精品解析：广东省广州市天河中学2024-2025学年高二下学期能力测试数学试卷

广州市天河中学高中部2024学年第二学期能力测试 高二数学试卷 命题人：朱燕红 审题人：董磊 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 2. 在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先写出二项展开式的通项，由此得出二项式系数的最大值，以及含项的系数，进而可求出结果. 【详解】因为的二项展开式的通项为：， 因此二项式系数的最大值为：， 令得 ， 所以，含项的系数为， 因此. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求二项式系数的最大值，以及求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 3. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算分组方法，再按照分组分配的方法，列式求解. 【详解】首先将6名志愿者分成1，1，1，3，或1，1，2，2两种分组形式， 1，1，1，3的分组包含种情况， 1，1，2，2的分组包含种情况， 这样分组后再分配到4个不同社区共有种方法. 故选：B 4. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求得，根据是函数的极小值点，求得 ，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极小值点，可得，解得 或 ， 当 时， ，此时函数在上单调递增，不符合题意，舍去； 当 时，， 令，解得或；令，解得， 所以在上单调递增，在上点单调递减， 所以是函数的极小值点，符合题意， 所以 ，此时，所以. 故选：A. 5. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 【答案】A 【解析】 【分析】根据与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断； 【详解】因为，即， 所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”或有99.9%以上的把握认为“药物有效”． 故选：A． 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题可知在上 恒成立.再参变分离求解函数最值即可. 【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立. 又,其导函数恒成立.故的最小值为.故. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题. 7. 已知变量 的关系可以用模型拟合，设 ，其变换后得到一组数据如下： 16 17 18 19 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程，则（ ） A. －5 B. C. 126.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据求,，代入回归方程求参数，结合 得，由方程的形式可知，即可求c. 【详解】由表格数据知：,, 由可得到； 由 得，， 所以，即. 故选：D 8. 已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据题意可得函数为偶函数以及其单调性，再分以及 讨论即可得出答案． 【详解】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在 上单调递增， 又，则， 当时，由 ，可得，即，解得； 当 时，由 ，可得，即，解得； 综上，不等式 的解集为,,． 故选：B． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，则，分别计算出概率，计算出方差后可判断各选项． 【详解】解：设，依题意，， 所以，故A正确； ， ,则成立，故B成立， ，故C不正确； ，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知数列的前项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，结合等比数列定义可得A、B；由等比数列性质可得C；裂项求和后可得D. 【详解】对A、B：由，则， 故，又 ， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故A错误、B正确； 对C：，则，故C正确； 对D：， 则，故D正确. 故选：BCD. 11. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ） A. 若 ，则 B. 若，则成对数据的样本相关系数等于 C. 若，则成对数据的样本相关系数大于 D. 若，则成对数据的经验回归方程 【答案】AB 【解析】 【分析】根据相关系数的公式和的公式，以及相关系数的意义，即可判断选项. 【详解】A.若 ，变量正相关，所以，故A正确； B.因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确； C.因为，则成对数据的相关系数，故C错误； D.当，由可知，新的回归直线方程种斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D错误. 故选：AB 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足 ，且，该数列前20项和________． 【答案】1078 【解析】 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，在吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（吃到 个芋头馅的概率）和（吃到 个芋头馅且个汤圆中恰有种不同馅的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：吃到 个芋头馅.事件B：个汤圆中恰有种不同馅. 从10个汤圆中随机取个的总组合数为. 吃到 个芋头馅，即从 个芋头馅汤圆中选 个，再从剩下的 个汤圆中选个，组合数为，，所以.  吃到 个芋头馅且个汤圆中恰有种不同馅有两种情况： 情况一：芋头馅 个，绿豆馅个，红豆馅 个，组合数为， 情况二：芋头馅 个，绿豆馅 个，红豆馅个，组合数为. 情况三：芋头馅 个，糖冬瓜馅 个，绿豆馅个，组合数为.  情况四：芋头馅 个，糖冬瓜馅 个，红豆馅个，组合数为. 则.   根据条件概率公式，将，代入可得： .  故答案为：. 14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第次传球之后球在乙手中的概率为．则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据传球规则可求出之间的递推公式，再结合等比数列定义即可得出是等比数列，求出其通项公式即可得出结果. 【详解】依题意可知， 第次传球之后球在乙手中，则当时，第次传球之后球不在乙手中的概率为， 第次传球有的可能传给乙，因此， 于是，而， 则是以为首项，公比为的等比数列； 所以，即， 时，适合上式，故. 当时，可得. 故答案为：，. 四、解答题 15. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，求得 ，结合等比数列的通项公式，即可求解；（2）由（1）知，得到，利用乘公比错位相减法求和，得到，结合数列的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：因为成等差数列，所以， 又因为数列是公比为的等比数列，所以， 解得 ，所以， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 解：由（1）知，则 可得， 则， 两式相减，可得 ， 所以， 因为， 所以数列是递增数列，则， 又因为，可得， 综上可得：. 16. 某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1） （2） （3）分布列为： 【解析】 【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，即可得解； （2）将 代入回归方程即可得解； （3）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 ， 则 ， 所以 ， 所以 ； 【小问2详解】 当 时， ， 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为次； 【小问3详解】 可取 ， ，， ，， ， 所以分布列为 所以 . 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若函数有两个零点，求的取值范围 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间； （2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线 与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时， ，所以在上单调递减； 当时，当时， ，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 ， 函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根， 也即方程有两个不相等的实数根， 即直线 与函数的图象有两个交点， 令，则， 当或时， ，当 时， ， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，，且， 所以，函数的图象大致如图， 则的取值范围是. 18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值 的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时 的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1） 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 有关联； （2） 1 2 3 期望为； （3）80. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算的值，将其与 对应的小概率值比较即得. （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得. （3）由已知可得，利用二项分布概率公式求出概率表达式，再利用作商法求得使事件“”的概率最大时 的值. 【小问1详解】 列联表如下： 好评 非好评 合计 更换厨师前 600 200 800 更换厨师后 1600 400 2000 合计 2200 600 2800 零假设为餐馆订单的好评率与更换厨师无关联， 根据列联表中数据，经计算得到， 根据小概率值 的独立性检验，推断不成立， 即认为该餐馆订单的好评率与更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8个订单中，好评订单有个，非好评有2个， 而从这8个订单中随机抽取3个，其中好评的订单个数的可能值有 ， 则， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 【小问3详解】 依题意，更换厨师后好评率为， 从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，则， 于是， 由， 由，解得，而，则当时，单调递增； 由，解得，则当时，单调递减， 所以使事件“”的概率最大时 的值为80. 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 【答案】（1） （2）证明见的解析 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 [方法一]：常规求导 的定义域为，则 令 ,得 当单调递减 当单调递增， 若 ,则,即 所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得： 令，则即 令，则 故在区间 上是增函数 故，即 所以的取值范围为 【小问2详解】 [方法一]：构造函数 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证 因为,即证 又因为 ,故只需证 即证 即证 下面证明 时， 设， 则 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式 由题意得： 令，则， 所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即 下证 因为 不妨设，则只需证 构造，则 故在上单调递减 故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式 这个函数经常出现，需要掌握 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学高中部2024学年第二学期能力测试 高二数学试卷 命题人：朱燕红 审题人：董磊 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 2. 在的二项展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 将6名志愿者安排到4个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只能到一个社区，则不同排法共有（ ） A. 480种 B. 1560种 C. 2640种 D. 640种 4. 已知是函数的极小值点，则（ ） A. B. 0 C. D. 或 5. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的列联表中.由列联表中的数据计算得.参照附表，下列结论正确的是（ ） 0.025 0.010 0.005 0.001 5.02 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效” B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效” C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效” D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效” 6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知变量 的关系可以用模型拟合，设 ，其变换后得到一组数据如下： 16 17 18 19 50 34 41 31 由上表可得线性回归方程，则（ ） A. －5 B. C. 126.5 D. 8. 已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 如图是一块高尔顿反示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前 项和为，数列的前 项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 11. 一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则（ ） A. 若 ，则 B. 若，则成对数据的样本相关系数等于 C. 若，则成对数据的样本相关系数大于 D. 若，则成对数据的经验回归方程 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知数列满足 ，且，该数列前20项和________． 13. 汤圆是汉族传统小吃的代表之一，同时也是中国的传统节日元宵节最具有特色的食物，表达了人民对幸福生活的一种向往和期盼．在广东省流行四式汤圆，这四式汤圆指的是四种不同的馅：绿豆、红豆、糖冬瓜、芋头，小王在今年元宵节时，盛了一碗（10个）汤圆，其中绿豆馅、红豆馅的汤圆各4个，糖冬瓜馅、芋头馅的各1个，则小王在碗里随机取的4个汤圆中，在吃到1个芋头馅的前提下，4个汤圆中恰有3种不同馅的概率为________． 14. 甲、乙、丙、丁、戊、已6名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住．记第 次传球之后球在乙手中的概率为．则______，______． 四、解答题 15. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前n项和，求证：． 16. 某市航空公司为了解每年航班正点率 对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年～2022年）每年航班正点率 和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于 的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2024年航班正点率为 ，利用（1）中的回归方程，估算2024年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 17. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）设，若函数有两个零点，求的取值范围 18. 某餐馆2024年12月份共有800个线上外卖订单，其中好评订单有600个，其余均为非好评订单.为了提升菜品品质，增加营业额，该餐馆在2025年1月份更换了厨师，更换厨师后该餐馆2025年1月份共有2000个线上外卖订单，其中好评订单有1600个，其余均为非好评订单. （1）根据统计数据，完成下列表格，并依据小概率值 的独立性检验，分析该餐馆订单的好评率是否与更换厨师有关联. 好评 非好评 合计 更换厨师前 更换厨师后 合计 （2）现从更换厨师前的订单中按好评和非好评，按比例用分层随机抽样法抽取8个订单进行电话回访，再从这8个订单中随机抽取3个订单发放新品品尝券并让顾客评价，记抽取的3个订单中好评的订单个数为，求的分布列和数学期望. （3）用样本频率估计总体概率，现从更换厨师后所有订单中随机抽取100个订单，记其中好评的订单个数为，求使事件“”的概率最大时 的值. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 19. 已知函数． （1）若，求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $