精品解析：广东省增城区顶峰校区2024-2025学年高一下学期期中数学试题

广东省增城区顶峰校区2024－2025高一年级下学期 期中教学质量监测试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集和补集运算可得结果. 【详解】由，可得或，则. 故选：B． 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求复数，最后求复数的模即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 故选：A． 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直观图和原图形面积之间的关系求解即可. 【详解】直观图矩形面积，则原图面积， 故选：D． 4. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【解析】 【分析】由棱锥的定义可判断A，由棱台的定义可判断BCD. 【详解】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，故A错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，故B错误，D正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，故C错误． 故选：D. 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，从而求得. 【详解】， 由于， 所以. 故选：C 6. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理列式计算得解. 【详解】由，得，而，， 由余弦定理得（米）. 故选：C 7. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角. 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以.  因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则.  设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以.  则与夹角的大小是. 故选：C. 8. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解. 【详解】由有两解，得即解得， 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的概念求解选项A，利用复数的几何意义求解选项B，利用共轭复数的概念求解选项C，利用复数的模求解选项D. 【详解】若为纯虚数，则且，解得，故A错误； 若在复平面内对应的点位于第四象限， 则且， 解得，即，故B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确， 故选:BCD． 10. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦三角函数图像性质，求出函数周期，初相，确定函数解析式，求出函数单调区间和中心对称点，分别判断各选项正误. 【详解】对于A，因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，则，故A错误； 对于B，因为，可得，所以，， 则，因为，故，故B错误； 对于C，由A、B选项可知，当时，， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以，函数的图象关于点对称，故D正确， 故选：CD． 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. 外接圆的面积为 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A和B，由余弦定理和均值不等式可判断C和D. 【详解】对于A，由题意知，故设外接圆的半径为， 则，即得，则外接圆的面积为，故A正确； 对于B，若，则由正弦定理可得，可得， 又，可得，故B正确； 对于C，由题意可得，当且仅当时等号成立， 则，故面积的最大值为，故C正确； 对于D，由余弦定理可得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，故D错误. 故选：ABC． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】由题意，逐项判别，可得答案. 【详解】对于（1），该多面体由全等的正三角形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（2），该多面体由全等的正四边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 对于（3），该多面体由全等的正三角形组成，且顶点聚集的棱有条也有3条，不符合题意； 对于（4），该多面体由全等的正五边形组成，且每个顶点聚集的棱有条，符合题意； 故答案为：（1）（2）（4）. 13. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式得到答案. 详解】向量， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为： ．. 故答案为： 14. 已知函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到在的值域为，根据的值域为，可知需满足在上恒成立，即，解不等式可得结果. 【详解】当时，； 又函数的值域为，所以在上恒成立，所以， 解得，即的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若是纯虚数，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的加法计算结合复数的类型计算求参，最后结合乘法计算求解； （2）应用除法及乘法计算结合复数类型列式求参即可. 【小问1详解】 ， 因为是实数，所以有，解得， 因此 【小问2详解】 ， 因为是纯虚数，所以有 解得，所以． 16. 记内角，，的对边分别是，，，且，． （1）求； （2）的平分线交边于点，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理结合角的范围计算求解； （2）应用三角形面积公式结合角的值计算得出，再应用余弦定理计算求值. 【小问1详解】 由条件知， 所以由余弦定理有：， 因为，所以． 【小问2详解】 因为的平分线交边于点，且， 所以， 所以， 所以， 即， 解得， 所以，所以， 所以的周长为． 17. 已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积中向量夹角余弦公式，已经向量的模长计算方法，求出向量夹角余弦值. （2）根据向量夹角为钝角时，向量数量积小于零，但不反向共线的性质，列出不等式，求出参数范围. 【小问1详解】 根据题意，当时，是夹角为的单位向量， 所以， 又因为， 所以， 又， 所以， 即向量与夹角的余弦值为． 【小问2详解】 根据题意，因为与的夹角为钝角， 所以且不共线， 所以，且， 即，且， 所以且， 故的取值范围为． 18. 某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． （1）求圆台的高； （2）求圆台轴截面的面积； （3）若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【小问1详解】 如图1，作交于， 易得， 则，则圆台的高为． 【小问2详解】 圆台的轴截面面积为：． 【小问3详解】 把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为， 设中点为，连接（如图2）， 可得， 则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 19. 设函数同时满足条件和对任意都有成立． （1）求的解析式； （2）求的定义域和值域； （3）若，求使得成立的整数的取值的集合． 【答案】（1）； （2）定义域为，值域为． （3）． 【解析】 【分析】（1）由得到，再根据得到，得到解析式； （2）由函数特征得到不等式，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出定义域； （3），换元法，令，则，从而得到或，进而求出或或，得到取值集合. 【小问1详解】 由得，解得，故， 又得，即， 上式对任意都成立，故且，所以， 故． 【小问2详解】 由解得， 故定义域为； 当时，，则，则， 所以值域为． 【小问3详解】 若，则， 所以时或， 所以若，则或， 所以或即，或即， 综上，整数的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省增城区顶峰校区2024－2025高一年级下学期 期中教学质量监测试卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 4. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的是（ ） A. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B. 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D. 棱台各侧棱延长后必交于一点 5. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 如图，为了测量M，N两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在N点、距离M点600米处的P点、距离P点200米处的G点进行观测．甲同学在N点测得，乙同学在P点测得，丙同学在G点测得，则M，N两点间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 已知均为单位向量.若，则与夹角大小是（ ） A. B. C. D. 8. 已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在上单调递增 D. 函数的图象关于点对称 11. 在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（ ） A. 外接圆面积为 B. 若，则 C. 面积的最大值为 D. 周长的最大值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，则______是正多面体.（写出所有正确的序号） 13. 若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为__________． 14. 已知函数的值域为，则的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设复数，． （1）若是实数，求； （2）若纯虚数，求． 16. 记的内角，，的对边分别是，，，且，． （1）求； （2）的平分线交边于点，且，求的周长． 17. 已知，，其中，是夹角为的单位向量． （1）当，求与夹角的余弦值； （2）若与夹角为钝角，求的取值范围． 18. 某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． （1）求圆台的高； （2）求圆台轴截面的面积； （3）若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 19. 设函数同时满足条件和对任意都有成立． （1）求解析式； （2）求的定义域和值域； （3）若，求使得成立的整数的取值的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$