精品解析：河南省周口市川汇区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

2024—2025学年度下期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组根式中，同类二次根式为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图所示“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A. B. C. D. 6. 一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 与互相平分 D. 9. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 10. 如图，正方形边长为1，以对角线为边作第2个正方形，再以对角线为边作第3个正方形…，如此下去，第2025个正方形边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简________． 12. 平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离等于________． 13. 如图，在菱形中，，，则________． 14. 如图，中，为中点，，若，，则________． 15. 如图，正方形的边长等于3，点在边上，且，是边上任意一点，以为边作菱形，且顶点恰好落在射线上，连接，则的最小值________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知：，，求． 18. 如图，在中，，垂足为D，，，，求AC的长. 19. 如图，在中，点、分别是、的中点，点在的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求四边形周长． 20. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数． 21. 如图，在中，平分，且交于点，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，，求的面积． 22. 如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 23. 在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点． 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程． 【迁移探究】 （3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 若二次根式有意义，则x的值不可以取（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得：， 观察四个选项，值不可以取0， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的加减、乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、和不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、 和不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，计算正确，故此选项符合题意； D、，计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列各组根式中，同类二次根式为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、与不是同类根式，不符合题意； B、，故和是同类根式，符合题意； C、，，故和不是同类根式，不符合题意； D、与不是同类根式，不符合题意； 故选：B． 4. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意， 故选：B． 5. 如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形面积为，则小正方形边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去个全等的三角形的面积，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵大正方形面积为，四个全等的直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，， ∴，， ∴， ∴，即小正方形边长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理，理解图示的意思，掌握面积法与勾股定理的计算方法是解题的关键． 6. 一个圆柱形杯子的底面半径为，高为，则杯内所能容下的最长木棒为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．当桶内所能容下的木棒最长时，即为木棒为斜边，桶的底面直径及桶高构成一个直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据勾股定理得， 故选：C． 7. 如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定．根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，添加，则，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是菱形，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，添加，不能证明平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，添加，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D． 8. 如图，在中，、分别是、边的中点，、两点在对角线上，且，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 与互相平分 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．连接交于，证明进而证明四边形是平行四边形，即可判断C选项，根据全等三角形的性质即判断B，D选项，即可求解． 【详解】解：连接交于点， 在平行四边形中 ∴，， ∴， 、分别是、边的中点， ， 又， ， ∴， ∴ ∴ ∴四边形平行四边形 ∴， 又∵ ∴ ∴与互相平分，故C正确 ∵ ，，，故B、D正确， 没有条件证明，故A不正确， 故选：A． 9. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为1，以对角线为边作第2个正方形，再以对角线为边作第3个正方形…，如此下去，第2025个正方形边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及图形类规律探索，主要利用了正方形的对角线等于边长的倍的性质，注意正方形的序数与指数的关系． 根据正方形的对角线等于边长的倍依次求解，然后根据指数的变化求出第个正方形的边长即可． 【详解】解：正方形的边长为1， 第2个正方形的边长， 同理，第3个正方形的边长， ， 第个正方形的边长， 第2025个正方形边长为， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 化简________． 【答案】4 【解析】 【分析】该题考查了算术平方根，根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 12. 平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，点到坐标原点的距离等于， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形对边平行结合平行线的性质可得的度数，再根据菱形对角线平分一组对角可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，为的中点，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，先根据为的中点，，得出，再结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵为的中点，， ∴， 则在中，， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长等于3，点在边上，且，是边上任意一点，以为边作菱形，且顶点恰好落在射线上，连接，则的最小值________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查正方形、菱形的性质及全等三角形判定与性质，解题关键是构造全等三角形确定点G运动轨迹，利用垂线段最短求最小值． 过作交其延长线于，延长、交于，由正方形性质得边、角及平行关系，结合算出．依据菱形性质得且，推出角相等，结合，证，得，即到距离恒为．过作直线，在上运动，根据垂线段最短，当时，最小，此时． 【详解】过作交延长线于，延长，交于， 四边形为正方形 ，， ， 四边形为菱形 ，， ， ， ， 又，， ， ，即到的距离为， 过作直线，则直线上运动，当时，最小（垂线段最短），此时， 当与重合时，最小（垂线段最短），即最小为． 故答案为：1 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；正确进行计算是关键． （1）先根据平方差公式，二次根式的乘法计算，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知：，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 先把所求代数式变形为，再代值计算即可． 【详解】解：当，时， 原式 ． （注：运算过程不唯一，方法合理，运算结果正确即可） 18. 如图，在中，，垂足为D，，，，求AC的长. 【答案】10 【解析】 【分析】由△ABC的面积求出BC，得出CD，由勾股定理求出AC即可． 【详解】解：∵, ∴, 即，∴， ∵， ∴， . 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由三角形的面积求出BC是解决问题的关键． 19. 如图，在中，点、分别是、的中点，点在的延长线上，且，连接、． （1）求证：； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线性质，平行四边形的判定与性质，30度角的直角三角形的性质和勾股定理． （1）根据三角形的中位线性质结合已知得到，，再根据平行四边形的判定即可证得结论； （2）先利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据四边形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵点、分别是、的中点， ∴，， ∵点在的延长线上，且， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的周长． 20. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． （1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数． 【答案】（1）见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）根据网格和勾股定理即可在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN； （2）连接AC，根据勾股定理及逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，进而可求∠ABC的度数． 【详解】解：（1）如图 根据勾股定理，得 MN＝＝＝； （2）连接AC ∵，，， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 【点睛】此题考查的是勾股定理和网格问题，掌握勾股定理及逆定理是解决此题的关键． 21. 如图，在中，平分，且交于点，交的延长线于点． （1）若，求的度数； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由 平分推出，得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，，继而得到，根据勾股定理求出，得到． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ，． ，， 平分， ． ． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定． （1）先证明，得到，即可推出四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理求得，推出，即可判断四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形． 理由如下： ∵是的中点， ∴当点是边的中点时，是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 23. 在综合与实践课上，同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作探究】 同学们用一张钝角三角形纸片（为钝角），进行了如下操作： 第一步：如图1，折出的角平分线； 第二步：如图2，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，点； 第三步：如图3，再次展平纸片，连接，，可得四边形，与交于点． 【问题解决】 （1）在图4的中利用尺规做出折痕；（保留作图痕迹，不写作法） （2）试判断图3中四边形的形状，并写出证明过程． 【迁移探究】 （3）如图5，小明用一张直角三角形纸片（其中，，）也进行了如上三步操作，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）见详解；（2）菱形，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线与交于点D，即可； （2）由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线，再通过垂直平分线和角平分线的性质可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据，得证平行四边形是菱形； （3）勾股定理得出，设第一次翻折点的对应点为，根据翻折的性质可得，得出，在中，勾股定理求出，根据四边形是菱形，得出，在中，勾股定理求出，． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）菱形， 证明：由折叠可知，是的角平分线，是的垂直平分线， ∵是的垂直平分线， ， ， ∵是的角平分线， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）∵， ∴， 如图，设第一次翻折点的对应点为， 根据翻折的性质可得， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 同（2）可得四边形是菱形， 则， 在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是尺规作图、菱形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，垂直平分线和角平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $