专题1.1 集合及其表示方法（高效培优专项训练）数学人教B版2019高一必修第一册

专题1.1 集合及其表示方法 题型一：判断元素是否构成集合 题型二：判断元素与集合的关系 题型三：根据元素与集合的关系求参数 题型四：根据元素的个数求参数 题型五：根据元素的互异性求参数 题型六：列举法和描述法 题型七：区间与集合的转化 题型一：判断元素是否构成集合 1． 下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 【答案】B 【分析】结合集合的确定性直接判断即可. 【详解】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合； 对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合； 对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合； 对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合， 故选：B 2． 下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 3． 下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【分析】根据集合的性质的判断即可. 【详解】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 故选：C 4． 下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【分析】根据集合的性质判断即可. 【详解】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 5． 以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 【答案】(1)能构成一个集合 (2)不能构成一个集合 (3)不能构成一个集合 (4)能构成一个集合 【详解】（1）能构成集合．河北红星工厂的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合． （2）“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合． （3）“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数的图象上的若干个点”不能构成一个集合． （4）任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合． 题型二：判断元素与集合的关系 1． 已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 2．（多选） 已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知集合的性质，结合集合相等确定中元素及元素间的数量关系，进而判断各项正误. 【详解】集合且，， 对于A，，即，则，A错误； 由， 得，即， 由，得，即，则， 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 2． 已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 【答案】（1）（3） 【分析】由集合的定义逐个判断即可. 【详解】若 ，则0不能作为分母，故，故（1）正确； 当时时，，所以为单元素集，故（2）错误； 当时时，，所以集合一定包含， 当取其他整数时，则其倒数必在集合中， 所以当取遍可以取的所有数时，集合的元素一定为偶数，故（3）正确. 故答案为：（1）（3）. 3． 设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 【答案】(1)证明见解析； (2)集合中必含有两个元素； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据集合中元素的性质，循环迭代即可得出证明； （2）由可得，由可得，由可得，由此可知会循环出现三个数，所以集合S中必含有两个元素； （3）设,且,则，，令及即可证明. 【详解】（1）若，则,与矛盾，故. 因为，所以，由，则， 可得，即， 故若，则. （2）由，得； 由，得； 而当时，，…， 因此当时，集合中必含有两个元素. （3）设,由（1）且, 则，. 令，化简可得, 因为, 所以方程无解，即. 令，化简可得， 同理无解，即， 所以集合中至少有三个不同的元素． 4． 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据集合的条件，先根据①②得，，进而有③可得； （2）先由①②得，进而可得； （3）先证，可得，，进而得，再结合可证. 【详解】（1）正确，理由如下： 由①知，，由②可得，， 由③可得. （2）证明：由①知，由题意， 所以由②可知，又，所以即证. （3）证明： ，由②可知，由③可知，， 所以，即，所以， 由（2）结论可知，即，即证 题型三：根据元素与集合的关系求参数 1．已知，则 . 【答案】 【分析】分别解方程和求得的值，再结合元素互异性即可求解. 【详解】因为，所以或， 解得：或， 当时，，不满足元素的互异性，所以不成立， 当时，集合为，所以符合题意， 故答案为：. 2．设集合，已知且，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】由或解出的值，再验证集合中元素的互异性即得解. 【详解】当时，可得或， 若时，则，不合题意； 若时，则，符合题意； 当，可得或， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意. 综上所述：. 故答案为： 3．已知集合，若．求实数的值． 【答案】或 【分析】分与讨论，同时也需要验证是否满足互异性，从而解得． 【详解】解：若，则， 此时，，成立； 若，则； 此时，，故成立； 故实数或． 4．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 【答案】(1)两个； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用给定的定义，依次计算即得. （2）由，求得A中其它元素，再判断不相等即可. （3）由（2）中信息，可得，再结合已知列出方程求解即得. 【详解】（1）由，得，则，因此 所以A中至少还有两个元素为，. （2）不是双元素集合．理由如下： 由，得，则， 而且，，即，， 于是，由，得，则， 因此集合A中至少有个元素，所以集合A不是双元素集合． （3）由（2）知A中有三个元素为、、（且），且， 依题意，A中除上述3个元素外，还有其它元素，设A中有一个元素为， 则，，且， 于是A中的元素为，且集合A中所有元素之积为， 由A中有一个元素的平方等于所有元素的积，设或，解得或． 此时，，，依题意，， 整理得，即，解得或或， 所以集合A中的元素为. 5．（1）如果集合，，证明：． （2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）. 【分析】(1)设，，，计算即可得． (2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可. 【详解】解:（1）证明：因为， 所以可设，，其中，，，， 则． 由，，，，可知，， 因此． （2）设，则（整数m，n互素）， 所以． 若，则与是互素的整数． 又m与n互素，所以， 所以当m，n互素，且时，且． 如取，，得，． 综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．） 题型四：根据元素的个数求参数 1．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据方程解的情况分类讨论求即可. 【详解】关于的方程为①，所以，解得或， ①整理可得，②，解集中只含一个元素，所以方程的解会有以下三种情况： ⑴方程②只有一个解，，解得，此时方程②的解为-1，符合要求； ⑵方程②有两个解，其中一个解为0，此时，代入②中解得或-2，符合要求； ⑶方程②有两个解，其中一个解为1，此时，代入②中解得或-3，符合要求； 综上所述或0或3. 故选：C. 2．若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据讨论方程解的情况，即得结果 【详解】时，，满足题意； 时，要满足题意，需 综上的取值范围是或 故答案为或 【点睛】本题考查根据集合元素个数求参数，考查基本分析求解能力，属中档题. 3．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 4．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 5．已知集合，若集合A中的元素至多有一个，求的取值范围. 【答案】或 【分析】分情况讨论，当时，符合题意；当时，由题意可知，关于的一元二次方程至多有一个根，，求解即可. 【详解】当时，的解，A中只有一个元素； 当时，若使得集合A中的元素至多有一个. 则需，关于的一元二次方程至多有一个根. 即 综上所述，或 【点睛】本题考查根据集合中元素个数，求参数取值范围，注意分情况讨论，属于中档题. 题型五：根据元素的互异性求参数 1．若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素的互异性即可求得应满足的范围. 【详解】由元素的互异性可知，所以. 故选：A 2．若，则的所有可能取值为 ． 【答案】2或0 【分析】分类讨论，若不满足元素互异性，则舍去，求出答案. 【详解】①当时，，此时不满足元素的互异性，舍去， ②当时，，此时集合为，符合题意， ③当时，或1，若，，此时不满足元素的互异性，舍去， 若，此时集合为，综上所述的可能值为2或0． 故答案为：2或0 3．已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 4．若集合A中含有3个元素，，，求满足的条件. 【答案】，且，且. 【分析】由集合中元素的互异性列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】由题意得，解得， ∴满足的条件是，且，且. 5．集合中，x应满足的条件 【答案】x≠0且x≠－1且x≠3 【分析】利用集合中元素的互异性求解. 【详解】由集合互异性知，故x≠0且x≠－1且x≠3. 题型六：列举法和描述法 1．将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出当时，的值，判断是否满足即可判断． 【详解】， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； ； ， 故选：D． 2．方程组的解集是（    ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】先利用方程组解集的表达形式排除ABD，再解出该方程组的解集，从而得解. 【详解】因为方程组的解集中元素应是有序数对形式，故排除选项A，B， 而D的集合表示方法有误，故排除选项D． 同时，由解得，故方程组的解集为，故C正确. 故选：C. 3．集合可用列举法表示为 . 【答案】 【分析】求得方程的根据，结合和集合的表示方法，即可求解. 【详解】由方程，解得或， 因为，所以，即集合. 故答案为：. 4．集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 5．设集合，则集合 ． 【答案】 【分析】由得的取值，求出所有满足题意的即可. 【详解】因为，所以， 解得，又， 则.即 故答案为：. 题型七：区间与集合的转化 1．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式利用区间表示即可. 【详解】因为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】（1）根据区间的表示方法表示即可， （2）由题意可得，从而可求出的取值范围. 【详解】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 3．用区间表示下列集合. （1） ； （2） . 【答案】 【分析】根据区间的定义可得答案. 【详解】由区间的概念及表示可得： （1）； （2）. 故答案为：；. 4．用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 5．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）. 【解析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等号的用闭区间，不含等号的用开区间. 【详解】集合中六个集合对应的区间分别为（1），（2），（3），（4），（5），（6）. 【点睛】本题考查集合的区间表示，属于基础题. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合及其表示方法 题型一：判断元素是否构成集合 题型二：判断元素与集合的关系 题型三：根据元素与集合的关系求参数 题型四：根据元素的个数求参数 题型五：根据元素的互异性求参数 题型六：列举法和描述法 题型七：区间与集合的转化 题型一：判断元素是否构成集合 1． 下列对象不能组成集合的是（    ） A．不超过 20的偶数 B．π的近似值 C．方程的实数根 D．最小的正整数 2.下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 3.下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 4.下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 5.以下对象的全体能否构成集合？ (1)河北红星工厂的员工； (2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手； (3)一次函数的图象上的若干个点； (4)不超过2 019的非负数． 题型二：判断元素与集合的关系 1． 已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 2．（多选） 已知集合且，定义集合，若，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知集合满足若且，则，小张同学迅速得出3个结论：（1）；（2）集合不可能是单元素集；（3）当取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中正确结论的序号为 4.设实数集是满足下面两个条件的集合：①；②若，则． (1)求证：若，则； (2)若，则中必含有其他的两个数，试求出这两个数； (3)求证：集合中至少有三个不同的元素． 5.已知是满足下列条件的集合：①，；②若，，则；③若且，则. (1)判断是否正确，并说明理由； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则. 题型三：根据元素与集合的关系求参数 1．已知，则 . 2．设集合，已知且，则实数的取值集合为 . 3．已知集合，若．求实数的值． 4．设数集A由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，则A中至少还有几个元素？ (2)集合A是否为双元素集合？请说明理由； (3)若A中元素个数不超过，所有元素的和为，且A中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A中的元素. 5．（1）如果集合，，证明：． （2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由． 题型四：根据元素的个数求参数 1．关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 2．若集合至多有一个元素，则的取值范围是 ． 3．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 4．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 5．已知集合，若集合A中的元素至多有一个，求的取值范围. 题型五：根据元素的互异性求参数 1．若集合，则应满足（   ） A． B． C． D． 2．若，则的所有可能取值为 ． 3．已知集合，，且，则集合 ． 4．若集合A中含有3个元素，，，求满足的条件. 5．集合中，x应满足的条件 题型六：列举法和描述法 1．将集合用列举法表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解集是（    ） A． B．{1} C． D． 3．集合可用列举法表示为 . 4．集合可用列举法表示为 ． 5．设集合，则集合 ． 题型七：区间与集合的转化 1．不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．（1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 3．用区间表示下列集合. （1） ； （2） . 4．用区间表示下列集合： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 5．用区间表示下列集合： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$