精品解析：2025年四川省遂宁市中考数学真题

2025年遂宁市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“ 米”，那么向西跑20米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 的一元二次方程有实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 若关于 的分式方程无解，则 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 9. 在 中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 如图，已知抛物线（ 、 、 为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与 轴的一个交点坐标是，与 轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于 的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点，，在抛物线上，且，当时，则 的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 ______0．（填“>”“=”或“<”） 12. 已知 是方程的解，则 ______． 13. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 14. 综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 15. 如图，在边长为 的正方形 的对角线 上取一点 ，使，连结 并延长至点 ，连结 ，使， 与 相交于点 ．有下列结论：① ；②；③；④点 是 边上一动点，连结，将沿翻折，点 落在点 处，连结 交于点 ，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中a满足． 18. 如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 19. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度 ，在A处用高为1.6米的测角仪 测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮 的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 20. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形 是邻等内接四边形，且 ，，， ，求四边形 的面积． 21. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共元；购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且 型号的新型垃圾桶数量不少于 型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 22. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中 组的成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ， ． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （ ）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中， 组对应圆心角的度数为______； （ ）请补全频数分布直方图； （ ）请估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数； （ ）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 23. 如图，一次函数 （为常数， ）的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是 轴上的一点，若 是以 为直角边的直角三角形，求 的值． 24. 如图， 是 的直径， 是 上的一点，连接 ，延长 至点 ，连接 ，使 ． （1）求证： 是 的切线． （2）点 是的中点，连接 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求 的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数）的图像与 轴交于、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线． （1）求二次函数关系式． （2）连接 ，抛物线上是否存在点 ，使，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由． （3）在 轴上方的抛物线上找一点 ，作射线 ，使，点 是线段 上的一动点，过点 作轴，垂足为点 ，连结，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年遂宁市初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试数学试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“ 米”，那么向西跑20米记为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量；根据题意，向东记为“+”，则向西应记为“−”，且数值与方向无关，仅符号相反，即可解答． 【详解】解：根据题意，向东跑20米记为“ 米”，说明向东为正方向，向西则为负方向，向西跑的距离与向东跑的距离绝对值相同，方向相反，因此向西跑20米应记为“ 米”；选项中B符合这一规则； 故答案为：B． 2. 汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解. 【详解】解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，正确确定a与n的值是关键． 【详解】解：150亿用科学记数法表示为； 故选：C． 4. 如图，圆柱的底面直径为 ，高为 ，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键； 根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：现将圆柱侧面沿 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是： ， 故选：B． 5. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、积的乘方、同底数幂相乘及完全平方公式； 根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、同底数幂相乘的法则及完全平方公式逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，故本选项运算错误； B、，故本选项运算错误； C、，故本选项运算正确； D、，故本选项运算错误； 故选：C. 6. 已知关于 的一元二次方程有实数根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键； 根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围． 【详解】解：对于方程，其判别式为：， 方程有实数根需满足，即：， 解得； 故选：D． 7. 已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟知多边形的内角和与外角和公式是解题的关键， 根据多边形内角和与外角和公式，建立方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意可得： 解方程，得 因此，该多边形的边数为10， 故选：A． 8. 若关于 的分式方程无解，则 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 0或2 D. 或3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即 ，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得 ，此时 使原方程分母为零，无意义； 综上， 的值为或 ； 故选：D． 9. 在 中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段 的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图、角平分线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质与判定是关键； 先根据勾股定理求出 ，设交于点M，作 于点N，如图，利用角平分线的性质可得，利用等积法求出 ，进而可得 ，证明，再根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵在 中，， ∴, 由题意可得： 平分 ，即， 设交于点M，作 于点N，如图， 则， 设， ∵， ∴， 即， 解得：，即， 则， 由作图痕迹可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 故选：A. 10. 如图，已知抛物线（ 、、 为常数，且）的对称轴是直线 ，且抛物线与 轴的一个交点坐标是，与 轴交点坐标是且．有下列结论：①；②；③；④关于 的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点，，在抛物线上，且，当时，则 的取值范围为．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据函数图象结合二次函数的性质，先判断 ，， 的符号即可判断①；进而根据对称性得出另一个交点坐标为，则当时，，即可判断②；根据，，结合抛物线的顶点坐标，即可判断③；求得 的范围进而根据一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的解情况即可判断④；根据，结合函数图象分析，即可得出没有符合题意的 的取值范围，进而判断⑤，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， ∵抛物线与 轴交点坐标是，且， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 轴的一个交点坐标是，对称轴为直线 ， ∴另一个交点坐标为，即， ∵抛物线开口向下，且， ∴当时，，故②错误； ∵，在抛物线的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 当 时， 取得最大值，最大值为， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵， 对称轴为直线，当时，的值随 的增大而减小， 又∵， ∴， ∴当时，， ∴当时，恒成立，即必有两个不相等实根，故④正确； ∵若点在抛物线上，存在，且对称轴为直线 ，抛物线开口向下， ∴点 离对称轴最近，点 离对称轴最远， ∴， ∵， ∴， 当时，恒成立，故不符合题意，舍去； 当时，恒成立，故不符合题意，舍去； 故当时，没有符合题意的 的取值范围，故⑤错误； 故正确的有①③④，共3个． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 ______0．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答． 【详解】解：观察数轴，得，且， ∴ 即， 故答案为：<． 12. 已知 是方程的解，则 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把 代入，解得 ，即可作答． 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴把 代入，得， ∴， ∴ ， 故答案为：2 13. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则______将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：甲的最终得分是分， 乙的最终得分是分， 丙的最终得分是分， ∵， ∴乙将被择优录用， 故答案为：乙． 14. 综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 ∴ ∴， ∴， ∴； 依题意，， ∴ 是等边三角形； 则， 同理得、、是等边三角形， 则 则， 则 故答案为：． 15. 如图，在边长为 的正方形 的对角线 上取一点 ，使，连结 并延长至点 ，连结 ，使， 与 相交于点 ．有下列结论：① ；②；③；④点 是 边上一动点，连结，将沿翻折，点 落在点 处，连结 交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明即可判断①，在 上取一点 ，使得，证明，进而判断②；过点分别作 的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点 ，连接 ，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在 上时， 取得最小值，最小值为 的长，勾股定理求得 的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形 是正方形，点 是正方形 的对角线 上的点， ∴， ∴， ∴ ，故①正确； 如图，在 上取一点 ，使得， ∵四边形 是正方形， 是对角线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接 交 于点 ，则，过点分别作 的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点 是 边上一动点，连结，将沿翻折，点 落在点 处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点 ，连接 ， ∴当在 上时， 取得最小值，最小值为 的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，化简绝对值，先化简特殊角的三角函数，负整数指数幂，以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键； 先根据分式的混合运算法则化简原分式，然后结合分式有意义的条件代值求解即可． 【详解】解： ， ∵a满足，即 但， ∴ ， ∴当 时，原式． 18. 如图，在四边形 中， ，点E，F在对角线 上，，且，． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形 的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：四边形 是菱形，理由如下： ∵， ∴ ，， ∴， ∴四边形 是平行四边形， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴四边形 是菱形. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形和平行四边形的判定等知识； （1）根据垂直的定义可得，根据平行线的性质可得，根据已知条件可得，即可证明结论； （2）根据可得 ，，即得，进而可得四边形 是平行四边形，然后根据30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质证得 ，即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度 ，在A处用高为1.6米的测角仪 测得摩天轮顶端C的仰角，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角．求摩天轮 的高度．（结果精确到0.1米） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先根据三个角都是直角的四边形是矩形得四边形都是矩形，则，，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，解得，即可作答． 【详解】解：延长 交 于 ，则有， ∵， ∴四边形是矩形， 同理得四边形都是矩形， ∴，， 设， ∴， 在中，， 即， ∴， 整理得， 在中，， 即， ∴ 整理得， ∴， 解得， 则． 20. 我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”． （1）请同学们判断下列分别用含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有______（填序号）． （2）如图，四边形 是邻等内接四边形，且 ，，， ，求四边形 的面积． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义进行逐个分析，即可作答． （2）先根据勾股定理算出，设 ，，结合勾股定理整理得，代入数值得，再证明 是的中位线，则，分别算出和，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形， 图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形， 故答案为：③； 【小问2详解】 解：∵ ，，， ∴， ∵四边形 是邻等内接四边形， ∴ 四点共圆，且 为直径， 把 的中点记为点 ，即 四点在 上， 连接 ， ，相交于点 ， ∵， ∴， 设 ，， ∵ ， ∴， 则在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， ∴ 则 即， ∵ 是直径， ∴ ， ∵，， ∴ 是的中位线， ∴， 则． ， ∴四边形 的面积． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，垂径定理，圆内接四边形，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共元；购买 个 型号的新型垃圾桶和购买 个 型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且 型号的新型垃圾桶数量不少于 型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元；任务二：有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；②购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；③购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个；任务三：购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，最低购买费用是元． 【解析】 【分析】任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出 的取值范围即可求解； 任务三：由 种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 由题意得，， 解得， 答： 种型号的新型垃圾桶的单价为 元， 种型号的新型垃圾桶的单价为 元； 任务二：设购买 种型号的新型垃圾桶 个，则购买 种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵ 为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个； ②购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个； ③购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个； 任务三：∵ 种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买 种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买 种型号的新型垃圾桶个，购买 种型号的新型垃圾桶 个更省钱，最低购买费用是元． 22. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中 组的成绩为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，，， ， ， ． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （ ）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中， 组对应圆心角的度数为______； （ ）请补全频数分布直方图； （ ）请估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数； （ ）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（ ） ，，； （ ）补全频数分布直方图如下： （ ）人； （ ） 【解析】 【分析】（ ）由 组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出 组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （ ）根据（ ）所得 组学生人数补全频数分布直方图即可； （ ）用 乘以成绩不低于 分的人数占比即可； （ ）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（ ）∵， ∴本次共抽取了 名学生的模具设计成绩， ∴ 组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第 和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为： ，，； （ ）略 （ ）， 答：估计全校 名学生的模具设计成绩不低于 分的人数为人； （ ）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有 种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 23. 如图，一次函数 （为常数， ）的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的关系式． （2）结合图形，请直接写出不等式的解集． （3）点是 轴上的一点，若 是以 为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2）或 （3） 或 【解析】 【分析】（ ）利用待定系数法解答即可； （ ）求出直线 与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可； （ ）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴ ， ∴反比例函数的关系式为， 把代入，得， ∴ ， ∴， 把，代入一次函数 得， ， 解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线 与反比例函数的图象相交于点， 由，解得，， ∴，， 由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，， 即， 整理得，， ∴； 当时，， 即， 整理得，， ∴； 综上，的值为 或 ． 24. 如图， 是 的直径， 是 上的一点，连接 ，延长 至点 ，连接 ，使 ． （1）求证： 是 的切线． （2）点 是的中点，连接 ，交 于点 ，过点 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求 的值． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵ 是直径， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由圆周角定理得 ，又由等腰三角形的性质及已知可得 ，即得 ，进而即可求证； （2）连接，由 得，即得 ，，即得到 ，设 ，则 ，由勾股定理得，解得，再证明 ，得，即得 ，进而由得 ，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴ ，， ∴ ， 设 ，则 ， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵点 是的中点， ∴， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴， 即 ， ∵ ， ∴ 垂直平分 ， ∴， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数）的图像与 轴交于、 两点，交 轴于点 ，对称轴为直线 ． （1）求二次函数关系式． （2）连接 ，抛物线上是否存在点 ，使，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明理由． （3）在 轴上方的抛物线上找一点，作射线 ，使，点 是线段 上的一动点，过点 作轴，垂足为点 ，连结，求的最小值． 【答案】（1） （2）抛物线上存在点 ，使， 的坐标为， （3）的最小值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据抛物线的对称轴为直线 ，得出则二次函数解析式为代入，得出，即可求解； （2）设，根据点的坐标可得，，分量种情况讨论，①当 在直线 的下方时，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ，设 关于 的对称点为 ，则，验证可得点 与点 重合，得出，当 在 的上方时，作点 关于 的对称点，即，进而联立直线与抛物线解析式，即可求解； （3）在 上取一点 ，使得，得出，在 上取一点 ，使得，垂足为 ，则，作 关于 的对称点，连接交于点 ，根据轴对称的性质可得当 在上时取得最小值，最小值为的长，等面积法求得，则，进而得出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴，即 ∴二次函数解析式为 将代入得， 解得：， ∴二次函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：在 中，当时，解得 或 ， ∴， 当时， ，则 ∴，， 设，则 ①当 在直线 的下方时， 如图，以 为斜边在 的下方作等腰直角三角形 ， ∴，， 设 关于 的对称点为 ，则， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴点 与点 重合， ∴ 当 在 的上方时，作点 关于 的对称点 ∵都是等腰直角三角形， ∴在 轴上， 同理可得直线解析式为 联立 解得：或 ∴ 综上所述，抛物线上存在点 ，使， 的坐标为， 【小问3详解】 解：如图，在 上取一点 ，使得 ∴ 设，则 在中， ∴，即 解得： ∴ ∴ ∵， 在 上取一点 ，使得，垂足为 ， ∴ ∴ 即, 如图，作 关于 的对称点，连接交于点 ∴ ∴当 在上时取得最小值，最小值为的长， 在中， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $