的速度比；根据倍比问题的解题思路，求出聪聪跑的路程，理解正数和负数可以表示相反意义的量。 2．(1)﹣π (2)4π 【分析】（1）圆片沿数轴向左滚动半周，即滚动了半圆的距离，根据半圆弧长＝2πr÷2＝πr可以计算出滚动距离，注意圆片沿数轴向左滚动，要添上“﹣”； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数。先把﹢2、﹣1、﹢4、﹣6、﹢3这些数加起来，得﹢2，相当于圆片从初始位置向右滚动了2周，再根据圆的周长＝2πr，求出一周的长度，再乘2就可以得到此时所表示的数。 【详解】（1）2π×1÷2 ＝2π÷2 ＝π 因为圆片是向左滚动半周，所以点C表示的数是﹣π。 （2）2－1＋4－6＋3＝2 即圆片向右滚动了2周。 此时点A所表示的数是：2π×1×2＝4π 【点睛】本题主要考查了数轴以及正数负数以及圆周长公式，有理数的加减运算的实际应用。正确得出圆滚动后的位置是解题的关键。 7 学科网（北京）股份有限公司 $$