专题10.1 平方根（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题10.1 平方根 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念及性质,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根（重点） 2.了解开平方、开立方的意义,了解乘方与相应的开方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根（重点） 3.会用计算器求非负数的平方根和一个数的立方根（重点） 1.平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根. 2．平方根的表示 若 ，则叫做的平方根，记作，其中2为根指数，通常省略不写，即记作 读作＂正负根号＂，其中称为被开方数。 平方根的定义中是非负数，即. （24-25八年级上·河北唐山·期中）4的平方根是（    ） A．2 B． C． D． （24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（    ） A．4 B．－4 C．0 D．2 1.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根 判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0.如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数。 1.算术平方根 正数的正的平方根，叫做的算术平方根 规定：0的算术平方根是0. 表示方法：正数的算术平方根记为，读作＂根号＂，叫做被开方数。 （1）算术平方根 具有双重非负性：被开方数是非负数，即；算术平方根 是非负数，即 ． （2）算术平方根是它，本身的数只有0和1． 1.任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数。 2.平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义不同 正数的正的平方根叫做的算术平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根 个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数的算术平方根表示为 非负数的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0 3.开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方 1.平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根. 2.两个重要公式： （1） ； （2） 区别 运算顺序不同 先开方再求平方 先求平方再开方 的取值 范围不同 任意数 联系 （24-25八年级上·贵州毕节·期末）49的算术平方根是 ． （24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 题型一、求一个数的算术平方根 例1的平方根是 ． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义 计算即可得到答案． ，的平方根是， ． 1-1计算： ． 1-2（24-25八年级上·四川成都·期末）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 1-3（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 题型二、利用算术平方根的 非负性解题 例2（24-25八年级上·广西来宾·期末）若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 本题主要考查非负性的运用，算术平方根．根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 由题意得，， 解得， 所以，， 所以，的算术平方根是． D． 2-1（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若实数，满足，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2-2（24-25八年级上·云南昭通·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 2-3已知实数a，b，满足，则 ． 题型三、估计算术平方根的取值范围 例3（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（    ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． ，， ∴， A． 3-1估计+1的值，应在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3-2估计的值在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3-3一个正方形的面积为29，则它的边长应在（     ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 3-4（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 例4若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 根据首先确定的值，则小数部分即可确定． ， ， 则． 3，． 4-1若的整数部分是，小数部分为，则 ． 4-2已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 4-3已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 4-4如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 题型五、平方根概念理解 例5（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． ，， C． 5-1（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（    ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 5-2下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 5-3（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知正数的两个平方根是和，则 ， 5-4（22-23八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 题型六、求一个数的平方根 例6（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）的平方根是 ． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据平方根的定义解答即可． 的平方根是， ． 6-1（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 6-2下列正确的是（     ） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是4的平方根，即 6-3的平方根是 ． 6-4（24-25八年级上·河北沧州·期中）若m、n满足，则的平方根是 ． 题型七、求代数式的平方根 例7若，求的平方根是 ． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 7-1（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是5，的平方根是是的整数部分，求的平方根． 7-2已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 题型八、已知一个数的平方根，求这个数 例8（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）平方根是的数是 ． 本题考查了平方根的定义，根据平方根结合有理数的乘方即可求解． 由题意得：，平方根是的数是， ． 8-1（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则 ． 8-2（24-25八年级上·山东威海·期末）若一个正数a的平方根分别是与，则a的值为 ． 8-3（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 例1 的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的平方根是． 故选：B． 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，（    ） A．1 B． C．0 D．2024 3．[跨学科]（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（    ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 4．若与是同类项，则的平方根为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（    ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 6．（24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 7．若实数、满足，则的平方根为 ． 8．[新趋势]（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 （写出一个答案即可）．    9．[分类讨论]（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 10．[文化背景]（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 11．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． 12．[动点问题]（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 13．[新视角·实践操作]（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3） 小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 14．[新趋势]阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10.1 平方根 1.理解平方根、算术平方根、立方根的概念及性质,会用根号表示非负数的平方根、算术平方根以及一个数的立方根（重点） 2.了解开平方、开立方的意义,了解乘方与相应的开方互为逆运算，会用平方运算求非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根（重点） 3.会用计算器求非负数的平方根和一个数的立方根（重点） 1.平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根. 2．平方根的表示 若 ，则叫做的平方根，记作，其中2为根指数，通常省略不写，即记作 读作＂正负根号＂，其中称为被开方数。 平方根的定义中是非负数，即. （24-25八年级上·河北唐山·期中）4的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．根据平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：， 的平方根是； 故选：C． （24-25八年级上·江西吉安·期末）下列各数中，没有平方根的是（   ） A．4 B．－4 C．0 D．2 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义的理解和应用，根据平方根的定义可知只有非负数才有平方根，由此进行判断即可． 【详解】解：∵正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根， ∴没有平方根． 故选：B 1.平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们互为相反数 （2）0的平方根是0 （3）负数没有平方根 判断一个数是否有平方根，就是判断这个数是正数、负数还是0.如果一个数有平方根，那么这个数一定是非负数。 1.算术平方根 正数的正的平方根，叫做的算术平方根 规定：0的算术平方根是0. 表示方法：正数的算术平方根记为，读作＂根号＂，叫做被开方数。 （1）算术平方根 具有双重非负性：被开方数是非负数，即；算术平方根 是非负数，即 ． （2）算术平方根是它，本身的数只有0和1． 1.任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数。 2.平方根与算术平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义不同 正数的正的平方根叫做的算术平方根 如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根 个数不同 一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数的算术平方根表示为 非负数的平方根表示为 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是0 3.开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方 1.平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，而开平方的结果叫做平方根. 2.两个重要公式： （1） ； （2） 区别 运算顺序不同 先开方再求平方 先求平方再开方 的取值 范围不同 任意数 联系 （24-25八年级上·贵州毕节·期末）49的算术平方根是 ． 【答案】7 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是7， 故答案为：7． （24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质得出，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 题型一、求一个数的算术平方根 例1的平方根是 ． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义 计算即可得到答案． ，的平方根是， ． 1-1计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 1-2（24-25八年级上·四川成都·期末）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根与算术平方根的计算，解题的关键是明确平方根和算术平方根的定义． 根据平方根和算术平方根的定义，对每个选项逐一进行计算判断． 【详解】A、因为，所以，该选项错误； B、是一个无理数，，该选项错误； C、表示4的算术平方根，算术平方根是非负的，因为，所以，该选项错误； D、先计算，则，而表示9的算术平方根，因为，所以，该选项正确． 故选：D． 1-3（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图为一个数值转换器，当输入的x值为 后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】625 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为625后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：625． 题型二、利用算术平方根的 非负性解题 例2（24-25八年级上·广西来宾·期末）若实数、y、z满足，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C． D．4 本题主要考查非负性的运用，算术平方根．根据非负数的性质列方程求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算，再根据算术平方根的定义解答． 由题意得，， 解得， 所以，， 所以，的算术平方根是． D． 2-1（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）若实数，满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了非负数的性质以及代数式求值．根据非负数的性质，可知，，，求解并代入求值即可． 【详解】解：根据题意，， ∵，， ∴，， 解得 ，， ∴． 故选：B． 2-2（24-25八年级上·云南昭通·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，三角形的三边关系，先根据，得，结合实数a，b，c分别表示的三条边，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即， 故选：C 2-3已知实数a，b，满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，算术平方根以及偶次幂的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键．根据偶次方以及术平方根的非负性得出，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 题型三、估计算术平方根的取值范围 例3（24-25八年级上·山东青岛·期中）估算的大小应在（   ） A．9.0-9.5之间 B．9.5-10之间 C．8.0-8.5之间 D．8.5-9之间 本题考查估算无理数的大小．由，，根据算术平方根的定义可得答案． ，， ∴， A． 3-1估计+1的值，应在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、估计算术平方根的取值范围 【分析】根据≈2.236，可得答案． 【详解】解：∵≈2.236， ∴+1≈3.236， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，关键是要掌握用有理数逼近无理数，求无理数近似值的方法，还要牢记1至10整数的平方． 3-2估计的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 故选：C． 3-3一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题． 【详解】解：∵正方形的面积为29， ∴它的边长为， 而＜＜， 5＜＜6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 3-4（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 题型四、求算术平方根的整数部分和小数部分 例4若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 根据首先确定的值，则小数部分即可确定． ， ， 则． 3，． 4-1若的整数部分是，小数部分为，则 ． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据算术平方根的定义由得到，则，，然后计算． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 4-2已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 4-3已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根、算术平方根的实际应用、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 4-4如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【知识点】算术平方根的实际应用、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 题型五、平方根概念理解 例5（24-25八年级上·山西晋中·期中）“的平方根是”用数学式子表示为（   ） A． B． C． D． 本题主要考查平方根的知识，掌握平方根的表示方法是解题的关键． 正数的平方根用表示，一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，即可得到“的平方根是”用数学式子的表示形式． ，， C． 5-1（24-25八年级上·江苏泰州·期中）在下列结论中，正确的是（   ） A． B．是的平方根 C．一定没有平方根 D．的算术平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键． 根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、是的平方根，故此选项正确，符合题意； C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意； D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 5-2下列说法：①36的平方根是6；②的平方根是；③；④是的平方根；⑤的平方根是4；⑥81的算术平方根是，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题运用了平方根和算术平方根，解题的关键是准确应用性质．利用平方根和算术平方根的定义可求解． 【详解】解：①36的平方根是，故①错误； ②9的平方根是，没有平方根，故②错误； ③，故③错误； ④是的一个平方根，故④错误； ⑤，的平方根是，故⑤错误； ⑥81的算术平方根是9，故⑥错误； 综上分析可知：正确的为0个． 故选：A． 5-3（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知正数的两个平方根是和，则 ， 【答案】－3 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的性质．正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质回答即可． 【详解】解：正数的两个平方根是和， ， 解得，， 故答案为：． 5-4（22-23八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根为，的算术平方根为7． (1)求a、b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握平方根、算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义即可得出a、b的值； （2）先求出的值，再求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为，的算术平方根为7， ∴，， ∴，； （2）解：， ∴的算术平方根为． 题型六、求一个数的平方根 例6（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）的平方根是 ． 本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 根据平方根的定义解答即可． 的平方根是， ． 6-1（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：． 6-2下列正确的是（    ） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是4的平方根，即 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 6-3的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方根，根据算术平方根和平方根的计算方法进行计算即可得出答案．熟练掌握算术平方根和平方根的计算方法进行求解是解决本题的关键． 【详解】解：， 的平方根是． 故答案为：． 6-4（24-25八年级上·河北沧州·期中）若m、n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及算术平方根以及平方根的定义，根据非负数的性质求出m，n的值，然后求出的值，再求平方根即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴4的平方根是． 故答案为：． 题型七、求代数式的平方根 例7若，求的平方根是 ． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 7-1（22-23八年级上·陕西咸阳·期末）已知的算术平方根是5，的平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知一个数的平方根，求这个数、求代数式的平方根、求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由无理数的估算确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的算术平方根是5， ， 解得． 又的平方根是， ， 解得． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 【点睛】题目主要考查算术平方根及平方根，无理数的估算，求代数式的值，熟练掌握这些基本运算是解题关键． 7-2已知的算术平方根是3，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求代数式的平方根、求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的算术平方根 【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于、的方程组求得、的值，然后估算出的大小，可求得的值，接下来，求得的值，最后求它的平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ，． ， ． ． ． 的平方根是． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算算术平方根的整数部分，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 题型八、已知一个数的平方根，求这个数 例8（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）平方根是的数是 ． 本题考查了平方根的定义，根据平方根结合有理数的乘方即可求解． 由题意得：，平方根是的数是， ． 8-1（24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则 ． 【答案】400 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了正数的平方根．熟练掌握正数的平方根的特征是解决此类问题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程，求出m，即可求出x值 ． 【详解】解：∵正数x的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为400． 8-2（24-25八年级上·山东威海·期末）若一个正数a的平方根分别是与，则a的值为 ． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．利用一个正数的两个平方根互为相反数可得到，可求得，再由平方根的定义可求得的值． 【详解】解：由正数的两个平方根互为相反数可得 解得， 所以， 所以． 故答案为：16． 8-3（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， ∴， 故答案为：． 例1 的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴的平方根是． 故选：B． 1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，对于两个实数a、b，满足，若 a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若，（   ） A．1 B． C．0 D．2024 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0，那么这几个非负数分别为0是本题解题关键． 根据平方和算术平方根的非负性得出和的值，即可得出的值． 【详解】解：，，， ，， 解得：，； ； 故答案选：A． 3．[跨学科]（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量E的值在（   ） A．3和4之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．6和7之间 【答案】B 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在5和6之间． 故选：B． 4．若与是同类项，则的平方根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的平方根、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查了同类项的定义和平方根的定义，解题的关键是熟练掌握同类项的定义和平方根的定义．根据同类项的定义即可求出，的值，最后代入求平方根即可． 【详解】解：与是同类项， ，， ， 的平方根为， 故选：D． 5．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 6．（24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】9 【知识点】平方根概念理解、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的方程可求得a的值，然后确定一个平方根，最后确定这个数即可． 【详解】解：∵某数的两个平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是． 故答案为：9． 7．若实数、满足，则的平方根为 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根非负性的应用，平方根的计算方法，根据算术平方根的非负性求出的值是解本题的关键． 根据算术平方根的非负性求出的值，然后计算平方根即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 则的平方根为 故答案为：． 8．[新趋势]（2024·广东深圳·中考真题）如图所示，四边形，，均为正方形，且，，则正方形的边长可以是 （写出一个答案即可）．    【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，由题意可得，，结合图形得出，即可得解，熟练掌握正方形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴正方形的边长可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 9．[分类讨论]（24-25八年级上·重庆·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数 （是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值 ． 【答案】 是 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 10．[文化背景]（24-25八年级上·山西晋城·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 11．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵  即：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键． 12．[动点问题]（24-25八年级上·贵州毕节·期中）如图，点A表示的实数为，点A沿数轴向右移动了2个单位长度到达点B，设点B表示的实数为m． (1)实数m的值为_________； (2)求的值； (3)若数轴上的C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、求一个数的平方根 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知，则可得出，，再利用绝对值的性质化简绝对值号，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出，，或，．的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解： （2）解：因为，则，， 所以 （3）解：因为与互为相反数， 所以， 所以，， 解得，，或，． ①当，时，， 所以无平方根． ③当，时，， 所以的平方根为． 综上，的平方根为． 【点睛】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13．[新视角·实践操作]（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为______，大正方形的边长为______，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为______． 【知识迁移】 （2）爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为3和2的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为______；大正方形的面积为______；长方形的对角线长为______． 【拓展延伸】 （3）小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 【答案】（1）2；；；（2）1；13；；（3）小思说得对，小明说得不对，理由见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握正方形和长方形的面积计算方法以及算术平方根． （1）根据大正方形的面积个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设截出的长方形纸片的长为，宽为，则，计算即可解答． 【详解】解：（1）由题意得：所得到的大正方形面积为，边长为；这个大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为； （2）由题意得：所得到的小正方形的边长为：；大正方形的面积为：；长方形的对角线长为； （3）小思说得对，小明说得不对，理由如下： 设截出的长方形纸片的长为，宽为， 则， ∴（负值舍去）， ∴截出的长方形纸片的长为， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 14．[新趋势]阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①∵，即，∴的整数部分为，小数部分为．②∵，即，∴的整数部分为，小数部分为． 请解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】1 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据题中的例子求出a，b，再代入计算即可． 【详解】∵，即， ∴的整数部分为3，小数部分为，即 ∵，即， ∴的整数部分为4，即b=4． ∴， 即的值是1． 【点睛】本题考查与算术平方根的整数部分有关的计算，掌握确定无理数的估算方法是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$