广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期能力测试数学试卷

第 1 页,共 4 页 广州市天河中学高中部 2024 学年第二学期能力测试 高二数学试卷 命题人:朱燕红 审题人:董磊 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4页,满分 150分,考试用时 120分钟 一、 单选题(每小题 5分,共 40分) 1.设{? ? }是等比数列,且? ? + ? ? + ? ? = ? ,? ? + ? ? + ? ? = ? ,则? ? + ? ? + ? ? = ( ) A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 2.在(? − 2)8的二项展开式中,二项式系数的最大值为? ,含? 5项的系数为? ,则 ? ? =( ) A. 5 32 B. − 5 32 C. 32 5 D. − 32 5 3.将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动,要求每个社区至少安排1名志愿者,每名志 愿者只能到一个社区,则不同排法共有( ) A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 4.已知? = 0是函数? (? ) = ? 3 − ? ? 2 + (? 2 + ? )? − 2的极小值点,则? (? + 1) =( ) A. −2 B. 0 C. −1 D. −1或−2 5. 为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物实验,收集整理数据后将所得结果填入相 应的2 2列联表中.由列联表中的数据计算得? 2 ≈ 10.921.参照附表,下列结论正确的是( ) ? (? 2 ≥ ? 0) 0.025 0.010 0.005 0.001 ? 0 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 6. 已知函数? (? ) = 1 2 ? 2 − ? ln? + ? 在[1, +∞)上单调递增,则实数? 的取值范围是( ) A. ? ≤ 0 B. 0 ≤ ? ≤ 1 C. ? ≤ 2 D. ? < 2 7.已知变量? ,? 的关系可以用模型? = ? ? kx拟合,设? = lny,其变换后得到一组数据如下: 由上表可得线性回归方程? ? = −5? + ? ,则? = ( ) 第 2 页,共 4 页 A. −5 B. ? −5 C. 126.5 D. ? 126.5 8. 已知定义在? 上的奇函数? (? ),其导函数为? ′(? ),? (−3) = 0,当? > 0时,3? (? ) + ? ? ′(? ) < 0, 则使得? (? ) < 0成立的? 的取值范围是( ) A. (−∞, −3) ∪ (0,3) B. (−3,0) ∪ (3, +∞) C. (−∞, −3) ∪ (3, +∞) D. (−∞, −3) ∪ (−3,0) 二、多选题(每小题 6分,共 18分) 9.如图是一块高尔顿反示意图:在一木块上钉着苦干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木 钉之间留着适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每 次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为1,2, 3,4,5,用? 表示小球落入格子的号码,则( ) A. ? (? = 1) = 1 16 B. ? (? = ? ) ⩽ ? (? = 3)(? = 1,2,3,4,5) C. ? (? ) = 5 2 D. ? (? ) = 1 10.已知数列{? ? }的前? 项和为? ? ,? 1 = 1,? ? +1 = ? ? + 2? ? + 1,数列{ 2? ? ? ? ? + 1 }的前? 项和为? ? ,? ∈ ?  ∗,则下列选项正确的是( ) A. 数列{ ? ? + 1}是等差数列 B. 数列{ ? ? + 1}是等比数列 C. 数列{ ? ? }的通项公式为? ? = 2 ? − 1 D. ? ? < 1 11.一组成对样本数据(? 1, ? 1),(? 2, ? 2),⋯,(? ? , ? ? )(? ≥ 10, ? ∈ ? ∗)的散点位于一条直线附近,它 的样本相关系数? = ∑ (? ? =1 ? ? −? )(? ? −? ) √ ∑ (? ? =1 ? ? −? ) 2√ ∑ (? ? =1 ? ? −? ) 2 (其中? = 1 ? ∑ ? ? ? ? =1 ,? = 1 ? ∑ ? ? ? ? =1 ),由最小二乘法求得 经验回归方程? = ? ? ? + ? (其中? ? = ∑ (? ? =1 ? ? −? )(? ? −? ) ∑ (? ? =1 ? ? −? ) 2 ),则( ) A. 若? > 0,则? ? > 0 B. 若? ? = ? ? − 2(? = 1,2, ⋯ , ? ),则成对数据(? ? , ? ? )的样本相关系数? 1等于? C. 若? ? = 2? ? (? = 1,2, ⋯ , ? ),则成对数据(? ? , ? ? )的样本相关系数? 2大于? D. 若? ? = 2? ? (? = 1,2, ⋯ , ? ),则成对数据(? ? , ? ? )的经验回归方程? ? = 2 ? ? ? + 2 三、填空题(每小题 5分,共 15分) 12. 已知数列{? ? }满足? 1 = ? 2 = 1,且? ? +2 = { 2? ? , ? 为奇数 ? ? + 1 , ? 为偶数 ,该数列前20项和? 20 =_. 13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一,同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物,表达了 人民对幸福生活的一种向往和期盼.在广东省流行四式汤圆,这四式汤圆指的是四种不同的馅:绿 第 3 页,共 4 页 豆、红豆、糖冬瓜、芋头,小王在今年元宵节时,盛了一碗(10个)汤圆,其中绿豆馅、红豆馅的汤 圆各4个,糖冬瓜馅、芋头馅的各1个,则小王在碗里随机取的4个汤圆中,在吃到1个芋头馅的前提 下,4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为_. 14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练,球从甲手中开始,等可能地随机传向另外 5人中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人,如此不停地传下去,假设传出 的球都能被接住.记第? 次传球之后球在乙手中的概率为? ? ,则? 3 = _,? ? = _. 四、解答题 15.已知数列{? ? }是公比为2的等比数列,? 3,? 4,? 5 − 8成等差数列. (1)求数列{? ? }的通项公式; (2)若? ? = ? ? ? 2? ? ? ? ,设数列{? ? }的前? 项和? ? ,求证: 1 2 ≤ ? ? < 2. 16.某市航空公司为了解每年航班正点率? %对每年顾客投诉次数? (单位:次)的影响,对近8年(2015 年~2022年)每年航班正点率? %和每年顾客投诉次数? 的数据作了初步处理,得到下面的一些统计 量的值. ∑ ? ? 8 ? =1 ∑ ? ? 8 ? =1 ∑ ? ? 8 ? =1 ? ? ∑(? ? − ? ) 2 8 ? =1 600 592 43837.2 93.8 (1)求? 关于? 的经验回归方程; (2)该市航空公司预计2024年航班正点率为84%,利用(1)中的回归方程,估算2024年顾客对该市航 空公司投诉的次数; (3)根据数据统计,该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为 1 2 ,现从该市所有顾客中随机抽 取4人,记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为? ,求? 的分布列和数学期望.附:经验回归直线 ? ? = ? ?? + ? ?的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:? ? = ∑ ? ? ? ? =1 ? ? −? ? ? ∑ (? ? −? )2 ? ? =1 , ? = ? − ? ? ? 17. 已知函数? (? ) = ? e? − ? . (1)讨论函数? (? )的单调性; (2)设? (? ) = ? (? ) − ? 2 + ? + 3,若函数? (? )有两个零点,求? 的取值范围 第 4 页,共 4 页 18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单,其中好评订单有600个,其余均为非好评订单.为 了提升菜品品质,增加营业额,该餐馆在2025年1月份更换了厨师,更换厨师后该餐馆2025年1月份 共有2000个线上外卖订单,其中好评订单有1600个,其余均为非好评订单. (1)根据统计数据,完成下列表格,并依据小概率值? = 0.01的独立性检验,分析该餐馆订单的好评 率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 (2)现从更换厨师前的订单中按好评和非好评,按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访, 再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价,记抽取的3个订单中好评的订单个 数为? ,求? 的分布列和数学期望. (3)用样本频率估计总体概率,现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单,记其中好评的订单 个数为? ,求使事件“? = ? ”的概率最大时? 的值. 附:? 2 = ? (? ? −? ? )2 (? +? )(? +? )(? +? )(? +? ) ,其中? = ? + ? + ? + ? . ? 0.1 0.05 0.01 0.005 ? ? 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数? (? ) = ? ? ? − ln? + ? − ? . (1)若? (? ) ≥ 0,求? 的取值范围; (2)证明:若? (? )有两个零点? 1,? 2,则? 1? 2 < 1.