精品解析：河北冀州中学2026届高三考前模拟预测数学试题

2026届高三压轴预测卷 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知集合，则（ ） A. B. {1} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】， 得 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】B 【解析】 【详解】由于的展开式的第3项为， 故展开式中的系数为. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 5. 设，若，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【详解】函数， 由题意可知，，恒成立，则且. 6. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ） A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别列出各个规格的周长与面积，根据等差数列与等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意得 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 周长 960 800 640 480 320 面积 55296 38400 24576 13824 6144 则，故周长构成等差数列. ，故周长不构成等比数列， ，故面积不构成等差数列， ，故面积不构成等比数列. 7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过已知数据确定轴，再由双曲线定义，列出关系式即可求解. 【详解】由， 则在中，， 则，则轴， 于是，由于， 则，所以. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【详解】A.余弦函数的最小正周期公式为， ，所以，故A正确． B.，故B错误． C.， 是奇函数，不是偶函数，故C错误． D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即， 解得，当时，，是函数的一条对称轴，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据随机事件的独立性、随机变量的方差与期望的关系、二项分布的期望与方差、正态分布的对称性逐一严格推导每个选项的正确性，排除错误选项. 【详解】对于A，先证必要性：若相互独立，则， 所以， 再证充分性：若，则， 所以，即，说明与相互独立， 所以随机事件A,B相互独立的充要条件是，故A正确； 对于B，由于，则， 所以， 即，所以B正确； 对于C，由,则,，故C错误； 对于D，因为,记函数,, 所以对任意，有， 由正态分布的对称性：， 因此， 即的图象关于点对称，故D正确. 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据余弦定理代入求解即可.选项B：根据向量的数量积以及余弦定理代入求解.选项C：根据中线长公式以及三边关系求解.选项D：根据正弦定理以及均值不等式求解即可. 【详解】对于A，因，，由余弦定理得， 整理得，即角为钝角，所以是钝角三角形，A正确； 对于B， . 而，，B错误； 对于C，由中线长公式，​，则. 在△ABC中，有，且，则得，解得， 进而，即得​，故，C正确； 对于D：由正弦定理，​，​， 则等价于 ,即，即,也即(*)， 因，则​​， 故，当且仅当时取等. 即(*)成立 ,故不等式恒成立，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 13. 已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【解析】 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且​是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 14. 已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设所求圆的圆心为，由相切条件得，故的轨迹为以为焦点的椭圆，结合直线与圆相切的几何关系，得到倾斜角的范围，再用椭圆焦半径公式求的最小值. 【详解】 如图，设所求圆的圆心为，连接，设点， 由于，则， 于是点的轨迹是以为焦点的椭圆，从而椭圆的中心为， 于是设点的轨迹方程为：， 其中，则，椭圆方程为. 由于直线始终与有公共点，不妨设的倾斜角为，如图，才能取到最小值. 当时，由于直线与圆相切，即，则. 设直线与圆相切，由，，则，从而. 由焦半径公式可知． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出说明、明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列{}的前n项和 (t为参数). （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列 的前90项和. 注意：这里 表示角度， 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，； 当时，​. 因为是等差数列，​需满足通项，故，得. 因此通项公式为：. 【小问2详解】 由，所求前90项和. 利用诱导公式：，结合同角三角函数关系， 分组得： . 即前90项和为. 16. 已知函数． （1）若在时取极值，求的值和的极小值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值； （2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解. 【小问1详解】 由题意可知：，， 因为，解得， 则，， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和1， 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值，极小值为． 【小问2详解】 解法1：由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 下证：当时，， 若，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为； 解法2：令，则， 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围为； 解法3：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 解法4：因为，则， 设， 则， 当，即时，则，可知在单调递减， 则，解得； 当，即时， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，下证：， 设,，则， 可知在上单调递增，则， 即，可得，可知不等式恒成立； 综上所述：的取值范围为. 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若点，且点关于轴的对称点在直线上，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知及椭圆参数关系列方程，解出即可求解； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据题设可得，结合韦达定理求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 此时点关于轴的对称点即为点，显然满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，点，点， 联立，整理得， 则， 而直线的斜率为，直线的斜率为， 由题意有，即，则， 整理得， 故，解得， 则直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 18. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】（1）7.7分钟 （2）（i）证明见解析（ii）元 【解析】 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【小问1详解】 平均时间. 【小问2详解】 （i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 19. 如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． （1）求长度的最小值； （2）若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； （3）在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将圆锥侧面展开为平面扇形，利用 “两点之间线段最短” 确定最短路径为展开图中连接两点的线段，再结合扇形弧长公式求出圆心角，最后用余弦定理计算线段长度即最短路径长； （2）建立空间直角坐标系，利用参数表示底面圆周上点的坐标，通过向量共线表示出轨迹上点的坐标，再通过向量数量积验证轨迹在某一平面内并求出该平面的法向量； （3）解法 1：求出平面的法向量，利用两平面法向量夹角公式计算夹角余弦值，再通过三角函数值域求出余弦值的取值范围；解法 2：结合几何分析，通过几何关系求出夹角余弦值的最值，进而得到取值范围. 【小问1详解】 如图， 沿圆锥的母线，将圆锥的侧面展开，得侧面展开图扇形， 其中为的中点，与在圆锥中是同一点． 因为轨迹在圆锥的侧面上， 所以，在侧面展开图中，轨迹是扇形上连接与两点的曲线． 又是最短路径，而平面上连接两点之中，线段最短， 所以，轨迹是侧面展开图扇形上连接与两点的线段，即线段． 由于，所以的长度为，又，所以． 所以，在等腰三角形中，，即的长度为． 【小问2详解】 如图，在底面圆中，过点作交圆于点， 由于平面，平面，故，， 则，两两垂直， 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 于是，设， 则， 于是，则， 于是， 于是令，则； 【小问3详解】 解法1：由（2）可知，是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由于， 则，即 令， 于是平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 于是， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为； 解法2 ： 由（2）可知，平面的法向量， 由于在底面圆周上运动， 则平面即平面的法向量可以是底面上任意方向的向量， 如图，在平面内，设，过点作，则， 设平面与平面所成的角为，则， 易知，则， 综上，， 即平面与平面所成角的余弦值的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三压轴预测卷 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. {1} C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，若，则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 6. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ） A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列 7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. C. 为偶函数 D. 的图象关于直线对称 10. 下列说法正确的是（ ） A. 随机事件A,B相互独立的充要条件是 B. 设X为随机变量,则 C. ,则, D. 若,记函数,,则的图象关于点对称 11. 在△ABC中，角的对边分别为，且 则下列说法正确的是（ ） A. 为钝角三角形 B. C. 若为边的中点，则|AM|的取值范围为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 13. 已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 14. 已知圆是圆上的一动点，．若存在一个半径为的圆与直线相切于点，且与圆内切，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出说明、明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列{}的前n项和 (t为参数). （1）求数列{}的通项公式； （2）求数列 的前90项和. 注意：这里 表示角度， 16. 已知函数． （1）若在时取极值，求的值和的极小值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 17. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，若点，且点关于轴的对称点在直线上，求直线的方程． 18. 某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 （1）估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 19. 如图，已知圆锥的底面直径，其中为底面圆心，母线，动点从点出发，在圆锥的侧面上绕轴一周后回到点，其轨迹为． （1）求长度的最小值； （2）若点在圆上，且（是所对的圆心角，），证明：存在非零向量，使得恒成立； （3）在（2）的条件下，可知是平面曲线，记所在平面为，求平面与夹角余弦值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $