精品解析：河北省保定市示范高中2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题

2024~2025学年高三5月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，即得虚部. 【详解】由可得，其虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可解不等式求得集合，根据并集定义可求得结果. 【详解】由得：，解得：，， 又，. 故选：A. 3. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线， 当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交. 当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面. 综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题. 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可求角的正切，再结合二倍角公式及齐次化可得. 【详解】设为直线上异于原点的点且在直线上，则， 则. 故选：B. 5. 某车间主任为了预估该车间一天加工零件的个数，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，这4次试验的数据如下表： 零件数（个） 10 20 30 40 加工时间（分钟） 28 60 92 120 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计加工这样的零件100个需要的时间是（ ） A. 306分钟 B. 310分钟 C. 320分钟 D. 324分钟 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，利用回归直线方程为求出，再代入100计算即可. 【详解】由已知，所以. 当时，（分钟）. 故选：A. 6. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由余弦定理可得，在中易得，，即可利用数量积的定义求解. 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 7. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【详解】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求导判断函数在上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性，求出函数在上的值域，继而可求出参数范围. 【详解】由，求导得， 则当 时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，，即当时，， 由奇函数的性质可知时，，故时有， 如图所示，，都有，所以， 故由恒成立可得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的图象关于原点对称 C. 若，则 D. ，都有成立 【答案】CD 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，结合相位的取值范围来研究正弦型函数的单调性，对称性和值域，从而来判断各选项即可. 【详解】对于A，若，则， 所以，或， 即，或，故A错误； 对于B，又， 由于，所以不可能是奇函数， 则的图象不可能关于原点对称，故B错误； 对于C，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以， 又，即， 所以，都有成立，故D正确． 故选：CD． 10. 设函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 可能为单调递增函数 【答案】AD 【解析】 【分析】通过赋值得到即可判断A，BCD则通过举例的方法说明. 【详解】因为，又，所以，即，故A正确； 取满足题意，故B､C均错误； 取函数满足题意，且为上的增函数，故D正确． 故选：AD 11. 已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ） A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于1 D. 当，有公共点时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A根据条件求出点的轨迹方程即可判断；B当为的上、下顶点时，的面积最大；C取特殊点即可；D联立的两个方程得出，即，再结合椭圆的性质即可求出. 【详解】设，由，得， 将代入得 ， 所以关于轴对称； 由，知为椭圆，易得其方程为， 所以关于轴对称，故A正确； 当为的上、下顶点时，的面积最大， 故，故B错误； 当时，， 令，得，解得，即， 故当时，点的纵坐标的最大值大于1，C正确； 由椭圆的方程，得， 代入， 得，所以， 因为，所以，解得或（舍去），D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线焦半径公式即可求解． 【详解】由题意知，所以， 由及抛物线定义，得，解得． 故答案为：2． 13. 已知函数和的零点分别为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由反函数的性质、函数零点与方程的关系即可求解. 【详解】令， 则函数和的图象与函数交点的横坐标分别为，又易得和的图象关于对称， 设和与的交点坐标分别为， 可知交点坐标也关于直线对称，所以，即. 故答案为：2. 14. 甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为抽取5张，且甲抽取的张数字之和为，乙抽取的两张卡片数字之和不为10，再分类讨论每种情况的种类数，最后利用古典概型的概率公式求解. 【详解】根据题意可知甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束相当于从6张卡片中抽取了5张，且甲抽取的三张卡片数字之和为10，乙抽取的两张卡片数字之和不为10， 则总的情况相当于从6张卡片中抽取了5张并进行排列，即共种排法， 其中三张卡片数字之和为10的组合有1，3，6；1，4，5；2，3，5共3种情况， 两张卡片数字之和为10的组合有，一种情况， 当甲抽取的数字为1，3，6；1，4，5时，乙在剩余的3个数字中随意抽取两张卡片再进行排列，共有种； 当甲抽取的数字为2，3，5时，若乙抽取的两张卡片数字可能为4，6，此时不合题意， 此时共有种， 所以符合题意的排列总数为种，可得所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲. （1）补全列联表： 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 女性 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？ （3）该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 20 40 60 女性 30 10 40 合计 50 50 100 0 1 2 3 （2）与性别有关联 （3） 【解析】 【分析】（1）结合题意计算数据，补全列联表即可. （2）依据列联表计算出，再进行独立性检验即可. （3）利用分层抽样结合组合数的性质求出对应概率，再求出分布列，最后利用期望公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 补全列联表如下. 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 20 40 60 女性 30 10 40 合计 50 50 100 【小问2详解】零假设：喜欢哪款商品与性别无关联， 则， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为喜欢哪款商品与性别有关联. 【小问3详解】 由题意得， 所以12人中有老年人6人，中年人4人，青年人2人， 则的所有可能取值为， ，， ，， 则分布列为： 0 1 2 3 由期望公式得. 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线得，再结合点在双曲线上得基本量，故可得双曲线方程； （2）设直线的方程为，，联立直线方程和双曲线方程消元后得中点坐标，结合垂直关系可求，故可得直线方程. 【小问1详解】 双曲线的一个渐近线方程为， 得，即， 因为点在双曲线上，所以，即， 解得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1），得. 设直线的方程为，，， 联立消去，得，， 所以，，即. 因为，所以，又，， 所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 17. 已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数极值点与导函数零点的关系可知，函数导数由两个零点，则对函数求导，写出关于参数的不等式；构造新的函数，求出函数单调性和极值点，判断参数范围. （2）设出函数的两个零点，判断零点所在区间，带入函数中，得函数零点的方程，根据对数运算方法，构造出的函数，求出构造函数的单调性和最值，求得答案. 【小问1详解】 ，， 由题知有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根. 令，则， 因为，所以当，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 在处取得极大值， 且，当时，， 当有两个不等的实数根时，必须且只需， 即的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知的两个根分别是，，且， 令，则，由，可得， 所以，. 令，则， 令，则， 所以在区间上单调递增，则. 所以，即在区间上单调递增， 即， 所以，即， 所以的最大值为. 18. 如图，圆锥的母线长为3，侧面积为，为底面半圆弧上一点，是线段上一点，点满足. （1）试判断是否存在点，使得平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在圆锥的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值. 【答案】（1）存在； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）取的中点和为的中点依次得和，再由面面平行的判定定理得到平面平面即可求证平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，再由即可求解； （3）根据圆柱的体积最大时情况设此时内接圆柱底面圆的半径为，得到圆柱的高为，接着由圆柱的体积公式得到，再由导数工具即可求出最值，进而得解. 【小问1详解】 取的中点，则由题可得， 因为平面，在平面外，所以平面外， 当为的中点时，， 因为平面，在平面外，所以平面外， 又，所以平面平面， 因为平面，所以平面. 所以存在点为的中点，使得平面； 【小问2详解】 设圆的半径为，因为圆锥的母线长为3，侧面积为， 所以，解得， 在中，， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则 令，则，，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由题知，当圆柱的体积最大时，圆柱的上底面圆周在圆锥的侧面上， 设此时内接圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为， 所以圆柱的体积为， 所以， 所以时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当圆柱的半径为时，取得最大值，此时， 又圆锥的体积为，所以. 19. 我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数，又称取整函数，现定义，例如，.设无穷数列满足：，其中，. （1）若，求，，； （2）若，且无穷数列是常数列，求满足要求的的个数； （3）对任意给定的有理数，求证：，使得. 【答案】（1）， ， （2）4 （3） 因为是有理数，所以是有理数，且， 又，所以也是有理数，且， 所以对任意，是有理数，且， 若，则，使得，结论得证； 若，可设，其中，，且互质，由，得， 由可设，其中，，，所以，由，得， 又，所以，所以， 当时，，所以，使得. 当时，，又因为，，且，互质，所以. 所以数列单调递减. 因为是给定的有理数，所以是定值，又，，，且，互质，所以是定值且为正整数， 设，若，，，都不等于0，则， 所以，，，，是互不相等的个正整数，且都不大于，但不大于的正整数只有个，矛盾. 所以，，，中必然有等于0的项，即，且，使得，结论得证. 综上所述，，使得. 【解析】 【分析】（1）根据题意代入计算即可求解； （2）由题意得即，分类讨论求解即可； （3）因为是有理数，对任意，是有理数，且，分，两种情况证明，当时，设，由可设，由，得，进而可证当时，，当时，，结合题意得出矛盾，进而得证. 【小问1详解】 由，得，， ； 【小问2详解】 若无穷数列是常数列，则，所以； 若，则，，，所以无穷数列是常数列. 由，得.当，即时，，即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以； 当，即时，， 即，解得或，又，所以. 综上所述，满足要求的的个数是4； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年高三5月质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. C. 1 D. i 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 某车间主任为了预估该车间一天加工零件的个数，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，这4次试验的数据如下表： 零件数（个） 10 20 30 40 加工时间（分钟） 28 60 92 120 若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计加工这样的零件100个需要的时间是（ ） A. 306分钟 B. 310分钟 C. 320分钟 D. 324分钟 6. 如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（ ） A. 3 B. C. D. 7. 在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的奇函数，当时，，若，，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 的图象关于原点对称 C. 若，则 D. ，都有成立 10. 设函数的定义域为，且当时，，则（ ） A. B. C. D. 可能为单调递增函数 11. 已知点，，，是坐标平面上的两个动点，设满足的点的轨迹为曲线，满足的点的轨迹为曲线，则（ ） A. 均关于轴对称 B. 面积的最大值为 C. 当时，点的纵坐标的最大值大于1 D. 当，有公共点时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则_____． 13. 已知函数和的零点分别为，则__________. 14. 甲、乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号1，2，3，4，5，6的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于10或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，则甲抽了3张卡片时，游戏恰好结束的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某超市经理为了解顾客对某商品甲、乙两款的喜爱程度是否与性别有关，在街头随机抽取了100人做调查研究，其中喜欢甲与乙的人数各占一半，男性占总人数的60%，且女性中有75%的人喜欢甲. （1）补全列联表： 喜欢甲 喜欢乙 合计 男性 女性 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢哪款商品与性别有关联？ （3）该经理针对女性客户做了调查，在3·15活动当天，女性客户中有老年人162人，中年人108人，青年人54人，按分层抽样选出12人，又从这12人中随机抽出3人作为幸运顾客，这3人中的老年人人数设为随机变量，请求出的分布列与数学期望. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 16. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）已知双曲线的右焦点为，点，斜率为1的直线与双曲线交于不同的两点，，且为线段的中点，若，求直线的方程. 17. 已知函数有两个极值点，. （1）求实数的取值范围； （2）若，求的最大值. 18. 如图，圆锥的母线长为3，侧面积为，为底面半圆弧上一点，是线段上一点，点满足. （1）试判断是否存在点，使得平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在圆锥的内部（含表面上的点）作一个圆柱，且圆柱的其中一个底面在圆锥的底面上，记圆锥的体积为，圆柱的体积为，当圆柱的体积最大时，求的值. 19. 我们把不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数称为高斯函数，又称取整函数，现定义，例如，.设无穷数列满足：，其中，. （1）若，求，，； （2）若，且无穷数列是常数列，求满足要求的的个数； （3）对任意给定的有理数，求证：，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $