精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷

初二数学期中试卷 考试范围 平行四边形～一元二次方程 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 平行四边形ABCD中，如果∠B=100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ） A. ∠A=80°，∠D=100° B. ∠A=100°，∠D=80° C. ∠A=80°，∠D=80° D. ∠A=100°，∠D=100° 2. 关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A. 函数图象经过点（2，1） B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x取何值，总有y＞0 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 4. 已知点和点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y＝ax+b的图象可能是( ) A. B. C. D. 6. 如图，菱形 的对角线，，则该菱形的面积为（ ） A. 50 B. 25 C. D. 7. 已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3 8. 若，则（　　） A. B. 4 C. 或4 D. 或3 9. 如图，等边在正方形 内，连接 ，若 ，则的面积是（　　） A. B. 6 C. D. 4 10. 如图， 中，，，点P为 上任意一点，连接 ，以 、 为邻边作平行四边形，连接 ，则 的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共8小题，11、12每小题3分，其余每小题4分，共30分） 11. 直线是由向下平移__________个单位得到的． 12. 如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别去OA、OB的中点M，N，测的MN=32 m，则A，B两点间的距离是________m. 13. 如图，在平行四边形 中，，的平分线 交 于点E，则 的长为_______． 14. 已知函数是关于x的一次函数，则 _____． 15. 如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为____________． 16. 甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离 （米）与时间 （秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米．其中正确的说法有________个 17. 如图，折叠矩形纸片 ，使点 落在点 处，折痕为 ，已知 ，，则 的长________． 18. 如图，四边形 是边长为3的正方形，点E在边 上，；作 ，分别交于点G、F，M、N分别是的中点，则 的长是________． 三、解答题（共8小题，共90分） 19. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 若与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数解析式． （2）求当 时，x的值． 21. 如图，在四边形 中，，，对角线 、 交于 ， 平分． （1）求证：四边形 是菱形； （2）过点 作交 的延长线于点 ，连接 ，若，，求 的长． 22. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段 长为2，求a的值． 23. 【探究与证明】 在正方形 中，G是射线 上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、． （1）如图1，若点G在 上，则： ①图中与全等的三角形是 　 　； ②线段， ，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，若G在 的延长线上，那么线段， ，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明． 24. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 25. 如图，点 是菱形 对角线的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形，且，连接，． （1）求证：； （2）若， ，，求的长． （3）连接 、，若，，，求的面积． 26. 【探索发现】如图 ，等腰直角三角形中， ，，直线 经过点 ，过 作于点 ．过 作于点 ，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与 轴、 轴分别交于两点． （1）如图 ，当时，在第一象限构造等腰直角 ，． 直接写出 ， ； 点 的坐标 ； （2）如图 ，当 的取值变化，点 随之在 轴负半轴上运动时，在 轴左侧过点 作，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图 ，若，点 是直线 上的动点，点 在 轴上的坐标为，直线 过点且平行于 轴，动点 在 直线上运动，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点 的坐标是 ．（直接写出答案即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学期中试卷 考试范围 平行四边形～一元二次方程 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 平行四边形ABCD中，如果∠B=100°，那么∠A、∠D的值分别是（ ） A. ∠A=80°，∠D=100° B. ∠A=100°，∠D=80° C. ∠A=80°，∠D=80° D. ∠A=100°，∠D=100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形的邻角互补，对角相等，直接可求解. 【详解】∵平行四边形ABCD中，∠B=100° ∴∠A=180°-100°=80° ∴∠D=∠B=100°. 故选A. 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是熟记平行四边形中角的性质. 2. 关于函数y=2x，下列结论中正确的是（　　） A. 函数图象经过点（2，1） B. 函数图象经过第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 不论x取何值，总有y＞0 【答案】C 【解析】 【详解】A：当x=2时，y=4≠1，∴函数图像不经过（2，1），故错误； B：k=2＞0，∴函数图像经过一、三象限，故错误； C：k＞0，y随着x的增大而增大，故正确； D：当x＜0时，y＜0，故错误. 故选C. 点睛：掌握正比例函数图像的性质. 3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值． 【详解】解：把代入方程得到：， 解得：， ， ， 故选：B． 4. 已知点和点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据k＞0，一次函数的函数值y随x的增大而增大解答． 【详解】解：∵k=2＞0， ∴函数值y随x的增大而增大， ∵-2＜1， ∴y1＜y2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 5. 若实数a、b满足ab＜0，则一次函数y＝ax+b的图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断． 【详解】因为ab＜0，得到a＜0，b＞0或b＜0，a＞0， 当a＜0，b＞0，图象经过一、二、四象限； 当b＜0，a＞0，图象经过一、三、四象限， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 6. 如图，菱形 的对角线，，则该菱形的面积为（ ） A. 50 B. 25 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质求面积，掌握菱形面积的计算方法是关键． 根据题意，菱形的面积为，代入求解即可． 【详解】解：菱形 的对角线，， ∴菱形的面积为， 故选：B ． 7. 已知一组数据1，0，3，-1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（ ） A. -1 B. 3 C. -1和3 D. 1和3 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数的定义解答即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， 所以这组数据的众数是：﹣1和3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平均数和众数的定义，属于基础题型，熟练掌握二者的概念是解题关键． 8. 若，则（　　） A. B. 4 C. 或4 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】运用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则原方程转化为， 整理，得， 解得（舍去）． 则． 故选：B． 【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，注意的非负性是解题的关键． 9. 如图，等边在正方形 内，连接，若 ，则的面积是（　　） A. B. 6 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质， 角直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作于点，根据正方形和等边三角形求得，，即可求出高，即可求解面积． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形 是正方形， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D． 10. 如图， 中，，，点P为 上任意一点，连接 ，以 、 为邻边作平行四边形，连接 ，则 的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等面积法，利用等面积法求的长是解题的关键． 设 ， 交于点 ，由四边形是平行四边形，得出，即求的最小值，再乘以2即可．点D是 的中点，为定点，由垂线段最短可知，当时，取得最小值，即 最小，过点 作于点，当重合时，最小，据此即可求得 的最小值． 【详解】解:如图，设 ， 交于点 ，过点 作于点，连接 四边形是平行四边形， ，， ∵点D是 的中点，为定点， ∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则 最小， 即当重合时，最小， ∴的最小值为, ， ∴, ∵，即 ∴ ， ∴的最小值为 的最小值为 故选：B. 二、填空题（共8小题，11、12每小题3分，其余每小题4分，共30分） 11. 直线是由向下平移__________个单位得到的． 【答案】8 【解析】 【分析】根据一次函数平移规律解答即可． 【详解】∵直线是由向下平移得到， ∴平移距离为｜-3-5|=8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一次函数的平移规律，熟记平移距离等于平移前后常数项差的绝对值是解题的关键． 12. 如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别去OA、OB的中点M，N，测的MN=32 m，则A，B两点间的距离是________m. 【答案】64 【解析】 【分析】根据M、N是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，从而可得答案. 【详解】解： M、N是OA、OB的中点， MN是△OAB的中位线， ∴AB=2MN=2×32=64（m）． 故答案为64 13. 如图，在平行四边形 中，，的平分线 交 于点E，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合角平分线平分角，推出，再用求出即可． 【详解】解：∵平行四边形 中，， ∴， ∴， ∵的平分线 交 于点E， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 14. 已知函数是关于x的一次函数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了一次函数的定义，解答的关键是熟悉一次函数的定义； 根据函数是一次函数，得出，进行解答即可； 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 15. 如果函数的自变量x的取值范围是，相应的函数值的取值范围是，那么此函数的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，时，根据一次函数的增减性得到当时， ，当时，，据此利用待定系数法讨论求解即可． 【详解】解： 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时， ，当时，， ∴， ∴， ∴此函数解析式为； 故答案为： ． 16. 甲、乙在一段长2000米的直线公路上进行跑步练习，起跑时甲在起点，乙在甲的前面，若甲、乙同时起跑至甲到达终点的过程中，甲乙之间的距离（米）与时间（秒）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①甲的速度为5米/秒；②100秒时甲追上乙；③经过50秒时甲乙相距50米；④甲到终点时，乙距离终点300米．其中正确的说法有________个 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙．每秒甲比乙多跑1米，则可以判断②③④，由图象可得甲400秒到达终点，可求甲的速度． 【详解】解：由图象可知起跑时甲在起点，乙在甲的前面，甲乙之间的距离为100米，100秒后，甲乙之间的距离为0米，这个说明，甲的速度快，100秒甲追上乙． 故②正确； 经过400秒，甲先到达终点，所以甲的速度为(米/秒)， 故①正确； 100秒甲追上相距100米的乙，说明每秒甲比乙多跑1米，所以经过50秒，甲比乙多跑50米，则甲乙相距的距离为50米， 故③正确； 相遇后，到甲到达终点，经过了300秒，则甲比乙多跑了300米，即甲到终点时，乙距离终点300米， 故④正确， 故其中正确的说法有①②③④，共4个， 故答案为：4． 17. 如图，折叠矩形纸片 ，使点 落在点 处，折痕为 ，已知 ，，则 的长________． 【答案】 【解析】 【分析】设 交 于点，连接，，根据折叠的性质得到 垂直平分 ，可证，推出，从而得到四边形是菱形，设，则，再利用勾股定理求出 ，，最后利用即可求得 ． 【详解】解：如图，设 交 于点，连接，， 由折叠可知， 垂直平分 ， ， 四边形 是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形， ， ，，， 设，则， 在中，， 在中，，即， 解得： ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，菱形的面积公式的运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18. 如图，四边形 是边长为3的正方形，点E在边 上，；作 ，分别交于点G、F，M、N分别是的中点，则 的长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，易求为等腰直角三角形，是直角三角形，即可得，理由勾股定理求解的长即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形 是正方形， ， ∴，四边形为矩形， ∴为等腰直角三角形，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵N是 的中点，四边形是矩形， ∴点N在上，且是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理等腰直角三角形及直角三角形斜边上的中线的性质等知识的综合运用． 三、解答题（共8小题，共90分） 19. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）方程没有实数根． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法， （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 整理得， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 整理得， 因式分解得， 即，， 解得，； 【小问3详解】 解：， 因式分解得， 即，， 解得，； 【小问4详解】 解：， ，，， ， ∴方程没有实数根． 20. 若与成正比例，且当时，． （1）求y与x的函数解析式． （2）求当 时，x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，把，代入可得，从而可得答案； （2）把 代入函数解析式求解x即可． 【小问1详解】 解：设， 把，代入得，解得， 所以， 所以y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 当 时，， 解答． 【点睛】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，求解函数自变量的值，理解成正比例的含义是解本题的关键． 21. 如图，在四边形 中，，，对角线 、 交于， 平分 ． （1）求证：四边形 是菱形； （2）过点 作交 的延长线于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， 为 的平分线， ， ， ， ， ∵， 四边形 是平行四边形， 又， 是菱形； （2）6． 【解析】 【分析】（1）先证，再证，得，然后证四边形 是平行四边形，即可得出结论； （2）先证，再求出，然后由勾股定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 四边形 是菱形，， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，直线：与直线：相交于点． （1）求b，m的值； （2）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段 长为2，求a的值． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由点在直线：上，可得；由点在直线：上，可得，进而可得的值； （2）由题意知，当时，；当时，．由 ，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线：上， ∴； ∵点在直线：上， ∴，解得， ∴；． 【小问2详解】 解：由题意知，当时，； 当时，． ∵ ， ∴， 解得：或． ∴a的值为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 【探究与证明】 在正方形 中，G是射线 上一动点（不与点A，C重合），连接，作，且使，连接、． （1）如图1，若点G在 上，则： ①图中与全等的三角形是 　 　； ②线段， ，之间的数量关系是 　 　； （2）如图2，若G在 的延长线上，那么线段， ，之间有怎样的数量关系？写出结论，并给出证明． 【答案】（1）①；② （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质得，，，,再证，然后由证 即可；②由全等三角形的性质得， ，得，然后由勾股定理得，即可得出结论； （2）证，得 ，，再证，然后由勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 解：①图中与全等的三角形是，理由如下： ∵四边形 是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， 故答案为：； ②，理由如下： 由①可知，， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵四边形 是正方形， ∴， ， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 24. 某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨． （1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？ （2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】（1）甲特产15吨，乙特产85吨；（2）26万元． 【解析】 【分析】（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨，根据题意列方程解答； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且，根据题意列函数关系式，再根据函数的性质解答. 【详解】解：（1）设这个月该公司销售甲特产吨，则销售乙特产吨， 依题意，得， 解得，则， 经检验符合题意， 所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨； （2）设一个月销售甲特产吨，则销售乙特产吨，且， 公司获得的总利润， 因为，所以随着的增大而增大， 又因为， 所以当时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元. 【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用、一次函数的性质等基础知识，考查运算能力、应用意识，考查函数与方程思想，正确理解题意，根据问题列方程或是函数关系式解答问题. 25. 如图，点是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形，且，连接，． （1）求证：； （2）若， ，，求的长． （3）连接、，若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）连接 交 于点P，得到，则，由勾股定理得，再由勾股定理求得，即； （3）设，由勾股定理得，由，结合菱形性质得到，那么，则，则，而，则，化简得到，而，则，即可求解面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵是菱形， 是菱形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在菱形 中，连接 交 于点P，则， ∵在菱形 中，， ∴， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图： 设 ∵， ∴， ∴ ∵菱形 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴，而 ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理， 角直角三角形的性质，解题的关键是合理利用菱形的性质． 26. 【探索发现】如图，等腰直角三角形 中， ，，直线经过点 ，过 作于点 ．过 作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于两点． （1）如图，当时，在第一象限构造等腰直角 ，． 直接写出 ， ； 点的坐标 ； （2）如图 ，当的取值变化，点 随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点 作，并且，连接 ，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图 ，若，点是直线 上的动点，点 在轴上的坐标为，直线过点且平行于轴，动点 在直线上运动，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是 ．（直接写出答案即可） 【答案】（1） ， ； （2）当变化时，的面积是定值，，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）若，则直线与轴，轴分别交于，两点, 即可求解； 作于 ，则，由全等三角形的性质得，，即可求解； （）点 随之在轴负半轴上运动时，可知 ，过点作于，则 ，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （ ）分情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可得点的坐标，进而即可求解． 【小问1详解】 解：当，则直线为， 当时，， ∴， 当 时， ， ∴， ∴，， 故答案为： ， ； 作于 ， ∴， ∴， ∵ 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 当变化时，的面积是定值，，理由如下： ∵当变化时，点 随之在轴负半轴上运动时， ∴ ， 过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴变化时，的面积是定值，定值为； 【小问3详解】 设， 如图，当，若在 右侧，过点 作轴于 过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线， 将点的坐标代入得， ∴， 解得：， ∴点的坐标为 如图，当时，若在 左侧，过点 作⊥于，过点作于 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴直线， 将点的坐标代入得， ， 解得：，与矛盾， ∴此情况不存在，故舍去； 当时， 由题意可得，，， 要使是以为斜边的等腰直角三角形， 则的坐标为或， ∵或，均不在直线上， ∴此情况不存在，故舍去； 当时，过点 作轴于 ，过点作于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线， 将点的坐标代入得， ， 解得:， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $