2024年四川省遂宁市中考数学试卷

2024年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）下列各数中，无理数是（　　） A．﹣2 B． C． D．0 2．（4分）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（　　） A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105 4．（4分）下列运算结果正确的是（　　） A．3a﹣2a＝1 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a）4＝﹣a4 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 7．（4分）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 8．（4分）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（　　） A． B． C． D． 9．（4分）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c＞0； ③a＜1； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）分解因式：ab+4a＝　 　． 12．（4分）反比例函数y的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　 　象限． 13．（4分）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 　 　参加比赛． 甲 8 8 7 9 8 乙 6 9 7 9 9 14．（4分）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当时，S△DEF＝1﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣3； … 直接写出，当时，S△DEF＝　 　． 15．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；②AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ．其中正确结论是 　 　（填序号）． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算：sin45°+|1|（）﹣1． 17．（7分）先化简：（1），再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 18．（8分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD； ③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD． 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该则定定理是：　 　． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 19．（8分）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 20．（9分）某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元． （1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？ 21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 22．（10分）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告： ××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙风古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为 　 　，扇形统计图中，m＝　 　，“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是 　 　； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点C． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 2024年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）下列各数中，无理数是（　　） A．﹣2 B． C． D．0 【答案】C 【解答】解：﹣2，，0是有理数，是无理数， 故选：C． 2．（4分）古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下： ． 故选：A． 3．（4分）中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以62万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达19.4%．将销售数据用科学记数法表示为（　　） A．0.62×106 B．6.2×106 C．6.2×105 D．62×105 【答案】C 【解答】解：62万＝620000＝6.2×105． 故选：C． 4．（4分）下列运算结果正确的是（　　） A．3a﹣2a＝1 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a）4＝﹣a4 D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 【答案】D 【解答】解：3a﹣2a＝a，故A选项错误； a2•a3＝a5，故B选项错误； （﹣a）4＝a4，故C选项错误； （a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故D选项正确； 故选：D． 5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由3x﹣2＜2x+1，得x＜3， 所以不等式组的解集在数轴上表示为： ． 故选：B． 6．（4分）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（　　） A．36° B．40° C．45° D．60° 【答案】C 【解答】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得：（n﹣2）•180°＝1080°， 解得：n＝8， 则360°÷8＝45°， 即这个正多边形的每个外角为45°， 故选：C． 7．（4分）分式方程1的解为正数，则m的取值范围（　　） A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2 【答案】B 【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m， 解得：x＝m+3， 由方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠1， 则m的范围为m＞﹣3且m≠﹣2． 故选：B． 8．（4分）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为2米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽AB为1米，请计算出淤泥横截面的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图， 由题意OA＝OB＝1，AB＝1， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB12． 故选：A． 9．（4分）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝AE． ∵AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE， ∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”． 同理可得， △ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”． △ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”． △ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”． 所以图中的“伪全等三角形”共有4对． 故选：D． 10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（　　） ①abc＞0； ②9a﹣3b+c＞0； ③a＜1； ④若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则﹣3＜m＜1＜n． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为x＝﹣1＜0，a、b同号， ∴b＞0， ∵与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜c＜﹣2＜0， ∴abc＜0， 故①不正确； ∵对称轴为直线x＝﹣1，且该抛物线与x轴交于点A（1，0）， ∴与x轴交于另一点（﹣3，0）， ∵x＝﹣3，y＝9a﹣3b+c＝0， 故②不正确； 由题意可得，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝﹣3， 又∵x1•x2，即c＝﹣3a， ∵﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2， 因此a＜1， 故③正确； 若方程ax2+bx+c＝x+1两根为m，n（m＜n），则直线y＝x+1与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∵直线y＝x+1过一、二、三象限，且过点（﹣1，0）， ∴直线y＝x+1与抛物线的交点在第一、第三象限， 由图象可知﹣3＜m＜1＜n． 故④正确； 综上所述，正确的结论有③④， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）分解因式：ab+4a＝　a（b+4）　． 【答案】a（b+4）． 【解答】解：ab+4a＝a（b+4）， 故答案为：a（b+4）． 12．（4分）反比例函数y的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　四　象限． 【答案】四． 【解答】解：因为反比例函数y的图象在第一、三象限， 所以k﹣1＞0， 解得k＞1， 所以点（k，﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 13．（4分）体育老师要在甲和乙两人中选择1人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选 　甲　参加比赛． 甲 8 8 7 9 8 乙 6 9 7 9 9 【答案】甲． 【解答】解：甲的平均数是：8， 甲的方差是：S2[3×（8﹣8）2+（7﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4， 乙的平均数是：8， 乙的方差是：S2[3×（9﹣8）2+（7﹣8）2+（6﹣8）2]＝1.6， ∵S甲2＜S乙2， ∴老师应该选甲． 故答案为：甲． 14．（4分）在等边△ABC三边上分别取点D、E、F，使得AD＝BE＝CF，连结三点得到△DEF，易得△ADF≌△BED≌△CFE，设S△ABC＝1，则S△DEF＝1﹣3S△ADF． 如图①当时，S△DEF＝1﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣3； … 直接写出，当时，S△DEF＝　　． 【答案】． 【解答】解：如图①当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； 如图②当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； 如图③当时，S△DEF＝1﹣31﹣3； … 当时，S△DEF＝1﹣3； 故当时，S△DEF＝1﹣3． 15．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；②AP：PF＝2：3；④cos∠DCQ．其中正确结论是 　①②③　（填序号）． 【答案】①②③． 【解答】解：∵E是AB边的中点， ∴EA＝EB， ∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处， ∴EB＝EP， ∴EA＝EP， 即△AEP为等腰三角形，故①正确； ∵EA＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∵将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处， ∴∠BEC＝∠PEC， ∵∠BEP＝∠EAP+∠EPA， ∴∠BEC＝∠EAP， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝∠ADF，AB∥CD，BC＝AD， ∴∠EAP＝∠DFA， ∴∠BEC＝∠DFA， ∴△BEC≌△DFA（AAS）， ∴DF＝BE， ∴DFABCD， 即F为CD的中点，故②正确； 过点P作PM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AF于点N， ∵∠BEC＝∠EAP， ∴EC∥AF， ∴EN＝PM， 设AE＝BE＝EP＝DF＝CF＝a，则BC＝AD＝PC＝2a， ∴EC＝AFa， ∵S△PECEC•PMPE•PC， ∴PM， ∴EN， ∴PN， ∴AP＝2PN， PF＝AF﹣AP， ∴AP：PF：2：3，故③正确； ∵∠EAP＝∠EPA，∠EAD＝∠EPQ＝90°， ∴∠QAP＝∠QPA， ∴AQ＝PQ， ∵正方形的边长为2a， ∴AD＝CD＝CP＝2a，QD＝2a﹣AQ，CQ＝2a+PQ＝2a+AQ， 在Rt△CDQ中， 由勾股定理，得CD2+QD2＝CQ2， 即（2a）2+（2a﹣AQ）2＝（2a+AQ）2， 解得AQa， ∴DQ＝2aaa， ∴CQ＝2aaa， ∴cos∠DCQ．故④不正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算：sin45°+|1|（）﹣1． 【答案】2024． 【解答】解：原式12+2021＝2024． 17．（7分）先化简：（1），再从1，2，3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】x﹣1，原式＝2． 【解答】解：（1） ＝x﹣1， ∵x﹣1≠0，x﹣2≠0， ∴x≠1，x≠2， 当x＝3时，原式＝2． 18．（8分）康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理． （1）实践与操作 ①任意作两条相交的直线，交点记为O； ②以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD； ③顺次连结所得的四点得到四边形ABCD． 于是可以直接判定四边形ABCD是平行四边形，则该则定定理是：　对角线互相平分的四边形是平行四边形　． （2）猜想与证明 通过和同伴交流，他们一致认为四边形ABCD是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程． 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD． 求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）证明过程见解答． 【解答】（1）解：∵OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD的对角线互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∴在△BAD和△ABC中， ， ∴△BAD≌△ABC（SSS）， ∴∠BAD＝∠ABC， ∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 19．（8分）小明的书桌上有一个L型台灯，灯柱AB高40cm，他发现当灯带BC与水平线BM夹角为9°时（图1），灯带的直射宽DE（BD⊥BC，CE⊥BC）为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为30°时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点C到桌面的距离．（结果保留1位小数）（sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16） 【答案】57.3cm． 【解答】解：如图2中，过点C作CK⊥AE′于点K，交BM于点J． 如图1中，∵DB⊥BC，EC⊥BC， ∴BD∥EC， ∵BM∥DE， ∴四边形BDEM是平行四边形， ∴BM＝DE＝35cm， ∴BC＝BM•cos9°＝35×0.99≈34.65（cm）， 如图2中，∵BM∥AE′，CK⊥AE′， ∴CJ⊥BM， ∴CJ＝BC•sin30°≈17.32（cm）， ∵AB⊥AE′， ∴BA＝JK＝30cm， ∴CK＝CJ+JK＝17.32+30≈57.3（cm）． 答：台灯最高点C到桌面的距离约为57.3cm． 20．（9分）某酒店有A、B两种客房，其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天营业额为7200元；若A、B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元． （1）求A、B两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？ 【答案】（1）A、B两种客房每间定价分别是200元、120元；（2）当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元． 【解答】解：（1）设A种客房每间定价是x元，B种客房每间定价是y元， ∴． ∴． 答：A、B两种客房每间定价分别是200元、120元． （2）由题意，设A种客房每间定价为m元， ∴W＝m（24）（m﹣220）2+4840． ∵0， ∴当m＝220时，W取最大值，最大值为4840． 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元． 21．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【答案】（1）详见解答； （2）m＝﹣2或m＝1． 【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 22．（10分）遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分呢，请完善报告： ××小组关于××学校学生“五一”出游情况调查报告 数据收集 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 景点 A：中国死海 B：龙风古镇 C：灵泉风景区 D：金华山 E：未出游 F：其他 数据分析及运用 （1）本次被抽样调查的学生总人数为 　100　，扇形统计图中，m＝　10　，“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是 　72°　； （2）请补全条形统计图； （3）该学校总人数为1800人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数； （4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从A、B、C、D四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率． 【答案】（1）100，10，72°； （2）见解答； （3）估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人； （4）． 【解答】解：（1）∵30÷30%＝100（人）， ∴本次被抽样调查的学生总人数为100人； ∵出游C景点的人数为：100﹣（12+20+20+8+30）＝10（人）， ∴m100＝10； ∵360°＝72°， ∴“B：龙风古镇”对应圆心角的度数是72°， 故答案为：100，10，72°； （2）由（1）知：出游景点C的人数为10人， 补全条形统计图如下： （3）1800＝144（人）， 答：估计该学校学生“五一”假期未出游的有144人； （4）画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中两人选择同一景点有4种可能的结果， ∴P（选择同一景点）． 23．（10分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 【答案】（1）一次函数解析式为y＝x+2，反比例函数解析式为y； （2）﹣3＜x＜0或x＞1； （3）8． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×3＝3， 所以反比例函数解析式为y． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝﹣3， 所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+2． （2）由函数图象可知， 当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M， 将y＝0代入y＝x+2得， x＝﹣2， 所以点M的坐标为（﹣2，0）， 所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM． 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， 所以点B和点C关于点O成中心对称， 所以BO＝CO， 所以S△ABC＝2S△AOB＝8． 24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，点D是的中点，DN⊥AB于点E，交AC于点F，连结DB交AC于点C． （1）求证：AF＝DF； （2）延长GD至点M，使DM＝DG，连结AM． ①求证：AM是⊙O的切线； ②若DG＝6，DF＝5，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解答； （2）①证明见解答； ②⊙O的半径长为． 【解答】（1）证明：连接AD，设OD交AC于点I， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC于点I， ∵DN⊥AB于点E， ∴∠OED＝∠OIA＝90°， ∴∠ODF＝∠OAF＝90°﹣∠AOD， ∴∠ODA﹣∠ODF＝∠OAD﹣∠OAF， ∴∠FDA＝∠FAD， ∴AF＝DF． （2）①证明：∵AB是⊙O的直径，DM＝DG， ∴∠ADB＝90°， ∴AD垂直平分GM， ∴AM＝AG， ∴∠MAD＝∠CAD， ∵， ∴∠B＝∠CAD， ∴∠MAD＝∠B， ∴∠OAM＝∠BAD+∠MAD＝∠BAD+∠B＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AM⊥OA， ∴AM是⊙O的切线． ②解：∵∠FDG+∠FDA＝90°，∠FGD+∠FAD＝90°，且∠FDA＝∠FAD， ∴∠FDG＝∠FGD， ∴GF＝DF＝AF＝5， ∴AG＝2AF＝10， ∵DG＝6， ∴AD8， ∵∠AID＝∠ADG＝90°， ∴cos∠DAG， ∴AI， ∴DI， ∵∠OIA＝90°，OI＝ODOA， ∴OI2+AI2＝OA2， ∴（OA）2+（）2＝OA2， 解得OA， ∴⊙O的半径长为． 25．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），P、Q为抛物线上的两点． （1）求二次函数的表达式； （2）当P、C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标； （3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为m+1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）Q（，）； （3）存在，S存在最小值为． 【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时， 抛物线的对称轴为直线x＝1， 则点P、C关于抛物线对称轴对称， 则点P（2，﹣3）， 设Q（m，m2﹣2m﹣3）， ∵∠OPQ＝90°， ∴OP2+PQ2＝OQ2， ∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2] ＝（0﹣m）2+（0﹣m2+2m+3）2， 整理得：3m2﹣8m+4＝0， 解得：m1，m2＝2（舍去）， ∴m， ∴Q（，）； （3）存在，理由： 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点Q（m+1，（m+1）2﹣2（m+1）﹣3），设直线PQ交x轴于点H， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝（2m﹣1）（x﹣m）+m2﹣2m﹣3， 令y＝0， 则xm， 则OHm， 则S＝S△OHP﹣S△OHQOH×（yQ﹣yP）（m）[（m+1）2﹣2（m+1）﹣3﹣m2+2m+3]（m2+m+3）（m）2， 即S存在最小值为． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 8:17:28；用户：大胖001；邮箱：15981837291；学号：22699691 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$