专题05 不等式与不等式组（5个经典基础题型＋6个优选提升题型）（天津专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 不等式与不等式组 不等式的基本性质 1. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）若，有，则的值（    ） A． B． C． D．任意有理数 2. （23-24七年级下·天津·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津河西·期末）已知实数a，b，且，则下列结论不一定成立的为（   ） A． B． C． D． 4. （24-25七年级下·天津西青·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5. （23-24七年级下·天津南开·期末）若，则下列四个不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6. （22-23七年级下·天津·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D．a为任何实数 7. （23-24七年级下·天津和平·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8. （22-23七年级下·天津·期末）若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 数轴表示解集 1. （23-24七年级下·天津河北·期末）关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津河西·期末）不等式的解集在数轴上表示如下，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   3. （21-22七年级下·天津津南·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4. （21-22七年级下·天津河西·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 解不等式（组） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 2. （24-25七年级下·天津西青·期末）计算： (1)解不等式：； (2)解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． ①解不等式①，得_______； ②解不等式②，得_______； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为______． 3. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    4. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得__________， (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为__________． 5. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）解不等式：， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 6. （23-24七年级下·天津·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 7. （23-24七年级下·天津河北·期末）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 8. （23-24七年级下·天津河东·期末）解不等式组请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）． 解：（Ⅰ）解不等式①，得___________． （Ⅱ）解不等式②，得___________． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （Ⅳ）所以原不等式组解集为___________． 9. （23-24七年级下·天津南开·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________________； (2)解不等式②，得_________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为__________． 10. （22-23七年级下·天津南开·期末）解不等式相． 请结合题意填空，完成本题的解答 (1)解不等式①，得_______________． (2)解不等式②，得_______________； (3)把不等式①，②解集在数轴上表示出来；    ∴原不等式组的解集为_____________________． 11. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______________； (2)解不等式②，得_______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；    (4)原不等式组的解集为_______________． 12. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 13. （22-23七年级下·天津河北·期末）解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4) 原不等式组的解集为__________． 14. （22-23七年级下·天津北辰·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    15. （22-23七年级下·天津西青·期末）计算 (1)解不等式：； (2)解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答 ①解不等式（2）中的①，得____________； ②解不等式（2）中的②，得____________； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；    ④原不等式组的解集为__________________． 16. （23-24七年级下·天津·期末）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 17. （22-23七年级下·天津·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为______． 列不等式 1. （23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津蓟州·期末）已知点在x轴的负半轴上，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. （23-24七年级下·天津·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4. （23-24七年级下·天津·期末）已知x的3倍与2的和不大于，用不等式表示为 ． 5. （22-23七年级下·天津东丽·期末）4x与7的差不小于6用式子表示为 ． 6. （22-23七年级下·天津河北·期末）点在第四象限，那么的取值范围是 ． 不等式解实际问题 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分；如果每人分7本，还多9本，则小朋友人数最少有（   ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为（     ） A．元 B．元 C．2元 D．元 3. （23-24七年级下·天津南开·期末）把一些书分给几名同学，如果①_________；如果每人分11本，则②________，若依题意，设有名同学，则可列不等式，那么①，②两处横线的信息可以是（   ） A．①每人分9本，多分7个人，②不够分 B．①每人分9本，则剩余7本，②剩余 C．①每人分7本，则可多分9个人，②有剩余 D．①每人分7本，剩余9本，②不够分 4. （22-23七年级下·天津西青·期末）某超市推出一种购物卡，凭卡在该超市购物均可按商品标价的九折优惠，但每张卡收元购卡费，若办理此卡购物比不办卡购物合算，则需按标价累计购物金额超过（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5. （23-24七年级下·天津·期末）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ． 6. （23-24七年级下·天津河西·期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了5小时，从B地匀速返回A地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度v应满足的条件为 ． 7. （23-24七年级下·天津河西·期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口． 8. （22-23七年级下·天津·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． (1)求每副象棋和围棋的价格； (2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3225元，则最多能购买多少副围棋？ 9. （23-24七年级下·天津·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元． (1)求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？ (2)若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？ 一元一次不等式实际应用（销售问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）“倡全民阅读  建书香中国”，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的阅读需求，学校图书馆准备到某书店采购文学类和百科类两种图书，经沟通，购买2本文学类和4本百科类图书共需156元，1本文学类比1本百科类多18元（注：所采购的文学类图书单价相同，所采购的百科类书单价相同）． (1)求每本文学类书和每本百科类书的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设购买1本文学类书需要x元，购买1本百科类书需要y元，根据题目中的数量关系，列方程组 解这个方程组，得 答：________________________________________________________________． (2)若学校计划购买百科类图书比文学类图书多20本，总资金不超过4200元，则最多可购买文学类书多少本？ 2. （22-23七年级下·天津·期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格﹣进货价格） (1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决） (2)商场推出两种优惠套餐供顾客选择： 套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售； 套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售． 现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？ 3. （22-23七年级下·天津·期末）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元． (1)求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种文具共120个，并且投入资金不多于1000元，则最多可购买多少个笔记本？ 4. （22-23七年级下·天津河西·期末）年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．小明想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元，购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价； (2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共个，要求购买的总费用不超过元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？ 5. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）某社区开展“美丽社区”活动，积极推进垃圾分类工作，计划购买、两种类型垃圾桶，已知购买个型垃圾桶的费用与购买个型垃圾桶的费用相同，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共用元．请解答下列问题： (1)求出型垃圾桶和型垃圾桶的单价； (2)社区现需一次性购买上述两种类型垃圾桶共个，要求购买的费用不超过元则最多可购买多少个型垃圾桶？ 6. （21-22七年级下·天津·期末）某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲商品进货价为每件70元，乙商品进货价为每件35元，在定价销售时，1件甲商品比1件乙商品售价多30元，3件甲商品比2件乙商品售价多150元． (1)每件甲商品与每件乙商品的售价分别是多少元？ (2)若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲商品多少件？ 一元一次不等式实际应用（方案问题） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元．针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折．小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元． (1)求m、n的值； (2)这个暑假，小明计划游泳不少于 25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程； (3)小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳，一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了 2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？ 2. （22-23七年级下·天津东丽·期末）卫生防疫站准备购买甲、乙两种型号的消毒器，通过市场调研得知：购买个甲型消毒器和个乙型消毒器共需元，购买个甲型消毒器比购买个乙型消毒器少用元． (1)甲、乙两种型号的消毒器的单价各是多少元？ (2)防疫站准备购买两种型号的消毒器共个，所用资金不超过元，请你设计几种购买方案供防疫站选择（两种型号的消毒器都必须购买）． 3. （23-24七年级下·天津·期末）为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 4. （23-24七年级下·天津南开·期末）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了1000亩土地，计划对其进行平整，经投标，由甲，乙两个工程队来完成平整任务，甲工程队每天可平整土地30亩，乙工程队每天可平整土地25亩，已知甲乙两工程队每天的工程费合计为4200元，而且甲工程队11天所需工程费与乙工程队10天所需工程费刚好相同． (1)甲乙两工程队每天各需工程费多少元？ (2)现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过万元．写出费用最少时，甲工程队工作 天，乙工程队工作 天，最低费用为 ． 5. （20-21七年级下·天津·期末）列方程组或不等式解决实际问题： 某汽车公司向红十字会捐赠，两种型号的新能源汽车，第一次捐赠2辆型车和2辆型车，价值50万元；第二次捐赠4辆型车和3辆型车，价值85万元．设型车的单价为万元，型车的单价为万元． （1）根据题意，填写下表： 型车的价值（万元） 型车的价值（万元） 总价值（万元） 第一次捐赠 50 第二次捐赠 85 （2）求型车和型车的单价各为多少万元． （3）该公司若准备再次捐赠，两种型号的新能源汽车共8辆，且价值不多于100万元，那么型号汽车的应不少于______辆． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）为了丰富学生的课余生活，某校计划购买足球和篮球给同学们活动使用，若购买1个足球和2个篮球需用220元；若购买2个足球和3个篮球需用370元． (1)求购买一个足球和一个篮球各多少元？ (2)设购买篮球a个，需要购买足球和篮球一共45个，要求购买足球的数量不低于篮球数量的1.4倍，且购买的总费用不超过3430元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 7. （23-24七年级下·天津·期末） 设计最优订餐方案 素材一： 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份． 素材二： 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元． 素材三： 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费． 问题解决 任务一： 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？ 任务二： 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？ 任务三： 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？ 根据不等式组的解集确定参数 1. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. （22-23七年级下·天津北辰·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）不等式组的解集是，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. （21-22七年级下·天津和平·期末）若不等式组的解集为，关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. （21-22七年级下·天津·期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. （22-23七年级下·天津·期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. （22-23七年级下·天津东丽·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于的不等式的解集是，则m的取值范围是 . 9. （23-24七年级下·天津·期末）已知不等式组的解集为，则 ， ； 10. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）（b﹣1）的值为 ． 11. （23-24七年级下·天津·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 12. （21-22七年级下·天津和平·期末）不等式组无解，求的取值范围 ． 不等式整数解问题 1. （22-23七年级下·天津·期末）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2. （23-24七年级下·天津·期末）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3. （21-22七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解为，，，，若在第二象限，那么满足上述条件的整数、组成的点的坐标有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 4. （20-21七年级下·天津河北·期末）若关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．1 C．7 D．8 5. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 7. （23-24七年级下·天津·期末）对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （23-24七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中．若点在第二象限，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 9. （19-20七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 10. （23-24七年级下·天津·期末）已知，，，记，且关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 ． 11. （22-23七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有五个整数解为，，，，，若在第四象限，那么满足上述条件的整数，组成的点的坐标共有 个． 12. （23-24七年级下·天津河东·期末）若关于x的不等式组的解集中只有3个整数解，则m的取值范围为 ． 不等式组与方程组综合解答题 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程满足方程组， (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 2. （22-23七年级下·天津·期末）已知方程组的解x为正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简； (3)在a的取值范围内，且关于z的不等式的解集是，求关于t的不等式的解集． 3. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）若点的坐标满足方程组． (1)求点的坐标（用含的式子表示，）； (2)若点在第二象限，求的取值范围； (3)若点在第一象限，且，则满足条件的整数有几个？ 4. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）化简：； （3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式的解集为． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 6. （23-24七年级下·天津·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵， ∴，即 又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的一元一次方程的解为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； (3)已知（的常数），且，求的取值范围．（用含m的代数式表示） 7. （22-23七年级下·天津和平·期末）已知关于、的方程组的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 不等式（组）与几何问题 1. （23-24七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． (1)判断点A在第几象限，说明理由． (2)求点B的坐标． (3)有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）如图，三角形AOB在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2 , 4），（6 , 2），O是坐标原点． (1)如图1，若把三角形AOB向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，顶点A、O、B的对应点分别是A′、O′、B′，则A′、O′、B′三个点的坐标分别是多少？ (2)求三角形AOB的面积； (3)如图2，x轴上一动点P，从点（－3 , 0）运动到点（2 , 0），连接PA和PB，求三角形APB面积的取值范围． 3. （22-23七年级下·天津·期末）在平面直角坐标系中，，，四边形是长方形．若点P从点C以2单位长度/秒的速度沿方向移动，同时点Q从点O以1单位长度/秒的速度沿方向移动，设移动的时间为t秒（），与的面积分别记为，．    (1)_________；________；（用含t的式子表示） (2)是否存在某个时间，使，若存在，求出t的取值范围，若不存在，试说明理由． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 5. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止． （Ⅰ）直接写出三个点的坐标； （Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积； （Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围． 6. （23-24七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且，满足．将线段沿轴向右平移得到线段，平移后点，的对应点分别为，，且点．记为，为． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)①如图1，当点在线段（不包含线段的端点，）上时，直接写出：__________（度）； ②如图2．连接，，当三角形的面积为时，求的值，并求出此时与的数量关系； (3)作直线，在直线上有动点（点不与重合），点的横坐标为，连接，．若三角形的面积不大于，直接写出的取值范围． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 不等式与不等式组 不等式的基本性质 1. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）若，有，则的值（    ） A． B． C． D．任意有理数 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．根据“不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号改变方向”，即可求解． 【详解】解：若，有， ， 故选：A． 2. （23-24七年级下·天津·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的性质2、不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3、不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、， ，故本选项成立； B、∵， ，故本选项不成立；     C、∵， ，故本选项不成立；     D、∵， ，故本选项不成立．     故选：A． 3. （23-24七年级下·天津河西·期末）已知实数a，b，且，则下列结论不一定成立的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．∵，∴，故该选项不符合题意； B．∵，∴，故该选项不符合题意； C．∵，∴，故该选项不符合题意； D．若，满足，但，故该选项一定成立，故符合题意； 故选：D． 4. （24-25七年级下·天津西青·期末）如果，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握不等式的性质，是解题的关键． 【详解】解：∵，∴；故A选项不成立，不符合题意； ∵，∴；故B选项不成立，不符合题意； ∵，∴；故C选项成立，符合题意； ∵，∴；故D选项不成立，不符合题意； 故选C． 5. （23-24七年级下·天津南开·期末）若，则下列四个不等式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一分析即可．注意不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等式要变号． 【详解】解：若，则，原不等式错误，选项A符合题意； 若，则，正确，选项B不符合题意； 若，则，正确，选项C不符合题意； 若，则，正确，选项D不符合题意； 故选：A． 6. （22-23七年级下·天津·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D．a为任何实数 【答案】B 【分析】直接根据不等式的基本性质3：不等号的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号改变，进行作答即可． 【详解】∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. （23-24七年级下·天津和平·期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查不等式的基本性质，首先根据题意，判定的关系，再逐一根据不等式的性质判定各选项的不等式即可． 【详解】解：由题意，得 A选项，∵， ∴；不符合题意； B选项，∵， ∴，符合题意； C选项，∵，， ∴，不符合题意； D选项，∵， ∴；不符合题意； 故选：B． 8. （22-23七年级下·天津·期末）若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵，且 ∴， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的性质3，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 数轴表示解集 1. （23-24七年级下·天津河北·期末）关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，不等式的解集为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式的解集为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 2. （22-23七年级下·天津河西·期末）不等式的解集在数轴上表示如下，正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ， 不等式的解集在数轴上表示时，应在处画实心圆点，并且向左画， 故选：． 【点睛】本题考查了不等式的求解，在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法，在数轴上表示时实心圆点还是空心圆点的区分是解答本题的关键． 3. （21-22七年级下·天津津南·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：解不等式，得：， 将不等式解集表示在数轴上如下： 故选：B． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解本题的关键． 4. （21-22七年级下·天津河西·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示其解集． 【详解】解：解不等式， 得， 在数轴上表示为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的求解． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，求得不等式组的解集成为解题的关键. 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可. 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为 在数轴上表示如下： . 故选D. 解不等式（组） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组．分别解出两个一元一次不等式的解集，然后确定两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解①式得：， 解②式得：， ∴不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图， ． 2. （24-25七年级下·天津西青·期末）计算： (1)解不等式：； (2)解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． ①解不等式①，得_______； ②解不等式②，得_______； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2)①；② ；③见解析； ④ 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为“1”，即可得到答案； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再利用数轴确定解集的公共部分，从而可得答案． 【详解】（1）解： 移项可得： 解得： （2） ①解不等式①，得； ②解不等式②，得 ； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ④原不等式组的解集为． 3. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，见解析 【分析】利用不等式的性质解不等式即可． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 不等式的解集在数轴上表示如下：    【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 4. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答： (1)解不等式①，得__________， (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）先去括号，再移项合并，最后化系数为1，即可求解； （2）先去分母，再移项合并，最后化系数为1，即可求解； （3）根据（1）（2）得出的解集，画出数轴即可； （4）根据数轴，写出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ； 故答案 ：； （3）解：数轴如图所示：    （4）解：由数轴可知：原不等式组的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 5. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）解不等式：， 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法． （1）根据去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解； （2）根据去分母、合并同类项、化系数为1，即可求解； （3）根据（1）（2）的解集在数轴上表示即可得到答案； （4）根据（3）直接写出公共部分即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式①： ， ， ， 故答案为：； （2）解：不等式②： ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： （4）解：由（3）知，原不等式的解集为：， 故答案为：． 6. （23-24七年级下·天津·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见详解 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （2）根据不等式求解方法求出不等式的解集； （3）根据（1）（2）在数轴上表示即可； （4）根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：解不等式：①， 移项得：， 合并同类项得：； 故答案为：； （2）解：解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：； 系数化为一得：； 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 7. （23-24七年级下·天津河北·期末）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答． （Ⅰ）解不等式①，得______； （Ⅱ）解不等式②，得______； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为______． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．分别求解两个不等式，然后表示在数轴上，得到不等式组的解集． 【详解】解： （Ⅰ）解不等式①，得； （Ⅱ）解不等式②，得； （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （Ⅳ）原不等式组的解集为． 8. （23-24七年级下·天津河东·期末）解不等式组请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）． 解：（Ⅰ）解不等式①，得___________． （Ⅱ）解不等式②，得___________． （Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来． （Ⅳ）所以原不等式组解集为___________． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析；（Ⅳ） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．根据题意分别解出不等式①、②，并在数轴上表示出来即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：（Ⅰ） 故答案为：； （Ⅱ） 故答案为：； （Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知， 如图所示，即为所求： （Ⅳ）根据（Ⅲ）可知，原不等式组的解集为， 故答案为：． 9. （23-24七年级下·天津南开·期末）解不等式组： 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_________________； (2)解不等式②，得_________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3)在数轴上表示见解析， 【分析】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，掌握解不等式成为解题的关键． （1）直接解不等式①求得解集即可； （2）直接解不等式②求得解集即可； （3）先把①和②的解集在数轴上表示出来，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①可得：． 故答案为：． （2）解：解不等式②可得：． 故答案为：． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示如下: 所以该不等式组的解集为：． 故答案为：． 10. （22-23七年级下·天津南开·期末）解不等式相． 请结合题意填空，完成本题的解答 (1)解不等式①，得_______________． (2)解不等式②，得_______________； (3)把不等式①，②解集在数轴上表示出来；    ∴原不等式组的解集为_____________________． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【分析】（1）解不等式①，求出不等式的解集即可； （2）解不等式②，求出不等式的解集即可； （3）将解集在数轴上表示出来，确定公共部分，即可得出结论． 【详解】（1）解不等式①，得； 故答案为：； （2）解不等式②，得：； 故答案为：； （3）把不等式①，②解集在数轴上表示出来如图：    ∴原不等式组的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查求不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 11. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得_______________； (2)解不等式②，得_______________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；    (4)原不等式组的解集为_______________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】按步骤求解作答即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 移项合并得，， 系数化为1得，， 故答案为：； （2）解：， 移项合并得，， 系数化为1得，， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示解集如下：    （4）解：由题意得，不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的运算． 12. （22-23七年级下·天津红桥·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】不等式组的解集为：，不等式组的整数解为：0，1，2，3 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其整数解即可． 【详解】 解不等式①得，解得， 解不等式②得，解得， 故不等式组的解集为：， 不等式组的整数解为：0，1，2，3． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 13. （22-23七年级下·天津河北·期末）解不等式组 请结合解题过程，完成本题的解答． (1)解不等式①，得__________； (2)解不等式②，得__________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为__________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （3）根据（1）（2）求得的不等式的解集在数轴上表示出来即可； （4）根据（1）（2）求得的不等式的解集取公共部分即可求解． 【详解】（1）解不等式①，去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解不等式②，去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）由以上可得，原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 14. （22-23七年级下·天津北辰·期末）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．    【答案】；数轴见解析 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 把解集表示在数轴上，如图所示：    【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 15. （22-23七年级下·天津西青·期末）计算 (1)解不等式：； (2)解不等式组． 请结合题意填空，完成本题的解答 ①解不等式（2）中的①，得____________； ②解不等式（2）中的②，得____________； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；    ④原不等式组的解集为__________________． 【答案】(1) (2)①，②，③数轴见解析；④． 【分析】（1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式； （2）分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【详解】（1）解：， 移项得，， 合并同类项，， 化系数为1，； （2） ①解不等式①，得； ②解不等式②，得； ③把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；    ④原不等式组的解集为 故答案为：，，． 16. （23-24七年级下·天津·期末）解不等式组，请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得______________， (2)解不等式②，得______________， (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______________． 【答案】(1) (2) (3)图见详解 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： 解得：， 故答案为：． （3）解：不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）解： 由①得： 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 故答案为：． 17. （22-23七年级下·天津·期末）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)画图见解析 (4) 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）在数轴上利用大于向右，小于向左，结合实心点，表示不等式的解集即可； （4）利用数轴确定不等式的解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得 ， ∴， ∴， （2）解不等式②，得 ， ∴； （3）在数轴上表示两个不等式的解集如下： （4）原不等式组的解集为． 列不等式 1. （23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次不等式的求解，根据四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，求解x的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 故选：A． 2. （22-23七年级下·天津蓟州·期末）已知点在x轴的负半轴上，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特点，不等式的性质，根据点在x轴的负半轴上得到，从而可判断点M的横纵坐标的符号，即可解答． 【详解】解：∵在x轴的负半轴上， ∴， ∴，， ∴点在第一象限． 故选：A 3. （23-24七年级下·天津·期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，的取值范围是． 故选：C． 4. （23-24七年级下·天津·期末）已知x的3倍与2的和不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次不等式，关键是抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解：已知x的3倍与2的和不大于， 用不等式表示为． 故答案为：． 5. （22-23七年级下·天津东丽·期末）4x与7的差不小于6用式子表示为 ． 【答案】 【分析】直接根据题意列出不等式即可． 【详解】解：4x与7的差不小于6用式子表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查列不等式，解答的关键是理解语句表述，熟悉表示不等式的常用词语，比如“不超过”、“至少”、“不小于”、“不大于”等等． 6. （22-23七年级下·天津河北·期末）点在第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点所在的象限、一元一次不等式组的应用，熟练掌握平面直角坐标系中，第四象限内的点的横坐标大于0，纵坐标小于0是解题关键． 不等式解实际问题 1. （24-25七年级下·天津西青·期末）现有若干本连环画册分给小朋友，如果每人分8本，那么不够分；如果每人分7本，还多9本，则小朋友人数最少有（   ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设小朋友人数有人，根据书的数量为定值，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：设小朋友人数有人，由题意，得： ， 解得：， ∴的最小整数解为：10， 故小朋友人数最少有10人； 故选D． 2. （23-24七年级下·天津和平·期末）一种苹果的进价是每千克元，销售中估计有的苹果正常损耗，为了避免亏本，商家所定售价至少为（     ） A．元 B．元 C．2元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中估计有的苹果正常损耗，故每千克苹果损耗后的价格为，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设商家把售价应该定为每千克x元，总千克数为 根据题意得：， 解得，， ∴为了避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克2元． 故选：C． 3. （23-24七年级下·天津南开·期末）把一些书分给几名同学，如果①_________；如果每人分11本，则②________，若依题意，设有名同学，则可列不等式，那么①，②两处横线的信息可以是（   ） A．①每人分9本，多分7个人，②不够分 B．①每人分9本，则剩余7本，②剩余 C．①每人分7本，则可多分9个人，②有剩余 D．①每人分7本，剩余9本，②不够分 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据实际问题列不等式，解决问题的关键是熟练掌握不等式表示的实际意义． 根据不等式表示的意义解答即可． 【详解】解：由不等式，可得： 把一些书分给几名同学，若每人分7本，则可多分9个人； 若每人分11本，则有剩余； 故选：C． 4. （22-23七年级下·天津西青·期末）某超市推出一种购物卡，凭卡在该超市购物均可按商品标价的九折优惠，但每张卡收元购卡费，若办理此卡购物比不办卡购物合算，则需按标价累计购物金额超过（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】设需按标价累计购物金额为元，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：设需按标价累计购物金额为元，依题意，得， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出一元一次不等式是解题的关键． 5. （23-24七年级下·天津·期末）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ． 【答案】 【分析】设该队至少胜x场，则平场，根据题意列不等式即可． 【详解】解：设该队至少胜x场，则平场， 由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是关键． 6. （23-24七年级下·天津河西·期末）一艘轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地用了5小时，从B地匀速返回A地用了不到6小时．已知这段时间内，江水的流速为，轮船在静水里的往返速度不变．那么在上述情况下，轮船的速度v应满足的条件为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，得出不等关系列出不等式，根据从B地匀速返回A地用了不到6小时列出不等式求解即可． 【详解】解：由顺流速度=静水速度水流速度， 得轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地的速度为， 则轮船从某江上游的A地匀速驶到下游的B地的距离为． 由逆流速度静水速度水流速度， 得轮船从B地匀速返回A地的速度为， 则轮船从B地匀速返回A地的时间为：， 根据题意，得， 由，解不等式组： ， 解得：， 故v应满足的条件为． 故答案为：． 7. （23-24七年级下·天津河西·期末）某高铁站客流量很大，某天开始售票时有个人在售票窗口等候购票，设购票人数按固定的速度增加，且每个窗口每分钟减少的排队人数也是固定的．若同时开放4个售票窗口，需要30分钟恰好不出现排队现象（即排队的人全部刚好购完票）；若同时开放6个售票窗口，需要10分钟恰好不出现排队现象，为减少旅客排队购票时间，车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放 个售票窗口． 【答案】8 【分析】设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，根据题意列方程组得到n与x及y与x的关系式，进而可得7分钟后不排队的现象，可得不等式解决问题． 【详解】解：设每分钟增加的购票人数为x，每个窗口每分钟减少的排队人数为y，车站同时开放m个售票窗口，由题意得 ， 解得， ∵要使7分钟内不出现排队现象，则7my≥n+7x， ∵x>0， ∴将代入，得， ∵m是正整数， ∴m≥8， ∴车站承诺7分钟内不出现排队现象，则至少需要同时开放8个售票窗口， 故答案为：8． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． 8. （22-23七年级下·天津·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元． (1)求每副象棋和围棋的价格； (2)若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3225元，则最多能购买多少副围棋？ 【答案】(1)每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元 (2)最多能购买45副围棋 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，找准数量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键． （1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元，根据购买3副象棋和2副围棋共需160元，购买2副象棋和3副围棋共需165元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买m副围棋，则购买副象棋，根据总费用不超过3225元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元． 依题意得，解得． 答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元． （2）设购买m副围棋，则购买副象棋． 依题意得：，解得． 答：最多能购买45副围棋． 9. （23-24七年级下·天津·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元． (1)求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？ (2)若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？ 【答案】(1)每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元． (2)最少能购买A型汽车11辆 【分析】（1）设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据总费用不超过220万元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元． 根据题意， 解得：， 答：每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元． （2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆． 根据题意， 解得， ∵m取正整数， ∴m最小取11， 答：最少能购买A型汽车11辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键． 一元一次不等式实际应用（销售问题） 1. （23-24七年级下·天津·期末）“倡全民阅读  建书香中国”，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的阅读需求，学校图书馆准备到某书店采购文学类和百科类两种图书，经沟通，购买2本文学类和4本百科类图书共需156元，1本文学类比1本百科类多18元（注：所采购的文学类图书单价相同，所采购的百科类书单价相同）． (1)求每本文学类书和每本百科类书的价格各是多少元？请按如下分析写出解答过程： 解：设购买1本文学类书需要x元，购买1本百科类书需要y元，根据题目中的数量关系，列方程组 解这个方程组，得 答：________________________________________________________________． (2)若学校计划购买百科类图书比文学类图书多20本，总资金不超过4200元，则最多可购买文学类书多少本？ 【答案】(1)；；购买一本文学类书需要38元，购买一本百科类书需要20元 (2)最多可购买65本文学类书 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买1本文学类书需要x元，购买1本百科类书需要y元，根据“购买2本文学类和4本百科类图书共需156元，1本文学类比1本百科类多18元” 可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买文学类书m本，则购买百科类书本，根据“总资金不超过4200元”可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买1本文学类书需要x元，购买1本百科类书需要y元， 根据题目中的数量关系， 列方程组， 解这个方程组，得， 答：购买一本文学类书需要38元，购买一本百科类书需要20元． （2）解：设学校购买文学类书m本，则购买百科类书本． 根据题意得  ， 解得：． ∴最多可购买65本文学类书． 2. （22-23七年级下·天津·期末）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元、40元．商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．（利润＝销售价格﹣进货价格） (1)求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（列方程或方程组解决） (2)商场推出两种优惠套餐供顾客选择： 套餐一：A、B两种型号计算器均打八折出售； 套餐二：A型号计算器打九折出售，B型号计算器打七折出售． 现学校需要购买A、B两种型号计算器共420台，学校选择哪个优惠套餐购买更划算？ 【答案】(1)两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元 (2)见解析 【分析】（1）设型号的计算器的销售价格分别是元和元，根据题意列出方程组即可求解； （2）设学校购买A型号计算器台，列出不同优惠套餐的费用，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设型号的计算器的销售价格分别是元和元， 依题意得  ， 解得 ， 答：两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元； （2）解：设学校购买A型号计算器台， 若学校选套餐一购买计算器，则需支付元； 若学校选套餐二购买计算器，则需支付元； ①若选择套餐一购买更划算，则 ， 解得， ， 即学校购买A型号计算器多于240台时，选择套餐一购买更划算； ②若选择套餐二购买更划算，则 解得，， 即学校购买A型号计算器少于240台时，选择套餐二购买更划算； ③若两种套餐一样划算，则 解得，， 即学校购买A型号计算器等于240台时，选择套餐一和选择套餐二购买一样划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用和不等式的应用，解题关键是根据题目给出的数量关系列出方程组或不等式． 3. （22-23七年级下·天津·期末）为了丰富同学们的课余生活．某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元． (1)求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种文具共120个，并且投入资金不多于1000元，则最多可购买多少个笔记本？ 【答案】(1)购买一个笔记本需要15元，购买一个夹子需要5元 (2)40个 【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，购买一个夹子需要y元，根据购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元列二元一次方程组求解即可； （2）设购买笔记本m个，则购买夹子个，根据投入资金不多于1000元列一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）设购买一个笔记本需要x元，购买一个夹子需要y元， 由题意得， 解得， 答：购买一个笔记本需要15元，购买一个夹子需要5元． （2）设购买笔记本m个，则购买夹子个， 根据题意得， 解得， ∴最多可购买40个笔记本． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，列一元一次不等式解决实际问题，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 4. （22-23七年级下·天津河西·期末）年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．小明想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元，购买件“冰墩墩”和件“雪容融”共需元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”的单价； (2)学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共个，要求购买的总费用不超过元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？ 【答案】(1)一个冰墩墩元，一个雪容融元 (2)最多购买个 【分析】（1）设购买个冰墩墩需元，个雪容融需元，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买冰墩墩个，则雪容融个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买个冰墩墩需元，个雪容融需元． 由题意得， 解得：， 答：一个冰墩墩元，一个雪容融元； （2）设购买冰墩墩个，则雪容融个， 则， 解得：， 为整数， 最多购买个， 答：最多可以购买个“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题中的等量关系列出二元一次方程组，和找到数量间的关系正确列出一元一次不等式是解答本题的关键． 5. （22-23七年级下·天津滨海新·期末）某社区开展“美丽社区”活动，积极推进垃圾分类工作，计划购买、两种类型垃圾桶，已知购买个型垃圾桶的费用与购买个型垃圾桶的费用相同，购买个型垃圾桶和个型垃圾桶共用元．请解答下列问题： (1)求出型垃圾桶和型垃圾桶的单价； (2)社区现需一次性购买上述两种类型垃圾桶共个，要求购买的费用不超过元则最多可购买多少个型垃圾桶？ 【答案】(1)型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元 (2)最多可购买个型垃圾桶 【分析】（1）设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式，求得最大整数解即可求解． 【详解】（1）解：设型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元，根据题意得， 解得： 答：型垃圾桶的单价为元，型垃圾桶的单价为元； （2）解：设购买型垃圾桶个，则购买型垃圾桶个，根据题意，得 ， 解得： ， ∵为正整数， ∴取最大正整数为， 答：最多可购买个型垃圾桶． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组以及不等式是解题的关键． 6. （21-22七年级下·天津·期末）某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲商品进货价为每件70元，乙商品进货价为每件35元，在定价销售时，1件甲商品比1件乙商品售价多30元，3件甲商品比2件乙商品售价多150元． (1)每件甲商品与每件乙商品的售价分别是多少元？ (2)若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲商品多少件？ 【答案】(1)每件甲商品售价为90元，每件乙商品售价为60元 (2)至多进货甲商品40件 【分析】（1）设每件甲商品与每件乙商品的售价分别是元、元，根据“1件甲商品比1件乙商品售价多30元，3件甲商品比2件乙商品售价多150元”列出二元一次方程组求解即可； （2）设进货甲商品件，则乙商品件，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）设每件甲商品与每件乙商品的售价分别是元、元，得 解得： 答：每件甲商品售价为90元，每件乙商品售价为60元. （2）设进货甲商品件，则乙商品件，依题意得： ， 解得 因此，至多进货甲商品40件． 【点睛】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系． 一元一次不等式实际应用（方案问题） 1. （23-24七年级下·天津和平·期末）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式，常规方式：不购买会员证，每次游泳付费n元．针对学生推出购买会员证的优惠方式：先购买会员证，每张会员证m元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费在n元的基础上打七折．小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元． (1)求m、n的值； (2)这个暑假，小明计划游泳不少于 25次，他选择哪种付费方式更合算？写出计算过程； (3)小强班里有一部分同学以购买会员证的方式来这家游泳馆游泳，一周后，小强统计，这些同学购买会员证和凭证游泳共花了 2400元，请你算一算：这些同学可能有多少名？ 【答案】(1)m、n的值分别为：，； (2)当时，选择常规方式；当时，两种方式一样；当时，选择购买会员证的优惠方式； (3)这些同学可能有人或人． 【分析】（1）根据小明购买了会员证，他游泳 10次时，共花了190元．小明的三个好朋友也购买了会员证，三个人共游泳15次时，共花了465元，再建立方程组解题即可； （2）设游泳次，可得常规方式付费为：元；购买会员证的优惠方式：，再建立方程或不等式解题即可； （3）设这些同学可能有人，共游泳次，可得，再结合方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴m、n的值分别为：，； （2）解：常规方式：小明计划游泳不少于 25次，设游泳次， 付费为：元； 购买会员证的优惠方式： 当， 解得：． 当， 解得：， 当， 解得：， 综上：当时，选择常规方式； 当时，两种方式一样； 当时，选择购买会员证的优惠方式； （3）解：设这些同学可能有人，共游泳次， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或； ∴这些同学可能有人或人． 【点睛】本题考查的是一元一次方程与二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是关键． 2. （22-23七年级下·天津东丽·期末）卫生防疫站准备购买甲、乙两种型号的消毒器，通过市场调研得知：购买个甲型消毒器和个乙型消毒器共需元，购买个甲型消毒器比购买个乙型消毒器少用元． (1)甲、乙两种型号的消毒器的单价各是多少元？ (2)防疫站准备购买两种型号的消毒器共个，所用资金不超过元，请你设计几种购买方案供防疫站选择（两种型号的消毒器都必须购买）． 【答案】(1)甲型号的消毒器单价为元，乙型号的消毒器单价为元 (2)方案一：购买甲型消毒器个，购买乙型消毒器个；方案二：购买甲型消毒器个，购买乙型消毒器个 【分析】（1）设甲型号的消毒器单价为元，乙型号的消毒器单价为元，根据等量关系，列出二元一次方程组，即可求解； （2）购买甲型消毒器个，乙型消毒器个，根据不等量关系，列出一元一次不等式，进而求解． 【详解】（1）解：设甲型号的消毒器单价为元，乙型号的消毒器单价为元． 由题意得， 解得： 答：甲型号的消毒器单价为元，乙型号的消毒器单价为元； （2）购买甲型消毒器个，乙型消毒器个． 则， 解得：， 为正整数， 或， ∴购买方案为：方案一：购买甲型消毒器个，购买乙型消毒器个 方案二：购买甲型消毒器个，购买乙型消毒器个． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组以及一元一次不等式的实际应用，找出题目中的数量关系，是解题的关键． 3. （23-24七年级下·天津·期末）为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 【答案】（1）每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元；（2）10枚；（3）见解析 【分析】（1）设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元，根据3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元列出方程组，解之即可； （2）设A型纪念币采购a枚，根据用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可； （3）得到a的范围，可得共有三种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果． 【详解】解：（1）设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元， 依题意，得：， 解得：， ∴每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元； （2）设A型纪念币采购a枚， 依题意，得：5a+20（50-a）≥850， 解得：a≤10， ∴A型纪念币最多能采购10枚； （3）∵至少要购买A型纪念币8枚， ∴8≤a≤10， ∴a可以取8，9，10， ∴方案一：购买A型纪念币8枚，购买B型纪念币42枚，需要8×5+42×20=880元， 方案二：购买A型纪念币9枚，购买B型纪念币41枚，需要9×5+41×20=865元， 方案三：购买A型纪念币10枚，购买B型纪念币40枚，需要10×5+40×20=850元， ∴方案三最划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和不等式． 4. （23-24七年级下·天津南开·期末）推进农村土地集约式管理，提高土地的使用效率，是新农村建设的一项重要举措．庐江县某村在小城镇建设中集约了1000亩土地，计划对其进行平整，经投标，由甲，乙两个工程队来完成平整任务，甲工程队每天可平整土地30亩，乙工程队每天可平整土地25亩，已知甲乙两工程队每天的工程费合计为4200元，而且甲工程队11天所需工程费与乙工程队10天所需工程费刚好相同． (1)甲乙两工程队每天各需工程费多少元？ (2)现由甲乙两工人队共同参与土地平整，已知两个工程队工作天数均为正整数，且所有土地刚好平整完，总费用不超过万元．写出费用最少时，甲工程队工作 天，乙工程队工作 天，最低费用为 ． 【答案】(1)甲工程队每天需工程费2000元，乙工程队每天需工程费2200元 (2)甲工程队需工作30天，乙工程队需工作4天费用最少，最少费用为68800元 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，明确题目中的数量关系和等量关系是解题的关键． （1）设甲工程队每天需工程费元，则乙工程队每天需工程费元，根据题意列方程解方程即可解答； （2）设甲工程队需工作天，乙工程队需工作天，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队每天需工程费元，则乙工程队每天需工程费元， ∵甲工程队11天所需工程费与乙工程队10天所需工程费刚好相同， ， 解得：， ， 答：甲工程队每天需工程费2000元，乙工程队每天需工程费2200元； （2）解：设甲工程队需工作天，乙工程队需工作天， 根据题意得，， ， 都是整数， ， 解得：， ∵总费用不超过万元， ， ， 解得：， ∵是正整数， 或或， 方案有：①甲工程队需工作20天，乙工程队需工作16天，费用为（元）； ②甲工程队需工作25天，乙工程队需工作10天，费用为(元)； ③甲工程队需工作30天，乙工程队需工作4天，费用为（元）； ， ∴方案③费用最少，最少费用为68800元， 答：甲工程队需工作30天，乙工程队需工作4天费用最少，最少费用为68800元． 5. （20-21七年级下·天津·期末）列方程组或不等式解决实际问题： 某汽车公司向红十字会捐赠，两种型号的新能源汽车，第一次捐赠2辆型车和2辆型车，价值50万元；第二次捐赠4辆型车和3辆型车，价值85万元．设型车的单价为万元，型车的单价为万元． （1）根据题意，填写下表： 型车的价值（万元） 型车的价值（万元） 总价值（万元） 第一次捐赠 50 第二次捐赠 85 （2）求型车和型车的单价各为多少万元． （3）该公司若准备再次捐赠，两种型号的新能源汽车共8辆，且价值不多于100万元，那么型号汽车的应不少于______辆． 【答案】（1）见解析；（2）A型车的单价为10万元，B型车的单价为15万元；（3）4 【分析】（1）根据“第一次捐赠2辆A型车和2辆型车，第二次捐赠4辆A型车和3辆型车”填表即可； （2）设A型车的单价为万元，型车的单价为万元，根据“第一次捐赠2辆A型车和2辆型车，价值50万元；第二次捐赠4辆A型车和3辆型车，价值85万元”列出二元一次方程组并求解即可； （3）设型号汽车的应不少于a辆，根据“再次捐赠A，两种型号的新能源汽车共8辆，且价值不多于100万元”列出 一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：（1）根据“第一次捐赠2辆A型车和2辆型车，第二次捐赠4辆A型车和3辆型车”填表如下： A型车的价值（万元） 型车的价值（万元） 总价值（万元） 第一次捐赠 2y 50 第二次捐赠 4x 85 （2）设A型车的单价为万元，型车的单价为万元，根据题意得， ， 解得， 答：A型车的单价为10万元，B型车的单价为15万元； （3）设A型号汽车的应不少于a辆，则B型车为（8-a）辆，根据题意得， 解得， ∵a是整数， ∴A型号汽车的应不少于4辆． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 6. （23-24七年级下·天津河东·期末）为了丰富学生的课余生活，某校计划购买足球和篮球给同学们活动使用，若购买1个足球和2个篮球需用220元；若购买2个足球和3个篮球需用370元． (1)求购买一个足球和一个篮球各多少元？ (2)设购买篮球a个，需要购买足球和篮球一共45个，要求购买足球的数量不低于篮球数量的1.4倍，且购买的总费用不超过3430元，请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买一个足球80元，购买一个篮球70元； (2)有两种购买方案：购买篮球17个，足球28个；购买篮球18个，足球27个；购买篮球18个，足球27个时费用最省钱，需要3420元 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用． （1）设购买一个足球x元，购买一个篮球y元，根据题意列二元一次方程组解答； （2）根据题意列不等式组，求出a的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设购买一个足球x元，购买一个篮球y元， 则，解得， 答：购买一个足球80元，购买一个篮球70元； （2）设购买篮球a个，则 ， 解得， ∵a为整数， ∴或18， 故有两种购买方案： ①购买篮球17个，足球28个，费用为元； ②购买篮球18个，足球27个，费用为元； ∴有两种购买方案：购买篮球17个，足球28个；购买篮球18个，足球27个；购买篮球18个，足球27个时费用最省钱，需要3420元． 7. （23-24七年级下·天津·期末） 设计最优订餐方案 素材一： 天天中餐厅推出了没有代言费的酸菜鱼，25元一份．若购买2个鸡腿，2个狮子头，3份素菜，2份饭需要46元；若购买1份酸菜鱼，2个鸡腿，4个狮子头，2份素菜，3份饭需要75元． 注：米饭2元一份，素菜8元一份． 素材二： 天天中餐厅推出多款优惠套餐： 小鸡腿套餐：2个鸡腿，1个狮子头，1份素菜，1份饭，共20元； 狮子头套餐：2个狮子头，1个鸡腿，1份素菜，1份饭，共21元； 酸菜鱼套餐：1份酸菜鱼，1份素菜，1份饭，共32元． 素材三： 美团外卖：菜品单点价格比到店购买价格高3元． 美团套餐价：小鸡腿套餐28元，狮子头套餐29元，酸菜鱼套餐39元． 现活动推出每月可购买外卖通用券4张，每张2元，每单只能用一张券，券至少可以抵扣5元（无门槛），最多可以免费膨胀到20元，券不用可以退．外卖每个订单需要打包费3元，满20起送，活动期间减免配送费． 问题解决 任务一： 店内鸡腿和狮子头的销售单价各是多少元？ 任务二： 小明到店购买晚餐，单点1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭，若干个鸡腿和狮子头（每样都要有）预计花费105元，求其中鸡腿和狮子头各几个？在相同菜品量的基础上，如何购买最优惠，求最少费用是多少？ 任务三： 小明到店来回还需打车费20元，若选择美团外卖，按任务二相同菜品量，购买外卖券后，点了免费膨胀，前2个券分别膨胀到7元，8元，最后两个券膨胀结果未知．请结合膨胀情况，比较美团外卖和到店购买哪种方案更省钱？ 【答案】任务一：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；任务二：店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元；购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元．任务三：见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确根据题意列出方程是解题的关键． 任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元，列出关于，的方程组，进行解方程，即可作答． 任务二：与任务一同理，列出方程组，进行解方程，即可作答． 任务三：把到店购买的车费算上，以及把外卖的打包盒以及券的费用考虑，再进行分类讨论，逐一分析作答即可． 【详解】解：任务一：设店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是元，元， 依题意，列式得， 整理得， 解得， ∴店内鸡腿和狮子头的销售单价分别是4元，5元． 任务二：设其中鸡腿和狮子头分别是个， 依题意，， 整理得， 则能整除4， ∴， 此时， 解得， ∴其中鸡腿和狮子头分别是个， 根据优惠套餐： ∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐， 此时5个鸡腿，4个狮子头，1份酸菜鱼，4份素菜，4份饭， 即（元）， ∴购买两个小鸡腿套餐，一个狮子头套餐，一个酸菜鱼套餐，购买最优惠，求最少费用是元． 任务三：设最后两个券膨胀为元， 当刚好美团外卖和到店购买一样省钱， 则美团外卖：， 则到店购买， 当时，解得， 当美团外卖比到店购买省钱， 即，解得， 当到店购买比美团外卖省钱， 即，解得， 综上：最后两张券膨胀金钱和为，选择美团外卖；最后两张券膨胀金钱和为，选择到店购买；当最后两张券膨胀金钱和为元，则两个方式都一样省钱． 根据不等式组的解集确定参数 1. （23-24七年级下·天津滨海新·期末）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出不等式组的解（用表示出来），再根据其解为，列出关于k的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①：， ， ， 解不等式②：， ， 不等式组的解集是， ， 解得：， 故选：A． 2. （22-23七年级下·天津北辰·期末）若不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组的解集无解可知“大大小小找不到”进而可得． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求未知参数的取值范围，掌握不等式组的解集无解的意义是解题的关键． 3. （23-24七年级下·天津和平·期末）不等式组的解集是，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用含有的代数式把原不等式组的解集表示出来，然后和已知的解集比对，得到关于的不等式，从而解答即可． 【详解】解：在不等式组中 由①得， 由②得， 根据已知条件，不等式组解集是 根据“同大取大”原则得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数． 4. （21-22七年级下·天津和平·期末）若不等式组的解集为，关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过解一元一次不等式组求出a的值，再根据不等式的基本性质得出，解不等式即可求出答案． 【详解】解不等式组，得， 不等式组的解集为， ， ， 关于的不等式的解集是， ，即， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式组及不等式组的解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键． 5. （21-22七年级下·天津·期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式组有解，利用大小小大中间找可得a的范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴a−1＜2， 解得a＜3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. （22-23七年级下·天津·期末）若关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不等式组有解，利用不等式组取解集的方法确定出a的范围即可． 【详解】∵不等式组有解，即有解， ∴，解得：． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解答本题的关键． 7. （22-23七年级下·天津东丽·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组的解集确定方法“大大小小找不着”可得的取值范围． 【详解】解：关于的不等式组无解， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了根据不等式组的解集求参数的 范围，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键． 8. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于的不等式的解集是，则m的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，解题的关键在于掌握不等号两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要发生变化，根据题意得到，然后运用不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 9. （23-24七年级下·天津·期末）已知不等式组的解集为，则 ， ； 【答案】 【分析】先求出方程组的解集为，进而得到，求出a、b的值即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，代数式求值，正确求出不等式组的解集，进而得到关于a、b的方程是解题的关键． 10. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+b）（b﹣1）的值为 ． 【答案】0 【分析】解出不等式组，求出解集，然后和已知解集对应一致，即可求出a，b，代入代数式即可求解． 【详解】解不等式组 解得 不等式组的解集为﹣1＜x＜1， ∴3＋4b＝−1，， ∴a＝1，b＝−1． 把a＝1，b＝−1代入得： 原式＝0． 故答案为：0． 【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值． 11. （23-24七年级下·天津·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法，结合不等式组无解列出关于参数的不等式求解即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式组无解， 由求不等式组解集的法则得到，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用一元一次不等式组的解集情况求参数范围，熟记一元一次不等式组解集求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 12. （21-22七年级下·天津和平·期末）不等式组无解，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解，可得与在数轴上没有公共部分，即可求解． 【详解】不等式组无解， 与在数轴上没有公共部分， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组无解的情况，熟练掌握知识点是解题的关键． 不等式整数解问题 1. （22-23七年级下·天津·期末）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组．根据题意先解第一个不等式，再对整数解进行分析即可列出关于的不等式继而得到本题答案． 【详解】解：∵不等式组， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组恰好只有四个整数解， ∴， ∴， 故选：A． 2. （23-24七年级下·天津·期末）若关于的不等式的最小整数解是2，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和不等式组的最小整数解是2确定b的范围成为解题的关键， 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据最小整数解是2确定b的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴关于x的不等式的解集为；， ∵方程组的组最小整数解是2， ∴，即． 故选D． 3. （21-22七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解为，，，，若在第二象限，那么满足上述条件的整数、组成的点的坐标有（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解，得出关于、的不等式组，求出整数、的值，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵关于的不等式组仅有四个整数解为，，，， 如图： ∴，， 解得：，， ∵、为整数，且在第二象限， ∴，， ∴的值是，；的值是，，， ∴由整数、组成的点的坐标有：，，，，，，共6个． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解答的关键是求出、的值． 4. （20-21七年级下·天津河北·期末）若关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为（　　） A．﹣3 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中至多2个整数解，确定出a的范围，再由关于y的方程的解为整数，确定出整数a的值，求和即可． 【详解】解：将不等式组整理得：， ∵不等式组至多2个整数解， ∴a≤4， ∵方程的解为整数， ∴a=-5，-2，-1，0，2，3，4，7， ∴整数a为-5，-2，-1，0，2，3，4， ∴符合条件的所有整数a的和为-5-2-1+0+2+3+4=1． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴≥， 解得：a≥-， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴， 解得-2≤a＜1， ∴≤a＜1， ∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 6. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【答案】A 【分析】表示出关于的方程的解，由方程有非负数解确定出的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到的取值范围．再根据为整数，即可得出结果． 【详解】解：解关于x的方程，得， 当时，原等式不成立， ， ， 解得：； 解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组至多有3个整数解， ，得， 故的取值范围是， 为整数， ， 符合条件的所有整数的和为， 故选：A． 【点睛】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解得的关键是熟记求不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了． 7. （23-24七年级下·天津·期末）对实数x，y定义一种新的运算F，规定若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 分和两种情况，由得到关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值 【详解】若关于正数x的不等式组恰好有 3 个整数解， ①若，由得，， 解，得：，与不符，舍去； ②若，由得， 解得， 不等式组恰好有3个整数解， ， 解得：， 故选：C． 8. （23-24七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中．若点在第二象限，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．根据第二象限的点的横坐标小于，纵坐标大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解得：， 整数的值为， 故选：B． 9. （19-20七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案． 【详解】∵解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2， ∴，， 解得：，， 即的整数值是-3，-2，的整数值是6，7，8， 即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n的值． 10. （23-24七年级下·天津·期末）已知，，，记，且关于x的不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，不等式组的整数解，先利用不等式的性质求出，再求出原不等式组的解集，根据恰有三个整数解求出，即可求出最后结果． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； ， 解不等式①，， 解不等式②，， ∴不等式组的解集为， 恰有三个整数解， ∴一定存在一个整数k，满足下列关系： ， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 当时，即时，则， 于是，解得， ， 为整数， ， ， ； 当时，即，不存在整数k，此时无解； 当时，此时无解； 当时，即，则； 于是，解得， ，不存在整数k，此时无解； ， 又， ， 故答案为：． 11. （22-23七年级下·天津东丽·期末）如果关于的不等式组仅有五个整数解为，，，，，若在第四象限，那么满足上述条件的整数，组成的点的坐标共有 个． 【答案】 【分析】解出不等式组的解集，根据已知求出，，解得，，结合第四象限点的特征即可得出答案． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 不等式组有五个整数解为，，，，， 则，， 解得，， 则时，，，， 则时，，，， 所以适合这个不等式组的整数，组成的点的坐标共有个， 故答案为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，点所在的象限，解此题的关键是求出、的值． 12. （23-24七年级下·天津河东·期末）若关于x的不等式组的解集中只有3个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ∴， 解得 故答案为：． 不等式组与方程组综合解答题 1. （20-21七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程满足方程组， (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【答案】(1) (2)2 (3)的最小值为，最大值为9 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组， （1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x、y，代入求出m的值即可； （2）根据x、y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （3）把表示出的x与y代入s，利用求出最大值与最小值即可． 【详解】（1） 得：得： 将代入②得， 解得③ 把和代入， ， 解得； （2）∵x，y，m均为非负数， ∴ ∴； （3）∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 答：的最小值为，最大值为9． 2. （22-23七年级下·天津·期末）已知方程组的解x为正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简； (3)在a的取值范围内，且关于z的不等式的解集是，求关于t的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)3； (3). 【分析】（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可； （2）根据a的取值范围去掉绝对值符号，把代数式化简即可； （3）把，代入，得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， ∵方程组的解x为正数，y为负数，、 ∴且， ∴； （2）∵， ∴ ∴； （3）∵，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解二元一次方程组，熟练掌握解不等式和加减消元法是关键. 3. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）若点的坐标满足方程组． (1)求点的坐标（用含的式子表示，）； (2)若点在第二象限，求的取值范围； (3)若点在第一象限，且，则满足条件的整数有几个？ 【答案】(1) (2) (3)2个 【分析】（1）运用加减消元法解此方程组； （2）由题意构造不等式组并求解； （3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的的值． 【详解】（1）解：， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 该方程组的解为， 点的坐标为； （2）解：由题意得不等式组， 解得， 的取值范围； （3）解：由题意得不等式组， 解得， 满足条件的整数有，， 即满足条件的整数有个． 【点睛】此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确求解，并确定出符合条件的字母参数的值． 4. （23-24七年级下·天津·期末）已知关于a、b的方程组中，a为负数，b为非正数． （1）求m的取值范围； （2）化简：； （3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式的解集为． 【答案】（1）；（2）5；（3）-2． 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足a为负数，b为非正数，就可以得出m的范围； （2）根据（1）化简即可求解； （3）根据不等式的性质得到2m+3＜0，再根据整数的性质求得m的值． 【详解】解：（1） ①+②得： ②-①得： ∴方程组的解为： 为负数，b为非正数 （2）由（1）可知 （3） 解集为 的整数值为-2 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 5. （23-24七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程组 ． (1)当x、y互为相反数时， ； (2)已知，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若a为整数，求使x、y为自然数的a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤及运算法则是解题的关键． （1）解出二元一次方程组，然后根据，互为相反数列方程求解即可； （2）将方程组的解代入，解不等式组即可； （3）根据题意求出方程组的解即可得到答案． 【详解】（1）由得， ∵，互为相反数， ∴，则， 解得， 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得， 即a的取值范围是； （3）∵，a为整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴或都满足题意． 6. （23-24七年级下·天津·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：∵，又∵， ∴，即 又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的一元一次方程的解为非负数． (1)求a的取值范围； (2)已知，求的取值范围； (3)已知（的常数），且，求的取值范围．（用含m的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，不等式的性质； （1）先解一元一次方程，根据一元一次方程的解为非负数，列出关于的一元一次不等式，解不等式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据得出的范围，进而根据例题，即可求解； （3）根据（2）的方法得出的范围，根据，得出的范围，进而求得的取值范围． 【详解】（1）解： 解得：， ∵关于x的一元一次方程的解为非负数， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，则， ∴，， 则， ∴． 7. （22-23七年级下·天津和平·期末）已知关于、的方程组的解满足为非负数，为负数． (1)求的取值范围； (2)化简： (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解为． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先解方程组，根据方程组的解满足为非负数，为负数，可得不等式组，解不等式组即可求得的范围； （2）根据（1）中的取值范围，化简绝对值，合并同类项即可求解； （3）根据不等式的解集是，可得，即可得到m的取值范围，进而求得m的值． 【详解】（1）解： 由，得： 解得：， 把代入①，得： 解得：， ，， ， 解得：， 故的取值范围为； （2）解：， ，， ； （3）解：， 整理，得， ， ， ， ， 为整数， 或． 【点睛】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，化简绝对值，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，理解题意，利用不等式或不等式组解决问题是关键． 不等式（组）与几何问题 1. （23-24七年级下·天津河北·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，a为不等式的最大整数解，点B的坐标是，且a，b，c满足． (1)判断点A在第几象限，说明理由． (2)求点B的坐标． (3)有两个点，，请探究是否存在以M，N为端点的线段，满足，且，若存在，直接写出M，N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A在第二象限，理由见解析 (2) (3)，或， 【分析】本题主要考查了解不等式，方程组，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握解不等式和解方程组的一般方法，求出 （1）先求出不等式的解集，然后根据a为不等式的最大整数解，得出，最后进行判断即可； （2）解关于b、c的不等式组，得出b、c的值，即可得出答案； （3）根据，点， 得出轴，，根据，，列出关于k、h的方程组，然后解方程组，得出答案即可． 【详解】（1）解：点A在第二象限，理由如下： ∵， ∴， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∴点， ∴点A在第二象限； （2）解：由题意可得：， 解得：， ∴点； （3）解：∵点，点， ∴轴，， ∵，， ∴， 解得或， ∴，或，． 2. （21-22七年级下·天津滨海新·期末）如图，三角形AOB在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2 , 4），（6 , 2），O是坐标原点． (1)如图1，若把三角形AOB向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，顶点A、O、B的对应点分别是A′、O′、B′，则A′、O′、B′三个点的坐标分别是多少？ (2)求三角形AOB的面积； (3)如图2，x轴上一动点P，从点（－3 , 0）运动到点（2 , 0），连接PA和PB，求三角形APB面积的取值范围． 【答案】(1) (2)三角形AOB的面积为10 (3)三角形PAB面积的取值范围是8≤S△PAB≤13 【分析】（1）根据平移规则即可求出坐标； （2）利用割补法求面积即可； （3）设点P（x，0），表示出三角形APB面积几何x的取值范围即可解题． 【详解】（1）∵把三角形AOB向左平移2个单位长度，然后再向上平移1个单位长度， ∴相当于横坐标减2，纵坐标加1 ∴； （2）过点A作y轴的垂线交y轴于点C，过点B作x轴的垂线交x轴于点E，两垂线交于点D，构成长方形COED，设其面积为S. ∴点C（0 , 4），点D（6 , 4），点E（6 , 0） ∴AC=2，AD=4，DB=2，BE=2，CO=4，OE=6. ∴ （3）过点P作x轴的垂线与DC的延长线交于点M，由图可知DMPE为长方形，设其面积为. 设点P（x，0），则点M为（x，4）， ∵-3≤ x ≤2， ∴-2≤ -x ≤3 ∴8≤10-x≤13 ， 8≤S△PAB≤13. 【点睛】本题考查坐标与平移、坐标系中求面积，熟练利用割补法求面积是解题的关键． 3. （22-23七年级下·天津·期末）在平面直角坐标系中，，，四边形是长方形．若点P从点C以2单位长度/秒的速度沿方向移动，同时点Q从点O以1单位长度/秒的速度沿方向移动，设移动的时间为t秒（），与的面积分别记为，．    (1)_________；________；（用含t的式子表示） (2)是否存在某个时间，使，若存在，求出t的取值范围，若不存在，试说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在， 【分析】（1）由，，四边形是长方形．结合P，Q的速度，直接列式即可； （2）先得出，，再列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，四边形是长方形． ∴， 由题意可知：， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， 若，则，解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查图形与坐标，列代数式和不等式，根据题意，找到数量关系，列出不等式是关键． 4. （23-24七年级下·天津·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，连接．若a，b满足．平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D． (1)填空：______，______，点D的坐标为______； (2)如图2，延长线段至点．连接，请利用，，的面积关系，求出m，n满足的关系式； (3)过点D作射线轴，交y轴于点F，动点P从点D出发沿射线以每秒2个单位的速度向右运动，连接交x轴于点Q，设运动时间为t秒，的面积为S，若，求t的取值范围． 【答案】(1)4，， (2) (3)或 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，坐标与图形，坐标与平移，解一元一次不等式，准确作出辅助线是解题关键 （1）根据非负数的性质可得a，b的值，进而根据平移的性质得出从A到C的平移方式是，先左平移2个单位，再向上平移3个单位，即可得出D点坐标； （2）延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F，得到，进而分别表示出三个三角形的面积，根据即可求解； （3）根据得出，进而根据得出表达式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ∵平移线段，使点A与点C重合，点B对应点为点D、点C的坐标为， ， 从A到C的平移方式是：先向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 将先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到，即， 故答案为：4，，； （2）如图，延长线段至点，则E在第三象限，则，过点E作轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）如图所示： ， 依题意，，则， ， ， ， ， ， ， ，即或， 解得：或． 5. （20-21七年级下·天津河西·期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，且，动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动；动点从点出发，以每秒的速度，沿路线向点运动．若两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止． （Ⅰ）直接写出三个点的坐标； （Ⅱ）设两点运动的时间为秒，用含的式子表示运动过程中三角形的面积； （Ⅲ）当三角形的面积的范围小于16时，求运动的时间的范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为；（Ⅲ）或． 【分析】（Ⅰ）先求出的长，再根据的长即可得； （Ⅱ）先分别求出点运动到点所需时间、点运动到点所需时间，从而可得，再分和两种情况，分别利用三角形的面积公式、梯形的面积公式即可得； （Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，分和两种情况，分别建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（Ⅰ）轴，， ， 轴，， ； （Ⅱ）∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， ∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为， 点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为， 因此，分以下两种情况： ①如图，当时，， 则三角形的面积为； ②当时， 如图，过点作，交延长线于点， ， ， 则三角形的面积为， ， ， 综上，当时，三角形的面积为；当时，三角形的面积为； （Ⅲ）①当时， 则， 解得， 则此时的取值范围为； ②当时， 则， 解得， 则此时的取值范围为， 综上，当三角形的面积的范围小于16时，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用等知识点，较难的是题（Ⅱ），正确分两种情况讨论是解题关键． 6. （23-24七年级下·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，原点，点，点，连接并延长到点，且，满足．将线段沿轴向右平移得到线段，平移后点，的对应点分别为，，且点．记为，为． (1)直接写出点的坐标：___________； (2)①如图1，当点在线段（不包含线段的端点，）上时，直接写出：__________（度）； ②如图2．连接，，当三角形的面积为时，求的值，并求出此时与的数量关系； (3)作直线，在直线上有动点（点不与重合），点的横坐标为，连接，．若三角形的面积不大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②， (3)的取值范围是和 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的判定与性质，不等式，坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据非负数的性质即可求解； （2）①由平移可得，得到，结合，即可求解；②连接，并延长交轴于点，由，可得，，结合平移的性质可得，，进而得到，，，，，然后根据列方程即可求出，由可得，结合，可得到与的数量关系； （3）分为：当时，过点作轴于点，根据求解；当时， 求解即可． 【详解】（1）解：点，且，满足， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：①由平移可得：， ， ， ， 即， 故答案为：； ②如图，连接，并延长交轴于点， ，， ，， 由平移可得：，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 解得：； ， ， ， ， 即， ， 即； （3）解：当时，如图，过点作轴于点， 根据题意得：， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ； 当时，此时， 解得：， ， 综上所述，的取值范围是和． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$