专题1.1 集合及其表示方法（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第一册

null 专题1.1 集合及其表示方法 教学目标 1.掌握用列举法和描述法表示集合； 2.能够用区间表示集合． 3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 教学重点：集合的表示、区间． 教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合． 知识点01 集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】由集合元素三要素逐个判断即可. 【详解】（1）（2）（5）的元素不确定，不能构成集合． （3）（4）（6）符合集合概念， 故选：B 知识点02 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 【即学即练】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据常用集合的符号和含义作出判断，得到答案. 【详解】，，，，①②③正确，④错误. 故选：C 知识点03 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 知识点04集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练】（24-25高一上·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 【答案】 【分析】解原方程组，可得其解集. 【详解】解方程组得，故原方程组的解集为. 故答案为：. 知识点05 区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 【答案】 【分析】由区间的定义可得. 【详解】由区间的定义可得，数集可表示为. 故答案为： 题型01 判断元素是否构成集合 【典例1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【答案】D 【分析】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【详解】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【答案】B 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合； 对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合； 对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； 对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合． 故选：B. 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【答案】D 【分析】根据集合中元素的特性即可判断. 【详解】只有选项有明确的标准，能构成一个集合． 故选：. 【变式3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【答案】C 【分析】由集合的三要素：确定性，互异性，无序性作出判断 【详解】A选项，“水平较高”不明确，不满足确定性，A选项不能组成集合； B选项：“长得高”不明确，不满足确定性，B选项不能组成集合； C选项：2007年所有的欧盟国家满足“确定性，互异性，无序性”能构成集合； D选项：“较发达”不明确，不满足确定性，D选项不能组成集合. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 【答案】C 【分析】利用可构成集合的元素的性质依次判断选项即可得解. 【详解】对于A，无法确定最大的正实数是哪一个数，故A错误； 对于B，无法确定最小的整数是哪一个数，故B错误； 对于C，平方等于1的实数为，可以构成集合，故C正确； 对于D，无法确定最接近1的实数是哪一个数，故D错误； 故选：C. 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【答案】C 【分析】利用集合的概念和集合的表示法判断即可. 【详解】对于A，中有一个元素0，中无任何元素，故与不是同一个集合，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，根据集合的无序性，可得由3，4，5组成的集合可表示为或，故C正确； 对于D，由集合的确定性，很小的实数不能构成集合，故D错误. 故选：C. 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 【变式3】（多选）（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【答案】CD 【分析】结合集合元素的特征检验各选项即可判断. 【详解】10以内的质数组成的集合是，故A正确； 由集合元素的无序性可知，2，3组成的集合可表示为或，故B正确； 根据集合的互异性可知，的所有解组成的集合是，故C错误； ：不含有任何元素的集合，：仅含有一个元素的集合，故D错误. 故选：CD. 【变式4】（多选）（21-22高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 【答案】BD 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，根据集合的无序性可知； 选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P； 选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=，=，故M=P； 选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合，故． 故选：BD． 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过列举法表示集合，逐项判断即可 【详解】，所以， 故A，C，D错误，B正确 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A选项，可设，所以，即，A错误；B选项，可设，所以，，B错误；C选项，，C正确；D选项，设，得到，D错误. 【详解】A选项，因为，可设， ， 所以，即，故A错误； B选项，因为， 所以，故B错误； C选项，因为，其中，所以，故C正确； D选项，因为，其中，所以，故D错误． 故选：C 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由几个数集的含义逐个判断即可. 【详解】，，正确， 因为是无理数，所以． 故选：C 【变式3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求出集合，利用元素与集合的关系判断. 【详解】依题意可得，所以. 故选：A. 【变式4】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 【答案】BC 【分析】用特殊值代入判断A，D，C,列举法根据性质性质①②，判断B. 【详解】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误， 对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确， 对于，因为，所以，因为，所以，故正确， 对于，若，则，故错误， 故选：. 题型04根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【答案】AC 【分析】根据元素与集合的关系，列式求解，即可得答案. 【详解】由题意知集合，且， 故当时，； 当时，，但是时，，违反集合元素的互异性， 故m的取值可为1，3， 故选：AC 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【详解】由且，得，解得． 故选：A 【变式2】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合的关系求出参数，求解方程从而得到集合. 【详解】，所以，时，， 解得或，即． 故选：D． 【变式3】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，求x的值. 【答案】或 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案. 【详解】∵，∴或，∴或. 当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意. 综上，x的值为或. 注意回代检验答案是否满足集合元素的互异性。 题型05 根据集合元素的个数求参数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 【变式2】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合元素个数，结合方程的解求出. 【详解】当时，方程只有一个解，集合只有一个元素，因此， 当时，由集合只有一个元素，得有相等的两个实根， ，解得， 所以或. 故选：C 【变式3】（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可知，方程的根只有一个，分当和当时，直接根据方程只有一个根求解即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，若集合只有一个元素， 由一元二次方程根的判别式，解得. 综上实数的值可以为，. 故选：AD 【变式4】（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 【答案】 【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解. 【详解】方程化为：， 由已知集合只有一个元素， ①，解得， 此时方程的解为，符合题意； ②是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； ③是方程的一个根，此时，方程即为， 此时方程的解为，符合题意； 所以k的取值集合为. 故答案为： 当最高项系数含参数时，容易忽略考虑最高项系数为0时的情况。 题型06 根据集合元素的互异性求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 【变式1】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】讨论对应元素，结合集合中元素的互异性确定参数值即可. 【详解】若，显然时不符合集合元素的互异性； 若，不符合集合元素的互异性； 若或，不符合集合元素的互异性； 综上，. 故选：C 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】时，可得，符合题意； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意； 时，可得，符合题意. 或均可以． 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【变式4】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则， 解得，可知BD符合题意， 故选：BD. 题型07 列举法与描述法 【典例1】（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （2）根据集合条件可计算出所有符合条件的元素，然后采用列举法写出集合即可； （3）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该数集集合； （4）采用描述法列出代表元素，写出限制条件即可得出该点集集合. 【详解】（1）因为，，所以均符合题意， 所以原集合可以表示为. （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合可以表示为. （3）设，则被5除余1的正整数所构成的集合可以表示为 . （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为. 故答案为：；；；. 【变式1】集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元一次不等式，写出集合中的元素，利用列举法可得答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 所以， 故选：B. 【变式2】（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【答案】ACD 【分析】根据描述法的特点逐项分析即可. 【详解】对A，奇数集可以表示为，故A正确； 对B，“小于10的整数”构成的集合可以表示为，故B错误； 对C，表示大于2的全体实数，故C正确； 对D，不等式的解集表示为，故D正确. 故选：ACD. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 题型08 区间与集合的转化 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据区间与集合的对应关系即可写出对应的区间表示. 【详解】（1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）区间等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间的定义判断即可. 【详解】根据区间的定义可知， 而. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 【答案】 【分析】由区间的概念结合一元一次不等的解法即可求解. 【详解】， ， . 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【答案】 【分析】根据区间的定义直接得到答案. 【详解】，. 故答案为：；. 【变式4】（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 【答案】 【分析】利用集合与区间的对应关系即可直接写出答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 故答案为：，，，. 一、单选题 1．（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所得结果列举出来即可. 【详解】现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，所得结果构成的集合为. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据题意求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题意可得：， 可知有3个元素. 故选：B 3．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的意义进行判断. 【详解】根据的意义,, 故选：C. 4．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据题意，采用列举法表示集合即可求解. 【详解】由题，可得， 所以集合含有6个元素. 故选：C. 5．（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】分别讨论当时的取值，进而可得元素个数. 【详解】当时，可能取值为， 当时，可能取值为， 当时，可能取值为. 故可能取值为，共6个. 故选：A 6．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据伙伴关系集合的定义，结合集合子集的定义求解即可. 【详解】因为伙伴关系集合满足与， 所以集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是，BCD符合题意， 而不是的子集，不符合题意． 故选：BCD. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由选项代入求解出，判断出是否为有理数，逐项判断即可. 【详解】当时，有，这与矛盾，故A不正确； 因为， 当时，有，都是有理数，所以B正确； 因为，当时，有都是有理数，所以C正确； 因为， 当时，有或，与矛盾，所以D不正确． 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 10．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合集合相等分析求解即可. 【详解】因为，显然， 则，即，可得， 此时，可得，所以. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合． (1)若，求集合A（用列举法表示）； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）代入，求出，然后求解集合A即可. （2）通过讨论当时，当时的情况，结合二次函数的性质求出实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，解得， 解方程可得或， 所以集合． （2）当时，方程为， 此时集合， 当时，集合中至多有一个元素只需判别式，即，即， 综上所述，a的取值范围是或 12．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么. （1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或或；（2）存在，. 【分析】（1）根据题意设集合，然后分类讨论与的大小，根据集合的性质解出，即可得解； （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，根据集合中元素的性质可知，，，进一步可知，，不妨设集合且，再根据集合中元素的性质可求得结果. 【详解】（1）集合A恰有两个元素且.不妨设集合， 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得(舍)或，所以集合 当时，由集合A的性质可知，，则或， 解得或(舍)或所以集合或 综上所述：或或. （2）假设存在一个含有元素0的三元素集合A，即， 当时，则无意义，当时，则无意义， 所以，，并且，，即， 不妨设集合且， 当时，由题意可知，， 若，即，解得或(舍)，此时集合； 若，则不成立； 若，即(舍)， 当时，由题意可知，， 若，则（舍）， 若，则（舍）， 若，则不成立， 综上所述，集合A是存在的，. 【点睛】本题考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合及其表示方法 教学目标 1.掌握用列举法和描述法表示集合； 2.能够用区间表示集合． 3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养． 教学重难点 教学重点：集合的表示、区间． 教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合． 知识点01 集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识拓展集合的三个特性： ①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明. ②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象. ③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业）以下对象的全体不能构成集合的个数是（   ） （1）高一（1）班的高个子同学；        （2）所有的数学难题； （3）北京市中考分数580以上的同学；    （4）中国古代四大发明； （5）我国的大河流；                    （6）大于3的偶数． A．2 B．3 C．4 D．6 知识点02 元素与集合的关系 (1)属于(belong to)：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于(not belong to)：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 【即学即练】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）下列关系中正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）若，的值为 . 知识点04集合的表示方法与分类 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 【即学即练】（24-25高一上·福建泉州·期中）方程组的解集为 . 知识点05 区间的概念 1区间的概念 设 ， 是实数，且，满足的实数的全体，叫做闭区间， 记作，即，。如图：， 叫做区间的端点．在数轴上表示一个区间时，若区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示． 集合 区间 2含有无穷大的表示 全体实数也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”，即。 集合 区间 【即学即练】（25-26高一上·全国·课后作业）将数集用区间表示为 ． 题型01 判断元素是否构成集合 【典例1】（24-25高一上·广东清远·阶段练习）给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年高考数学全国卷Ⅰ中的选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列各组对象可以构成集合的是（   ） A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数 C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数 【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）下列给出的对象中能构成集合的是（   ） A．著名物理家 B．很大的数 C．聪明的人 D．小于3的实数 【变式3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列选项中元素的全体可以组成集合的是（   ） A．学校篮球水平较高的学生 B．校园中长的高大的树木 C．2007年所有的欧盟国家 D．中国经济较发达的地区 【变式4】（24-25高一上·河南洛阳·阶段练习）以下四组对象，能构成集合的是（    ）. A．最大的正实数 B．最小的整数 C．平方等于1的实数 D．最接近1的实数 题型02 判断是否为同一集合 【典例1】（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列命题中正确的（    ） A．与表示同一个集合； B．方程的所有解的集合可表示为； C．由3，4，5组成的集合可表示为或； D．很小的实数可以构成集合． 【变式1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【变式3】（多选）（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）下面四个说法中不正确的是（ ） A．10以内的质数组成的集合是； B．由2，3组成的集合可表示为或； C．方程的所有解组成的集合是； D．与表示同一个集合. 【变式4】（多选）（21-22高一上·福建福州·阶段练习）下列各组中M、P表示不同集合的是（    ） A．， B． C．， D．， 题型03 判断元素与集合的关系 【典例1】（24-25高一下·湖南娄底·阶段练习）集合，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（    ）. A．. B．. C．若，则. D．若，则. 题型04根据元素与集合的关系求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·四川泸州·阶段练习）已知集合，且，则的可能取值有（    ） A．1 B．－1 C．3 D．2 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三下·云南昭通·阶段练习）设集合，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·陕西·阶段练习）若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式4】（2025高三·全国·专题练习）已知集合，且，求x的值. 注意回代检验答案是否满足集合元素的互异性。 题型05 根据集合元素的个数求参数 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【变式2】（24-25高一下·云南红河·开学考试）若集合中只有一个元素，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）若集合有且只有一个元素，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高三下·辽宁·阶段练习）已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为 当最高项系数含参数时，容易忽略考虑最高项系数为0时的情况。 题型06 根据集合元素的互异性求参数 【典例1】（多选）（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式1】已知，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）若，则的可能取值有（   ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【变式3】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 题型07 列举法与描述法 【典例1】（24-25高一·上海·课堂例题）用不同的方法表示下列集合： （1） ； （2） ； （3）所有被5除余1的正整数所构成的集合 ； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合 ． 【变式1】集合的另一种表示法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一下·河北保定·阶段练习）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 题型08 区间与集合的转化 【典例1】（23-24高一上·全国·课后作业）把下列数集用区间表示： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）区间等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·全国·课堂例题）用区间表示下列集合： ① ； ② ； ③ . 【变式3】（23-24高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为 ；用区间表示为 ． 【变式4】（23-24高一上·全国·课后作业）用区间表示下列集合： （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）： ． 一、单选题 1．（2025·四川成都·模拟预测）现有、、、四个数，从这四个数中任取两个相加，可以得到多少个不同的数（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南·期中）已知集合，则的元素个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．0 3．（24-25高二下·宁夏银川·期中）下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 4．（2025·宁夏银川·一模）已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 5．（24-25高三上·河南周口·期中）已知集合，则集合中元素的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（24-25高一上·福建泉州·期末）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 二、多选题 7．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]已知集合，则下列四个元素中属于M的元素的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·上海徐汇·期末）设是实数，集合，若，则 . 10．（24-25高一上·北京房山·期中）已知，集合，且，则 . 四、解答题 11．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知集合． (1)若，求集合A（用列举法表示）； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 12．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）由实数组成的集合A具有如下性质：若，且，那么. （1）若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A； （2）是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在请求出集合，若不存在，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$