2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（黑）

2025年北京市初中学业水平考试 数学试 卷 姓名 准考证号引 考场引 座位号引 1.本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题。满分100分。考试时间120分钟。 考 2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须 4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知 5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1.下列几何体中，如图所示的俯视图对应的几何体是 (A) (B) (C) (D) 2.记者2025年1月29日从中央广播电视总台获悉，《2025年春节联欢晚会》境内新媒体端的实时直播 收视次数和互动量均创新纪录.据初步统计，新媒体端直点播收视次数28.17亿次.将2817000000 用科学记数法表示应为 (A)28.17×108 (B)2.817×10 (C)2.817×10 (D)0.2817×101o 3.正六边形的内角和为 (A)540° (B)720° (C)900° (D)1080° 4.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 (A)b<-2 (B)IbI>lal (C)ab<O (D)a+c>0 5.如图，直线AB和CD相交于点0，OF平分∠AOE,OD⊥OF,若∠AOC=35°，则∠DOE的大小为 E (A)35° (B)40° (C)45 (D)55 6.若关于x的一元二次方程x2+5x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为 (a浮 (® (c)-号 5 (D)4 7.先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则两次朝向相同的概率是 (A)4 (® e号 3 (D)4 数学第1页（共6页） 8.如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,F为CD延长线上一点，DF=BE,连接EF,AF,过 点A作AG⊥EF于点G,连接DG.给出下面四个结论： ①AE=AF; ②△AEF是等腰直角三角形： ③EF=2AG: ④2AB<√2EF 上述结论中，所有正确结论的序号是 (A)①②3 (B)①③④ (C)②④ (D)①②③④ 第二部分非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9.若代数式1有意义，则实数x的取值范围是 x-5 10.分解因式：3x2-12= 1方程20的解为 12.在平面直角坐标系x0中，若点A(4,),B(2,)在反比例函数y=-5的图象上，则 (填“>”“=”或“<”) 13.某中学举办跳绳比赛，并随机抽取了部分学生1分钟跳绳的成绩，统计结果列表如下： 成绩x/次 x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 x≥90 人数/名 1 2 3 9 5 当成绩大于等于80次小于90次为良好，大于等于90次为优秀.根据以上数据，估计全校参加跳绳 比赛的这300名学生中1分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数有 名 14.如图，AB是⊙0的直径，AC是⊙0的弦，D为⊙0上一点，过点D作DE⊥AB,交AB于点E,交⊙0 于点F,DF=AC,连接OD,BC.若DF=4AE=8,则BC的长为 第14题图 第15题图 15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D; ②分别以点C,D为圆心，大于，CD长为半径作弧，两弧相交于点E③作射线AE,交BC于点F.若 AC=3,BC=5,则SaAC:SaBF4的值为 16.某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独 木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间）， 要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束】 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1,2,3,5，请写出一种该组同 学完成项目可能需要的时间为 分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为 分钟 数学第2页（共6页） 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第 25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算：|-√31+4sin60°+（π-3）°-√12. 4(x+1)>x-2 18.解不等式组：5x-2 3 19.已知x+3y-1=0,求代数式2(x)+8y的值 x+6xy+9y 20.如图，在四边形ABCD中，点B与点D关于直线AC对称，连接BD交AC于点O,E为AC上一点，OE =OC,连接BE,DE. (1)求证：四边形EBCD为菱形； (2)若AE=DE,∠BAE=15°，BD=6,求AC的长 21.第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行.本届亚冬会的吉祥物是两只 可爱的小东北虎“滨滨”和“妮妮”，回到家乡哈尔滨过年的小云想买一些如图所示的纪念品送给在 北京的小伙伴们，她发现毛绒玩偶的单价比冰箱贴的单价贵50元，买5个毛绒玩偶和3个冰箱贴需 要554元，试判断：小云有600元能否购买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶？ 即 22.在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=-2x+b的图象向下平移3个单位长度后经过原点。 (1)求b的值： (2)当x≤3时，对于x的每一个值，函数y=-2x+b的值大于y=mx(m≠0)的值，直接写出m的取值 范围。 数学第3页（共6页） 23.《实况足球》游戏中的球员能力值是指球员的各种属性，如体力、弹跳、加速度、反应速度、敏捷度、带 球精度、带球速度等.这些属性可以通过数值来表示，数值越高，球员的相应能力就越强。某足球俱 乐部在一次球员招募选拔赛中，为预估报名球员在比赛中的表现，随机抽取20名球员进行试验，得 到各球员的能力值（单位：分，满分10分），并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分 信息： a.20名球员能力值的频数分布表如下： 能力值（分） 7.40≤x<7.457.45≤x<7.50 7.50≤x<7.55 7.55≤x<7.60 7.60≤x≤7.65 频数（名）】 3 2 m 6 5 b.球员能力值在7.55≤x<7.60这一组的是：7.557.557.577.587.597.59 c.20名球员能力值的统计图如图所示： 能力值分 7.70 7.65 7.60 7.55 7.50 7.45 7.40 7.35 7.30 0 1234567891011121314151617181920球员编号 (1)m的值为 :随机抽取的这20名球员能力值的中位数为 (2)这20名球员能力值数据中，低于7.50分的球员占总球员的 %; (3)在20名球员能力值数据中从高到低排第4名的球员是 号球员； (4)1~10号球员属于甲小组，11~20号球员属于乙小组，已知甲、乙两个小组的能力值数据的平均 数分别为7.537分及7.545分，若方差越小，则认为这组的能力值越稳定.据此推断：甲、乙两组 中球员能力更强的小组是 组（填“甲”或“乙”）： 24.如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙0的直径，过点0作AC的平行线交⊙0于点D,交BC于点E,过 点D作⊙O的切线与BA的延长线交于点F. (1)求证：DFBC: (2)若BC=8,D0=5,求AF的长 数学第4页（共6页） 25.室内装修常会产生多种有害气体，某研究小组探究A,B两种常见观叶绿植对装修产生的有害气体 吸收情况，部分内容如下： 测量得到某刚装修完的房间内有害气体含量为18毫克，将A,B两种绿植放置在房间内，记绿植吸 收有害气体的时间为x(单位：天)，绿植A吸收有害气体的量为y,(单位：毫克)，绿植B吸收有害气 体的量为y2(单位：毫克).记录的部分实验数据如下： 0.0 1.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 y 0.00 1.50 4.00 7.45 8.75 9.30 9.75 Y2 0.00 2.74 4.17 4.49 4.50 4.50 4.50 (1)可以用函数刻画y1与x,y2与x之间的关系，如图在同一平面直角坐标系x0y中，请分别描出绿 植A和绿植B吸收有害气体量与时间对应的点，并绘制出它们的大致函数图象； y毫克 10 9 5 012345678910x/天 (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当绿植吸收有害气体的时间约为 天时，A,B两种绿植吸收有害气体的量相同，当 有害气体吸收量首次达到10毫克时，绿植吸收有害气体的时间约为 天（结果保留 小数点后一位)： ②经测算可得，该房屋有害气体总含量要低于2.4毫克才可用于居住，若装修完的第12天为房 屋验收日，则验收日当天，房屋能否成功通过验收： (填“是”或“否”) 26.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+bx(a≠0且b≠0)过点(b,0). (1)求该抛物线的对称轴（用含b的代数式表示）； (2)在该抛物线上存在两点A(m,y,),B(b+1,y2),当2<m<3时，总有y,<y2,求b的取值范围， 数学第5页（共6页） 27.已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=(0°<a<45),D为BC边上一动点（不与B,C重合），将线 段CD绕点D顺时针旋转2a,得到线段DE,连接AE. (1)如图1，当a=30°，且点E在AB边上时，连接CE,判断线段CE与BE之间的关系，并证明： (2)如图2，当点E在△ABC内部时，在射线BC上有一点F,连接EF,使EF⊥AE,依据题意补全图 形，并用等式表示线段DF与BD的数量关系，并证明. 图】 图2 28.在平面直角坐标系x0y中，对于任意两点P,(x1,y)与P(x2,y2)的“差距离”，给出如下定义：若1x -x,>y1y2,则点P,与点P2的“差距离”为1yy2l;若1x12<y1y2l,则点P,与点P2的“差距 离”为x1-2 例如：点P(1,4),点P2(3,5),因为11-31>14-51，所以点P,与点P2的“差距离”为14-51=1. 当1x1-x21=1y1-y21时，我们将d=1x,-x2称为点P,与点P2的“完美距离”(“完美距离”是“差距 离”的特殊情况). (1)已知点A(0,2),B为x轴上的一个动点 ①若点A与点B的“差距离”为1，写出所有满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“差距离”的最大值； (2)已知C是直线y=2x+5上的一个动点，点D(0,3),当点C与点D的“差距离”是“完美距离”时， 求点C的坐标； (3)已知一次函数y=x+6的图象与x轴，y轴分别交于点M,N,P为线段MN上一动点，E是以点D (0,3)为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点P与点E的“完美距离”的取值范围. 数学第6页（共6页） 数学 快速对答案 心位对完答案后，清翻至详解详析，更好地掌握解题思路和提分技法哦！ -、选择题（共16分，每题2分） 1~5 BCBDA 6~8 ACD 二、填空题（共16分，每题2分） 9.x≠510.3(x+2)(x-2)11.x=-112.>13.21014.615.9:1616.14(答案不唯-)：12 三、解答题见“详解详析"P15~P19 详解详析 一、选择题 8.D 1.B2.C3.B 囻解题思路引导 4.D【解析】由数轴知-3<a<-2,-2<b<-1,3<c<4, 四边形ABCD为正方形，，AB=AD,∠ABE= ab>0,2<al<3,1<b1<2,.1bl<1al,∴选项A, ∠ADC=90°，.∠ADF=90°，.∠ABE=∠ADF, B,C错误.a<0,c>0,且实数c距离原点的距离> BE=DF,.△ABE≌△ADF(SAS),.AE=AF, 实数a距离原点的距离，a+c>0,.选项D正确. ∠BAE=∠DAF,,结论①正确；：∠BAE+∠EAD= 5.A【解析】：OD⊥OF,.∠D0F=∠C0F=90°， 90°，.∠DAF+∠EAD=90°，∠EAF=90°.又：AE ∴.∠D0E+∠E0F=∠COA+∠AOF=90°，OF平分 =AF,△AEF是等腰直角三角形，.结论②正 ∠AOE,.∠AOF=LEOF,.∠D0E=∠AOC, 确；：AG⊥EF,∴G为EF的中点AG=EG=CF, :∠A0C=35°，∴.∠D0E=35°. 6.A【解析】小·关于x的一元二次方程x2+5x+c=0 等牌三角形三线合一 有两个相等的实数根，.62-4ac=52-4c×1=25-4c .EF=2AG,结论③正确；在等腰Rt△AEF 5 =0,c=4 中，A6=AA=8P之24B=EEAB< 7.C【解析】根据题意列表如下： 正 反 等腰直角三角形的边角关系 正 (正，正) (正，反) AE,∴，2AB<√2EF,结论④正确.综上，正确结论 反 (反，正) (反，反) 的序号是①②③④，故选D. 二、填空题 由列表可知，共有4种等可能的结果，其中两次朝 9.x≠5 向相同的结果有2种，P(两次朝向相同)= 4 10.3(x+2)(x-2) 11.x=-1【解析】方程两边同乘x(2x-1),得3x (2x-1)=0,解得x=-1,检验：当x=-1时，x(2x 【易错点拨】 1)≠0，.原分式方程的解为x=-1. 当题干中出现“先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬 【易错点拨】 币”或“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”时，这两种 解分式方程时，在求出分式方程的解之后，切勿忘 实验的所有可能出现的结果是相同的，均为正正、 记验根这一步骤 正反、反正、反反，共4种等可能的结果 12.> 14 P类题通法 桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时」分 函数值大小比较： 钟)：丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力 (1)直接利用函数的增减性画草图求解： 棒返回（计时3分钟）：甲、丙拿接力棒过桥（计时 (2)因函数解析式及两点的横坐标已知，也可以将 3分钟)，此时全部过桥，所用时间为：2+1+5+3+3 x值代人函数解析式中，分别求出，与2的值，直 =14(分钟)：该组完成项目需要的最短时间为： 接比较大小 甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分 13.210【解析】，1分钟跳绳的成绩大于等于80次 钟)，甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时 小于90次为良好，大于等于90次为优秀，∴.估计 1分钟)，最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共 全校参加跳绳比赛的这300名学生中1分钟跳绳 需要：2+1+3+1+5=12（分钟）. 成绩达到良好和优秀的学生人数为300× 三、解答题 9+5 1+2+3+9+5=210(名). 17.侧答题模板 14.6【解析】DF=4AE=8,AB是⊙0的直径，DF 解：原式=3+4×241-23 …(4分 ⊥AB,.AE=2,DE=4设0D=r,则OE=r-2, =√5+25+1-23 在Rt△DE0中，由勾股定理得DE2+OE2=OD2,即 =万+1.…(5分 42+(r-2)2=2,.r=5,.AB=10.AB是⊙0的 18.®答题模板 直径，∠C=90°.DF=AC=8,,在Rt△ACB 中，由勾股定理得AB2-AC2=BC2,即102-82= [4(x+1)>x-2① BC2,∴BC=6. 解：令5x-2 3② 15.9:16【解析】由作图痕迹可知AF⊥BC,即∠AFC 解不等式①，得x>-2, …(2分】 =90°.：∠BAC=90°，∠C为公共角，∴△AFC∽ 解不等式②，得x<1,…（4分 FC 3 AB4C.C-GAC=3.BC=5. .该不等式组的解集为-2<x<1.… (5分) 19. FC=9 ®剑答题模板 △AFC与△BFA的高均为AP,SAc: 解：原式-2x-2y+8 99 (x+3y)2 Sa4=FC55-9 2x+6y BE 591616 (x+3y)2 55 2(x+3y） 【一题多解】 (x+3y) 结合已知条件先判定△AFC∽△BFA,再利用勾股 2 (3分 定理求出AB的长，最后利用相似三角形的性质求 x+3y 出SAMc:SABF=AC2:AB. x+3y-1=0, 【解题技巧】 x+3y=1, 对于同高但底边不相等的两个三角形，它们的面 原式=2=2 04044000040000044000004+00000*年 (5分 积比等于各自对应底边长度之比 16.14(答案不唯一)：12【解析】本题的关键在于每 20.(1) 次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力 囘解题思路引导 证明：点B与点D关于直线AC对称， 明啼券戏规则 .OD=0B,BC=CD(DE=BE). (1分 棒返回，然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回， :0E=0C 直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程 “.四边形EBCD是平行四边形 4044。 (2分 的人所用时间应尽可能地短。“该组同学完成项 对角线互扣平分的四地形是平行四边形 确定景优方案 'BC=CD(或DE=BE), 目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过 ·四边形EBCD是菱形： (3分) 15 【一题多解】 【解法提示】由(1)知b-3.:当x=3时.y=-2x+b 证法二：：点B与点D关于直线AC对称， =-2×3+3=-3.∴-3>3m,解得m<-1:如解图，当 BD⊥CE,BC=CD,DE=BE.…(1分) 直线y=mx与函数y=-2x+b的图象平行时，m= 0E=0C -2,此时直线y=mx在函数ya-2x+b图象的下 BD垂直平分CE. 方.综上，m的取值范围是-2≤m<-1. y=mx CD=DE,…(2分)》 ∴.BC=CD=DE=BE】 .四边形EBCD是菱形：…(3分) 证法三：点B与点D关于直线AC对称 y=-2x+3 .OD=OB,BC=CD,DE=BE.…(1分) 第22题解图 'OE=0C,∠E0B=∠C0D, 23.解：(1)4,7.55；……(2分) ∴.△EOB≌△COD. 【解法提示】20-3-2-6-5=4：将20个数据从小到 .BE=CD, (2分) 大排列.可知第10个和第11个数据均为7.55， .BC=CD=DE=BE, ,这组数据的中位数为(7.55+7.55)÷2=7.55. 四边形EBCD是菱形；… (3分) (2)25:…(3分) (2)解：点B与点D关于直线AC对称， 【解法提示】(2+3)÷20×100%=25%， ∴.BD⊥EC, (3)3:…(4分） ,BD=6, 【解法提示】从统计图可以看出，7.60≤x≤7.65 ∴.0B=0D=3. (4分) 共有5个，分别是1,3,5,6,17，其中1,5,6的能力 AE=DE,∠BAE=15 值略高于3号，17号略小于3号，：.3号球员的数 ∴.∠DAE=∠ADE=15° 据从高到低排第4名。 ∴.∠DE0=30°， (4)乙.…(5分) 【解法提示】甲组的数据主要分布于7.40-7.65， .0E=30D=35,DE=20D=6. 乙组的数据主要分布于7.45-7.60，与甲的数 ∴AE=6,EC=20E=65, 40 (5分) 据相比，乙的数据波动较低，离散程度较低，数据 ∴，AC=AE+EC=6+65. (6分) 更加稳定，又：乙的平均数大于甲的平均数，∴.球 员能力更强的小组是乙组 24. (1)证明：：△ABC内接于⊙0，AB为⊙0的直径， 21.解：设每个毛绒玩偶x元，则每个冰箱贴(x- 4∠C=90°， 50)元， :DE∥AC. 根据题意得5x+3(x-50)=554,…(3分) .∠DEB=90° 解得x=88, :OD是⊙0的半径，DF是⊙0的切线， .x-50=38(元)， .∠FD0=90°， “小云要买6个冰箱贴和4个毛绒玩偶的费用 ∴.∠DEB=∠FDO, 为：6×38+4×88=580（元）， .DF∥BC;… (3分) 580<600, (2)解：如解图，延长CA交DF于点H, “.小云有600元能购买6个冰箱贴和4个毛绒玩 偶。…(6分) 更多新考法试题见重难题新考法P18第1题 22.解：(1)将一次函数y=-2x+b的图象向下平移3 个单位长度后，得到y=-2x+b-3, 第24题解图 平移后的图象过原点， ∠FD0=∠CED=∠C=90°， .将(00)代入，得0=b-3, 四边形CEDH是矩形， 解得6=3；… (3分) .∠CHD=90°，CH=DE. (2)-2≤m<-l.… (5分) BC=8,D0=5, 16 AB=10AC=√B-BC=6.…(4分) 【解法提示】18-24=15.6（毫克），分析数据及图 O是B的中点.DEAC, 象可得，绿植A从第10天到第2天的有害气体 .OE是△ABC的中位线. 吸收量低于0.45毫克..第12天A绿植的吸收 0E74c=3.cs8ce4, 量小于10.2毫克，绿植B第12天的有害气体吸 收量的为4.5毫克，∴.总的吸收量的为10.2+4,5 ..DE=0D+06=8, =14.7<15.6,因此不能成功通过脸收 .Cl=8. .AH=CH-AC=2. 26.解：(1) ”snA想0D AP OF' @解题思路引导 25 由题知抛物线为y=a.x2+bx(a≠0且b≠0). ·F5+AF' 该抛物线过点(00) 解得AF=10 *444 根据地物线解析式中c=0得到 3 (6分) 【一题多解】 …抛物线过点(6,0)， ,∠DEB=∠FD0=90°，∠E0B=∠D0F (0,0)与(b0)是对称点， .△EOB△DOF, 0+bb “.该抛物线的对称轴为直线x= 22…(2分) EO 0B DO OF (4分) 【一题多解】 BC=8,D0=5, :抛物线为y=ax2+bx(a≠0且b≠0)过点(b,0), ∴将点(b,0)代人y=ax2+bx中得ab2+b×b=0, AB=10,.AC=√AB-BC=6. b2(a+1)=0, O是AB的中点，DE∥AC, 6≠0， .OE是△ABC的中位线， ∴a+1=0. 40e8=24c=3. ∴a=-l, 抛物线的解析式为y=-x2+bx, 35 50F b 、.该抛物线的对称轴为直线x= 2x(-1)2 0 …(2分） (2) 10 、AF=OF-0A=35s 44… -3 (6分) ☑解题思路引导 将点(b,0)代人抛物线y=ax2+bx(a≠0且b≠0) 中，得ab2+62=b(a+1)=0, 25.解：(1)描点、绘制出大致图象如解图： b≠0， …(2分) ∴a=-1, y毫克 10 抛物线的解析式为y=-x2+bx. 9 ①当b<0时 抛物线对称抽在y轴左倒 6 5 i若b+1≤0，即b≤-1，抛物线的大致图象如解图 ①，则y2≥0，y1<0,·1<2 3 2 012345678910x/天 第25题解图 (2)①2.2：2.7（答案不唯-）： …（4分)》 (5分) 第26题解图① 17