专题1.1 有理数的引入（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题1.1 有理数的引入 1.正确理解正、负数及零的意义,会用正、负数表示具有相反意义的量，会判断一个数是正数还是负数.（重点） 2. 理解有理数的有关概念及其分类，了解集合的概念.（难点） 3. 通过有理数的学习,感受数学与现实生活的联系,培养观察、归纳与概括能力. 1.定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量. 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. （24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量，说明我国是世界上最早使用负数的国家．如果在一次数学测试中，以70分为基准，80分记作分，那么60分应记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 1.定义 正数： 像3、3.5、500、1.2 这样大于0的数叫做正数 . 负数： 像－12、－2.5、－237、－0.7这样在正数前加上符号“－”(负) 的数叫做负数 . 0既不是正数，也不是负数. 2.数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3.符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号. 1.正数的实质是大于0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略“+”号. 2.负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3.正数与负数的特征：(1)不为0；(2)含“+”“－”号. 下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． 1.整数 正整数、0和负整数统称为整数，如-3、-2、0、1、2、3....... 2.分数 正分数和负分数统称为分数，如..... 3.有理数整数和分数统称为有理数 4.部分常用的数的名称 (1)正整数:大于0的整数;负整数:小于0的整数 （2）正分数：形如 的数；负分数：形如 的数．（ m, n都是正整数， 不能被 整除） （3）非负数：正数和 0 ；非正数：负数和 0 ． 1.非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2.引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了,奇数和偶数也可以是负数 3.自然数包括0和正整数 （24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有下列各数：，，其中正数有 个，负分数有 个，整数有 个． 1.有理数的分类 (1)按定义分类 (2)按性质分类 1.不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类:正整数、0、负整数、正分数、负分数、 2.正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数 2.有理数分类的三原则 (1)分类不重复:所分的冬类应当互不包含 (2)分类无遗漏:所分各类之“和”必须是原来的全部 (3)标准要统一:必须按同一分类标准进行分类 （24-25七年级上·山东聊城·期中）在，5，，，，中，有理数有 个 1.定义 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集. 2.数集的两种常见形式 把下列各数填在相应的集合中．（注意：只填序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集{ …}． 题型一、相反意义的量 典例1（24-25七年级上·广东广州·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C． 1-1（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果向东走记为，那么表示（   ） A．向南走 B．向西走 C．向北走 D．向左走 1-2（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 1-3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 题型二、正负数的定义 例2（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数． 明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系． A、1.2是正数，A项错误； B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误． C． 2-1（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 2-2（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 2-3（24-25七年级上·福建漳州·期中）如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作 ． 2-4（24-25七年级上·河南驻马店·期中）大于 的数是正数，小于 的数是负数． 题型三、正负数的实际应用 例3（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（    ） A．118分 B．112分 C．108分 D．103分 本题考查了正负数在实际成绩表示中的应用，解题的关键是理解以平均成绩为基准，高于平均成绩记为正，低于平均成绩记为负． 先根据小明的成绩和记分情况确定记分规则，再依据此规则求出小丽的成绩． 已知平均成绩是105分，小明得了110分，记作+5分，，说明是以平均成绩105分为基准，高于平均成绩的部分用正数表示． 小丽的成绩记作分，这表示小丽的成绩比平均成绩105分低2分，所以小丽的成绩是分． D． 3-1（24-25七年级上·广东广州·期末）体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，其中“+”号表示成绩大于，“0”号表示成绩等于，“﹣”号表示成绩小于，该小组达标的女生共有 人． 3-2（24-25七年级上·江西赣州·期末）在验光时，验光师经常会以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视度记录为“”，近视度记录为“”等等．现有位同学验光记录如下：“”，“”，“”，“”，“”，通常，近视超过度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这位同学中，需要持续配戴眼镜的有 位． 3-3（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3-4（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 题型四、有理数的定义 例4（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． ① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； D． 4-1（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4-2（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 4-3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4-4（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 题型五、0的意义 例5（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． ①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， B． 5-1（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0是分数 5-2（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 5-3（24-25七年级上·云南·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 5-4（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 题型六、有理数的分类 例6（24-25七年级上·北京·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 本题考查了有理数的分类，负分数的定义，负分数是小于0的分数，是有理数． 根据小于零的分数是负分数，可得答案． 有理数，不是负数， ，是负整数， 是负分数， D． 6-1（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 6-2（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 6-3（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 6-4（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：； 负有理数集合：； 6-5（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 6-6（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{               …}． (2)负有理数集合：{               …}． (3)整数集合：{                  …}． 题型七、带“非”字的有理数 例7（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， B． 7-1（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7-2（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                   …} 负分数集合：{                   …} 非负有理数集合：{                   …} 7-3（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                      …}； 非负整数：{                  …}； 整数：{                 　   …}； 负分数：{                    …}． 7-4（24-25七年级上·广西贵港·期中） 正数集合：{                           …}； 负数集合：{                           …}； 非负整数集合：{                           …}； 有理数集合：{                           …}． 对有理数的分类理解不清导致出错 例1下列说法中，正确的是（    ） A．有理数分为整数、分数和小数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．一个有理数不是正数就是负数 D．以上说法都不对 有理数按定义分为整数和分数,按性质分为正有理数、0和负有理数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵有理数分为整数和分数，∴A错误， ∵有理数分为整数和分数，∴一个有理数不是整数就是分数，∴B正确， ∵有理数分为正数、负数和零，∴C错误， 1.对有理数的分类只能按一个标准分,不能相互混淆2.按性质分类时易漏掉0. 1．[新视角]（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 3．[集合思想]（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（   ） A． B． C．0 D．2.3 4．[新考向]在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 5．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 6．[新趋势·跨学科]（24-25七年级上·湖南娄底·期末）科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学规定：原子核所带电荷为正电荷，电子所带电荷为负电荷．氢原子中的原子核与电子各带一个电荷，其中原子核所带电荷可记作，则电子所带电荷应记作 ． 7．[数学文化]中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 8．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 9．观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 10．[新情景·体育赛事]（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）2025年5月17日，第58届世乒赛在卡塔尔多哈卢赛尔体育馆举行．某工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径检验记录如下．（“＋”表示超出标准，“－”表示不足标准） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 直径 0 0.3 0.1 0.2 (1)其中偏差最大的乒乓球直径是________； (2)若误差在“”以内的球可以作为良好产品，这些乒乓球的良好率是________； (3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米？ 11．[新情景]如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 12．[新视角·新定义]把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2026﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2026}就是一个黄金集合， （1）集合{2026} 黄金集合，集合{-1，2027} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 有理数的引入 1.正确理解正、负数及零的意义,会用正、负数表示具有相反意义的量，会判断一个数是正数还是负数.（重点） 2. 理解有理数的有关概念及其分类，了解集合的概念.（难点） 3. 通过有理数的学习,感受数学与现实生活的联系,培养观察、归纳与概括能力. 1.定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量. 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. （24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中“方程术”中明确引进了“负数”，用正、负数来表示具有相反意义的量，说明我国是世界上最早使用负数的国家．如果在一次数学测试中，以70分为基准，80分记作分，那么60分应记作（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数的定义解答即可．掌握正负数的意义是解答本题的关键． 【详解】解：以70分为基准，大于70分为正数，则小于70分为负数，即60分可记为分． 故选：D． 1.定义 正数： 像3、3.5、500、1.2 这样大于0的数叫做正数 . 负数： 像－12、－2.5、－237、－0.7这样在正数前加上符号“－”(负) 的数叫做负数 . 0既不是正数，也不是负数. 2.数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3.符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号. 1.正数的实质是大于0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略“+”号. 2.负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3.正数与负数的特征：(1)不为0；(2)含“+”“－”号. 下列各数中，正数有哪些？负数有哪些？不是负数的有几个？ ，，0，，，，，． 【答案】正数：；负数：，，；不是负数：5个 【分析】正数是比0大的数,负数是比0小的数． 【详解】解：正数：； 负数：，，； 不是负数的有：，，共5个 【点睛】本题考查了正负数的概念．掌握相关定义即可． 1.整数 正整数、0和负整数统称为整数，如-3、-2、0、1、2、3....... 2.分数 正分数和负分数统称为分数，如..... 3.有理数整数和分数统称为有理数 4.部分常用的数的名称 (1)正整数:大于0的整数;负整数:小于0的整数 （2）正分数：形如 的数；负分数：形如 的数．（ m, n都是正整数， 不能被 整除） （3）非负数：正数和 0 ；非正数：负数和 0 ． 1.非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2.引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了,奇数和偶数也可以是负数 3.自然数包括0和正整数 （24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）有下列各数：，，其中正数有 个，负分数有 个，整数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数，负的分数，整数的定义分别判断，即可求解． 【详解】解：，中， ，，，是正数，共有4个， ，，是负分数，共有3个， ，，，是整数，共有4个， 故答案为：，，． 1.有理数的分类 (1)按定义分类 (2)按性质分类 1.不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类:正整数、0、负整数、正分数、负分数、 2.正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数 2.有理数分类的三原则 (1)分类不重复:所分的冬类应当互不包含 (2)分类无遗漏:所分各类之“和”必须是原来的全部 (3)标准要统一:必须按同一分类标准进行分类 （24-25七年级上·山东聊城·期中）在，5，，，，中，有理数有 个 【答案】4/四 【分析】本题考查有理数，包括有限小数与无限循环小数，熟知有理数的分类是解答的关键． 根据有理数是整数和分数的统称求解即可． 【详解】解：在中，有理数是，，共4个， 故答案为：4． 1.定义 把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集. 2.数集的两种常见形式 把下列各数填在相应的集合中．（注意：只填序号） ①，②，③，④，⑤0，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负整数集{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，相反数，绝对值，掌握实数分类的方法是解决问题的关键． 【详解】解： 正数集合{①，④ ，⑦，⑨…}；   负数集合{②，③，⑥，⑧…}；    整数集合{①，②，⑤，⑦，⑧…}；    分数集合{③，④，⑥…} 非负整数集{①，⑤，⑦ …} 题型一、相反意义的量 典例1（24-25七年级上·广东广州·期中）下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C． 1-1（24-25七年级上·福建厦门·期末）如果向东走记为，那么表示（   ） A．向南走 B．向西走 C．向北走 D．向左走 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际运用，掌握正负数，相反意义的量的计算是解题的关键． 根据向东走记为，则负表示向西走，由此即可求解． 【详解】解：向东走记为，那么表示向西走， 故选：B ． 1-2（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 1-3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果收入100元记为，那么支出80元记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了正负数的意义，正负数是一对具有相反意义的量，若收入用“”表示，那么支出就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解；如果收入100元记为，那么支出80元记为， 故答案为：． 题型二、正负数的定义 例2（24-25七年级上·河北邢台·期中）下列四个数中，属于负数的是（   ） A．1.2 B．1 C． D．0 本题考查负数的概念，解题的关键是明确负数的定义，即小于0的数是负数． 明确正数，负数和0的性质，逐一分析选项中的数与0的大小关系． A、1.2是正数，A项错误； B、1是正数，B项错误； C、小于0，根据负数的定义：小于0的数是负数，所以是负数，C项正确； D、0既不是正数也不是负数，D项错误． C． 2-1（24-25七年级上·贵州毕节·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴这四个数中，是负数的是． 故选：A． 2-2（24-25七年级上·浙江台州·期末）下列四个有理数中，负数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了负有理数“负有理数就是小于0的有理数”，熟记负有理数的定义是解题关键．根据负有理数的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，则此项不符合题意； B、是负数，则此项符合题意； C、3是正数，则此项不符合题意； D、是正数，则此项不符合题意； 故选：B． 2-3（24-25七年级上·福建漳州·期中）如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作 ． 【答案】 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数表示一对意义相反的量即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：如果表示“上涨”，那么“下跌”可以记作， 故答案为：． 2-4（24-25七年级上·河南驻马店·期中）大于 的数是正数，小于 的数是负数． 【答案】 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了对正数、负数的认识，正确理解正负数的定义是解题的关键． 根据正数、负数的意义，大于的正数是正数，小于的数是负数即可求解． 【详解】解：大于的正数是正数，小于的数是负数， 故答案为：，． 题型三、正负数的实际应用 例3（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）七年一班某次数学测试的平均成绩是105分，小明得了110分，记作分，小丽的成绩记作分，则小丽本次数学测试的成绩为（    ） A．118分 B．112分 C．108分 D．103分 本题考查了正负数在实际成绩表示中的应用，解题的关键是理解以平均成绩为基准，高于平均成绩记为正，低于平均成绩记为负． 先根据小明的成绩和记分情况确定记分规则，再依据此规则求出小丽的成绩． 已知平均成绩是105分，小明得了110分，记作+5分，，说明是以平均成绩105分为基准，高于平均成绩的部分用正数表示． 小丽的成绩记作分，这表示小丽的成绩比平均成绩105分低2分，所以小丽的成绩是分． D． 3-1（24-25七年级上·广东广州·期末）体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，其中“+”号表示成绩大于，“0”号表示成绩等于，“﹣”号表示成绩小于，该小组达标的女生共有 人． 【答案】6 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解正负数的实际意义是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义即可解答． 【详解】解：由题意可得达标的有，共6人． 故答案为：6． 3-2（24-25七年级上·江西赣州·期末）在验光时，验光师经常会以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视度记录为“”，近视度记录为“”等等．现有位同学验光记录如下：“”，“”，“”，“”，“”，通常，近视超过度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，在这位同学中，需要持续配戴眼镜的有 位． 【答案】3 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的运用，理解近视程度的表示方法，掌握有理数与实际问题的表示方法是解题的关键． 根据为同学的近视程度的值与近视超过度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正进行判定即可． 【详解】解：将近视度记录为“”，近视度记录为“”， 现有位同学验光记录如下：“”，“”，“”，“”，“”， ∴为同学的近视度数分别为度，度，度，度，度， ∵近视超过度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正， ∴近视度数为度，度，度需要配戴眼镜，共3位， 故选：3 ． 3-3（24-25七年级上·云南昆明·期末）机床厂工人加工一种直径为的机械零件，其中直径在范围内的零件为合格．质检员抽取5个机械零件进行检测，把每个机械零件直径超过的毫米数记作正数，不足的毫米数记作负数．5个机械零件对应的数分别是，，，，．其中不合格的零件有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据误差不大于可知，尺寸记录的数字部分大于和小于的零件为不合格的零件，据此求解即可． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴不合格的零件的尺寸有，共1个， 故选：A． 3-4（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数，先求出北京时间，再求出其他城市时间，即可得出答案． 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误； 故选：A． 题型四、有理数的定义 例4（24-25七年级上·广东广州·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． ① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； D． 4-1（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）在，，，中，有理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键． 根据有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，是有理数，共个， 故选：B． 4-2（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【知识点】正负数的定义、有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查正数负数定义，正分数定义等．根据题意利用正负数及正分数定义逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵在和之间有正数，例如， ∴①不正确， ∵在0与之间有负数，例如， ∴②不正确， ∵在和之间有很多个正分数， ∴③正确， ∵在和之间有正分数，例如， ∴④不正确， 故选：A． 4-3（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 4-4（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 题型五、0的意义 例5（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． ①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， B． 5-1（23-24七年级上·河南许昌·开学考试）下列说法正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0是整数 D．0是分数 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查了“0”的意义，熟知“0”的意义是解题的关键． 【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； B、0既不是正数，也不是负数，原说法错误，不符合题意； C、0是整数，符合题意； D、0不是分数，不符合题意； 故选：C． 5-2（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查了有理数，0是有理数中的重要数字等知识点，根据0在不同问题中的实际含义解答即可，熟练掌握有理数0的性质是解决此题的关键． 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5-3（24-25七年级上·云南·期中）下列说法正确的是（　　） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．0是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【知识点】有理数的定义、0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类以及正数和负数，解题的关键是掌握有理数的分类以及0的意义．根据有理数的分类以及正数和负数逐一分析解答即可． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 5-4（22-23七年级上·河南南阳·期中）下列语句中正确的有(   )个． ①不带“”号的数都是正数；②如果是正数，那么一定是负数；③不存在既不是正数，也不是负数的数；④表示没有温度． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】正负数的定义、0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查正数与负数的意义，根据正数与负数的性质及的意义可求解． 【详解】解：①0不带“”号但不是正数，故原说法错误； ②如果是正数，那么一定是负数，故正确； ③0既不是正数，也不是负数的数，故原说法错误； ④表示温度为℃，故原说法错误． 故正确的有1个． 故选：A． 题型六、有理数的分类 例6（24-25七年级上·北京·期中）在有理数0，，，中，负分数是（   ） A．0 B． C． D． 本题考查了有理数的分类，负分数的定义，负分数是小于0的分数，是有理数． 根据小于零的分数是负分数，可得答案． 有理数，不是负数， ，是负整数， 是负分数， D． 6-1（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛______｝…； 正整数集合：｛______｝…； 分数集合：｛______｝… 【答案】；； 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查了有理数定义及其分类， 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：； ； . 6-2（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 6-3（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 6-4（23-24七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入相应的大括号里． ，0.618 ， ， ， 260 ，0 ， ，， ，． 整数集合：{ …}； 负有理数集合：{ …}； 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数\负有理数的定义解答即可． 【详解】解∶ 整数集合：{， 260 ，0 ， ，…}； 负有理数集合：{， ， ， ，…} 6-5（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合：，，，； 负有理数集合：，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合：，， ． 6-6（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）将下列各数填入它所属的集合内：，，2024，，0，，，，，． (1)正有理数集合：{              …}． (2)负有理数集合：{              …}． (3)整数集合：{                 …}． 【答案】(1)，2024，，， (2)，，， (3)，，2024，0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类．根据正有理数，负有理数和整数的定义即可． 【详解】（1）解：正有理数集合：{，2024，，，，…}． （2）解：负有理数集合：{，，，，…}． （3）解：整数集合：{，，2024，0，…}． 题型七、带“非”字的有理数 例7（24-25七年级上·湖南怀化·期中）在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， B． 7-1（24-25七年级上·甘肃陇南·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查有理数分类，非负整数识别等．根据题意可知非负整数包括0和正整数，继而得到本题答案． 【详解】解：∵非负整数有：0，2、3、4， ∴共有4个， 故选：C． 7-2（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                  …} 负分数集合：{                  …} 非负有理数集合：{                  …} 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0，，，，6，，3.14，． 整数集合：{ ，0，}； 负分数集合：{ ，，}； 非负有理数集合：{ ，0，，6，}． 7-3（24-25七年级上·四川眉山·期末）把下列各数填在相应的大括号内：，，，，，，，，，，，． 正数：{                     …}； 非负整数：{                 …}； 整数：{                　   …}； 负分数：{                   …}． 【答案】，，，，；，，；，，，，；，，． 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了正数、非负整数、整数、负分数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正数、非负整数、整数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正数：{，，，，，…}； 非负整数：{，，，…}； 整数：{，，，，，…}； 负分数：{，，，…} 故答案为：，，，，；，，；，，，，；，，． 7-4（24-25七年级上·广西贵港·期中） 正数集合：{                          …}； 负数集合：{                          …}； 非负整数集合：{                          …}； 有理数集合：{                          …}． 【答案】答案见详解 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据题意，进行分类，是解题的关键． 直接利用正数，负数，有理数，非负整数的定义分类即可． 【详解】正数集合：， 负数集合：， 非负整数集合： ， 有理数集合：． 对有理数的分类理解不清导致出错 例1下列说法中，正确的是（    ） A．有理数分为整数、分数和小数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．一个有理数不是正数就是负数 D．以上说法都不对 有理数按定义分为整数和分数,按性质分为正有理数、0和负有理数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】∵有理数分为整数和分数，∴A错误， ∵有理数分为整数和分数，∴一个有理数不是整数就是分数，∴B正确， ∵有理数分为正数、负数和零，∴C错误， 1.对有理数的分类只能按一个标准分,不能相互混淆2.按性质分类时易漏掉0. 1．[新视角]（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图是一种转盘型密码，每次开锁时需要先把表示“”的刻度线与固定盘上的标记线对齐、再按顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘三次，例如，按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，．此时标记线对准的数是．如果一组开锁密码为“，，”要想打开锁，按上述规定方式旋转锁盘，锁打开时标记线对准的刻度线表示哪个数？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，根据开锁密码的意义即可得解，根据实际问题理解表示具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转个小格记为“”，此时标记线对准的数是．再顺时针旋转个小格记为“”，再逆时针旋转个小格记为“”，锁可以打开，那么开锁密码就可以记为“，，，此时标记线对准的数是， ∴开锁密码为“，，”，表示先按顺时针方向转格，再按逆时针方向转格，再按顺时针方向转格， 所以标记线按顺时针转了格， 则锁打开时标记线对准的刻度线表示为， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川成都·期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，根据表中给出的国外四个城市与北京的时差，请你判断城市 代表北京（在A、B、C、D、E五个里面选一个填在横线上） 城市 时差/h 纽约 悉尼 伦敦 罗马 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查正数与负数，根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可． 【详解】解：若以24小时制计时间， 第一个表的时间为8点或20点， 第二个表的时间为9点或21点， 第三个表的时间为4点或16点， 第四个表的时间为3点或15点， 第五个表的时间为6点或18点， 因为悉尼时间比北京时间多2个小时， 所以北京的时间只可能是4点或16点，此时E是悉尼，A是伦敦，B是罗马，D是纽约． 故答案为：C． 3．[集合思想]（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）所有整数组成整数集合，所有负数组成负数集合，阴影部分也表示一个集合，则这个集合可以包含的有理数是（   ） A． B． C．0 D．2.3 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据题意可知阴影部分是负整数的集合，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知阴影部分是负整数的集合， 所以属于这个集合． 故选：B． 4．[新考向]在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 5．把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，，，，． 正整数集：{    …}； 正数集：{    …}； 负分数集：{    …}； 负数集：{    …}； 非负整数集：{    …}； 分数集：{    …}． 【答案】，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，掌握正整数、正数，负分数、负数、非负整数、和分数的定义与特点是解题的关键． 直接利用有理数的相关概念分析得出答案，特别注意整数和正数的区别，注意是整数，但不是正数． 【详解】解：正整数集：{，，}； 正数集：{，，，，，}； 负分数集：{，，，，}； 负数集：{，，，，，，}； 非负整数集：{，，，}； 分数集：{，，，，，，，} 故答案为：，，；，，，，，；，，，，；，，，，，，；，，，； ，，，，，，， 6．[新趋势·跨学科]（24-25七年级上·湖南娄底·期末）科学实验表明，原子中的原子核与电子所带电荷是两种相反的电荷．物理学规定：原子核所带电荷为正电荷，电子所带电荷为负电荷．氢原子中的原子核与电子各带一个电荷，其中原子核所带电荷可记作，则电子所带电荷应记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数：相反意义的量，因为物理学规定：原子核所带电荷为正电荷，电子所带电荷为负电荷．氢原子中的原子核与电子各带一个电荷，其中原子核所带电荷可记作，所以电子所带电荷应记作，即可作答． 【详解】解：依题意，电子所带电荷应记作， 故答案为：． 7．[数学文化]中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】 本题考查了应用类问题．根据算筹记数的规定可知，“ ”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数． 【详解】 解：由已知可得：“ ”表示的是4位负整数，是． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·吉林·期中）体育课上，教师对七年级（8）班的女生进行了仰卧起坐测试，以做个及以上为达标，超过个用正数表示，不足个用负数表示，第一组8名学生的成绩如下( 单位∶个)∶，3，4，，2，3，，0． (1)第一组 8 名学生的成绩中，“0”表示的是做了 个仰卧起坐． (2)第一组学生的达标率是 % ． (3)第一组 8 名学生共做了多少个仰卧起坐？ 【答案】(1) (2) (3)个 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据超过的记作正数，不足的记作负数直接加上基础数量即可得到答案； （2）利用达标的人数除以总人数即可得到答案； （3）利用乘以8加上记录的成绩即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， “0”表示的是做了个仰卧起坐， 故答案为：； （2）解：由题意可得， 3，4， 2，3， 0几个计数的人是达标的，共5人， ∴第一组学生的达标率是：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， （个）， ∴第一组 8 名学生共做了个仰卧起坐． 9．观察下面一列数： ，，，，，，，，9，… (1)请写出这一列数中第101个数和第2 024个数； (2)在前个数中，正数和负数分别有多少个？ (3)和是否在这一列数中？若在，请写出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由． 【答案】(1)101， (2)正数有个，负数有个 (3)在这一列数中，是第个数．不在这一列数中，因为这一列数中的奇数均为正数 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了数的排列规律，能发现符号是正负相间且绝对值依次增加是解题的关键． （1）根据这一列数的绝对值依次增加1，且正负相间，可解决问题； （2）由这列数为正负相间排排列，可解决问题； （3）根据题中负数都是奇数，整数都是偶数便可解决问题． 【详解】（1）解：观察数列可知， 这一列数为正负相间，从左往右绝对值依次增加，且第一个数为， 所以第101个数是101，第2024个数是． （2）解：根据数的排列特征可知， 前奇数数个数中，正数比负数多一个． 所以前个数中，正数有个，负数有个． （3）解：因为在这列数中奇数是正数，偶数是负数； ∴在这列数中，是第个数．不在这列数中． 10．[新情景·体育赛事]（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）2025年5月17日，第58届世乒赛在卡塔尔多哈卢赛尔体育馆举行．某工厂加工一批比赛用乒乓球，按国际比赛规定要求乒乓球的直径标准为，但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差．随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径检验记录如下．（“＋”表示超出标准，“－”表示不足标准） 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 直径 0 0.3 0.1 0.2 (1)其中偏差最大的乒乓球直径是________； (2)若误差在“”以内的球可以作为良好产品，这些乒乓球的良好率是________； (3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米？ 【答案】(1) (2)50% (3)毫米 【知识点】有理数除法的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用，解题的关键是理解正负号在题中的实际意义． （1）找出列表中绝对值最大的数据，加上标准值即可； （2）找出列表中绝对值小于的数据的个数，除以总数，即可得到良好率； （3）求出列表中所给数据的平均数，加上标准值即可． 【详解】（1）解：列表中绝对值最大的数是， ， 即偏差最大的乒乓球直径是， 故答案为：； （2）解：列表中绝对值小于的数有5个， ， 即这些球的良好率是， 故答案为：50； （3）解： ， 即这10个乒乓球平均每个球的直径是毫米． 11．[新情景]如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1) (2)16 (3)见解析 【知识点】正负数的实际应用 【分析】（1）根据规定结合图形写出即可； （2）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （3）根据运动路线标注解答即可； 【详解】（1）根据题意得出：； 故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：， ∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【点睛】本题考查了正数和负数，读懂题目信息，理解正负数的意义以及写法的规定是解题的关键． 12．[新视角·新定义]把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2026﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2026}就是一个黄金集合， （1）集合{2026} 黄金集合，集合{-1，2027} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； （3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由． 【答案】（1）不是，是．（2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2026﹣4016=﹣1990． 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数乘法的实际应用 【详解】试题分析：（1）根据有理数a是集合的元素时，20126﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为黄金集合，从而可以可解答本题； （2）根据2026﹣a，如果a的值越大，则2026﹣a的值越小，从而可以解答本题； 解：（1）根据题意可得，2026﹣2026=0，而集合{2026}中没有元素0，故{2026}不是黄金集合； ∵2026﹣2027=﹣1， ∴集合{﹣1，2027}是黄金集合． 故答案为不是，是． （2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是﹣2000． ∵2026﹣a中a的值越大，则2026﹣a的值越小， ∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2026﹣4016=﹣1990． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$