精品解析：浙江省诸暨市海亮教育 2024-2025 学年下学期期中联考八年级数学试卷

海亮教育 2024 学年第二学期期中联考试卷 八年级数学 分值：100 分 时间：90分钟 命题人：吴国和 审题人：王丽丽 一、选择题（每小题3 分，共 30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，从“整式方程” “只含一个未知数” “未知数最高次数是”这几个条件出发，逐一分析每个选项是否符合．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为这三个条件”是解题的关键． 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，符合一元二次方程的定义． 选项B：，未知数最高次数是，是一元一次方程，不符合． 选项C：，方程中含有根式，不是整式方程，不符合一元二次方程“整式方程”的要求． 选项D：，未知数最高次数是，是一元三次方程，不符合． ∴是一元二次方程的是选项A． 故选：A 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 4. 一组数据：1，2，3，5，7，8，8的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数的定义进行解答即可得出答案. 本题考查了中位数的定义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为：1，2，3，5，7，8，8， ∴这组数据的中位数为5， 故选：B． 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程．根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 6. 如图是李大伯连续6天用于体育锻炼的时间统计，下列说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 6天时间的众数是50分钟 B. 6天时间的中位数是50分钟 C. 6天时间的平均数是50分钟 D. 6天时间的极差（最大值与最小值的差）是40分钟 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、极差的定义，理解理解“平均数：，一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中间两个数的平均数为中位数．”是解题的关键． 【详解】解：A. 6天时间的众数是分钟，结论错误，故不符合题意； B. 6天时间的中位数是分钟，结论错误，故不符合题意； C. 6天时间的平均数是分钟，结论错误，故不符合题意； D. 6天时间的极差是分钟，结论正确，故符合题意； 故选：D． 7. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. a D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题解题思路为：先依据二次根式的性质对进行化简，再结合判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后进行计算．本题主要考查了二次根式的性质以及绝对值的性质，熟练掌握二次根式和绝对值的性质，根据的取值范围正确去掉绝对值符号是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∴ ． 故选：D 8. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（ ） A. 至少有两个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至少有一个内角是直角 D. 每一个内角都不是直角 【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 9. 如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边中线性质以及梯形中位线性质，熟练掌握“平行四边形对边相等、直角三角形斜边中线等于斜边一半、梯形中位线平行于两底且等于两底和的一半”是解题的关键．先利用直角三角形斜边中线性质求出的长度，再结合平行四边形性质与的条件，得出是梯形的中位线，进而求出的长度，最后根据平行四边形对边相等求出． 【详解】解：∵，点是中点，， ∴ ． ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴是梯形的中位线． ∴， ∵，， ∴， 解得 ． ∵四边形是平行四边形，， ∴ ． 故选：C ． 10. 已知实数m、n满足，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 3或 【答案】B 【解析】 【分析】解题思路是通过换元法，把设为一个新的变量，将原方程转化为关于的一元二次方程，然后求解这个方程，再根据的非负性确定其值．本题主要考查了换元法解一元二次方程以及平方数的非负性，熟练掌握换元法将复杂方程简化，同时牢记平方数的非负性对结果进行取舍是解题的关键． 【详解】解：设（，）， ∵平方数非负，、的和也非负， ∴原方程可化为 ． 展开式子得，即 ． 因式分解得 ， 解得或 ． 又∵， ∴舍去， 故， 答案选B ． 二、填空题（每小题3 分，共 18分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 12. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 【答案】九 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；设这个多边形的边数是n，利用多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】设这个多边形的边数是n，则有， 化简得， 解得， 这个多边形是九边形． 故答案为：九． 13. 已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 14. 如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定与性质可得，根据勾股定理的逆定理可得，再根据平行四边形的性质可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】解：平分交于点， ， 四边形是平行四边形， ， 则， ， 则， 在平行四边形中，， 在中，，则， 即， 是直角三角形，且， ， ， 在中，，由勾股定理可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 15. 已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的非负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的非负性得出，再根据完全平方公式和绝对值的非负性得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质求出、，根据“直角三角形的两锐角互余”求出，结合等腰直角三角形的性质、三角形外角性质求出，设,根据平行四边形的性质求出,利用证明，根据全等三角形的性质得出,根据勾股定理求出，然后求得的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，M是的中点， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：，或 (舍去）， ∴． 故答案为：2 三、解答题（共 52分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． （2）先根据平方差公式展开以及运用二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将原方程化为，再将方程左边的多项式进行因式分解，进而将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； （2）将原方程化为，再将方程左边的多项式进行因式分解，进而将原方程化为两个一元一次方程进行求解即可； 解题的关键是掌握解一元二次方程的基本方法（直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 ， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 19. 如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 【答案】（1） 由题意画图如下： （2） 由题意，画图如下： 【解析】 【分析】本题考查设计轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键： （1）画一个平行四边形即可； （2）画一个等腰梯形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 【答案】（1）9.5；10 （2）分， （3）乙 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键. （1）根据中位数和众数的确定方法，进行求解即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可； （3）根据方差进行判断即可． 【小问1详解】 解：将甲队数据排序后，位于中间的2个数据是9和10， ∴中位数为（分）； 乙队数据中出现次数最多的是10，故众数为10分； 故答案为：9.5；10 【小问2详解】 （分）； ； 【小问3详解】 ∵，甲队成绩的方差是1.4，； 故成绩较为整齐的是乙队； 故答案为：乙． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． （2）若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴方程总有2个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 22. 如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1） 解：连接，交于， 在平行四边形中，，， ∵， ， 又， ∴， ∴， 四边形是平行四边形； （2）平行四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，含角的直角三角形，平行四边形的面积公式，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行四边形的对角线互相平分的性质，和，即可证明，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形， （2）作四边形的边上的高，根据角直角三角形的性质求出高，即可求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作交的延长线与点， ，， ， ∴， 故平行四边形的面积为． 23. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）1008元 （2）10元 【解析】 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用、一元二次方程的应用等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可 （2）设每个模型应降价元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个，利用“总利润每个的销售利润日销售量”列出方程，求解并取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：（元） 答：此时每天可获利元． 【小问2详解】 解：设应降价x元，则每个模型可盈利元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 每个模型盈利不少于25元， ， ， ， 答：每个模型应降价元． 24. 如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）请求出的长； （2）是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 【答案】（1） （2）存在， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，证明四边形是矩形，得，运用度所对的直角边是斜边的一半，得，即可作答． （2）依题意，得，结合平行四边形的性质得，代入数值计算，即可作答． （3）先整理，结合是以为腰的等腰三角形，进行分类讨论，运用勾股定理列式计算，以及根据判别式的意义进行作答即可． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴ 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图，连接， ∵动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得， 由（2）得， 则， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴当时，则， ∴， 则， 整理得， ， ∴当时，过点作， 同理证明四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵ 则， ∴， 整理得 ， 此时方程无解， 综上：满足题意的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海亮教育 2024 学年第二学期期中联考试卷 八年级数学 分值：100 分 时间：90分钟 命题人：吴国和 审题人：王丽丽 一、选择题（每小题3 分，共 30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：1，2，3，5，7，8，8的中位数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（　　） A. B. C. D. 6. 如图是李大伯连续6天用于体育锻炼的时间统计，下列说法与图中反映的信息相符的是（ ） A. 6天时间的众数是50分钟 B. 6天时间的中位数是50分钟 C. 6天时间的平均数是50分钟 D. 6天时间的极差（最大值与最小值的差）是40分钟 7. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. a D. 8. 用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（ ） A. 至少有两个内角是直角 B. 没有一个内角是直角 C. 至少有一个内角是直角 D. 每一个内角都不是直角 9. 如图，在中，，，点是的中点，点是内一点，且，连接并延长，交于点．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知实数m、n满足，则的值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 3或 二、填空题（每小题3 分，共 18分） 11. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 12. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是___________边形． 13. 已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 14. 如图，在平行四边形中，平分交于点，若____． 15. 已知实数a，b，c满足，则的值为_________． 16. 如图，在四边形中，于点E， ，M为的中点，N为线段上的点，且，连接，若四边形为平行四边形，则的长为_________． 三、解答题（共 52分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； 20. 某校八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（单位：分）： 甲 7 8 9 7 10 10 9 10 10 10 乙 10 8 7 9 8 10 10 9 10 9 （1）甲队成绩的中位数是_______分，乙队成绩的众数是________分． （2）计算乙队的平均成绩和方差． （3）已知甲队成绩的方差是1.4，则成绩较为整齐的是_______队． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． （2）若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 22. 如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 23. 某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，此时每天可获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于25元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？ 24. 如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以每秒1个单位的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）请求出的长； （2）是否存在t的值，使得四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出此时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $