精品解析：甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中数学试题

平凉一中2024－2025学年度第二学期期中考试题（卷） 高二数学 命题教师：张星 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列求导运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 3. 过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（ ） A. 不存在 B. -1 C. 3 D. 3或-1 4. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 线段的最小值为 C. 当，时，点D到直线的距离为 D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 二、多选题（每小题6分，共18分，少选得3分，全选对得6分） 9. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 对任意的， 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 13. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________. 14. 已知，若成立，则实数的取值范围是______． 四、解答题（共77分） 15. 设数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 17. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上． （1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2024－2025学年度第二学期期中考试题（卷） 高二数学 命题教师：张星 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列求导运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助导数的运算法则及复合函数求导法则计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确. 故选：C. 2. 已知的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据及正弦定理可得，由余弦定理即可求解. 【详解】由得：. 又因为， 故，化简得. 故选:A. 3. 过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（ ） A. 不存在 B. -1 C. 3 D. 3或-1 【答案】D 【解析】 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1． 故选：D 4. 设是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，图象如图所示，且在处取得极大值，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助的图象，判断和的符号，从而得到答案. 【详解】由图可得：时，，单调递增，则，所以， 时，，单调递减，则，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，单调递减，则，所以， 时，，单调递增，则，所以， 综上：的解集为； 故选：A 5. 投掷3枚质地均匀的骰子，设事件“这3枚骰子朝上的点数之和为奇数”，事件“恰有1枚骰子朝上的点数为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出、，由条件概率公式计算可得答案. 【详解】因为每枚骰子朝上的点数有奇数1，3，5三个，偶数有2，4，6三个， 所以3枚骰子朝上的点数之和为奇数的情况有奇数+奇数+奇数，偶数+偶数+奇数， 共两种情况，可得， 恰有1枚骰子朝上的点数为奇数的情况有偶数+偶数+奇数， 可得， 则. 故选：B. 6. 平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由求解即可． 【详解】解：由题意，，， 又，， 所以，即有， 故选：A． 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集. 【详解】， 由于，所以的定义域为， ， 所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得， 即，则，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A 【点睛】给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法. 8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 线段的最小值为 C. 当，时，点D到直线的距离为 D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD. 【详解】取的中点，连接， ∵在菱形中，，， ∴，又， ∴，所以， 又易知， 因为，，， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面，故A正确； 以为原点，分别为轴建立坐标系， 则， 当，时，，， ，， 所以点D到直线PQ的距离为，故C错误； 设，设，可得， ， 当时，，故B正确； 当P，Q分别为线段BD，CA的中点时， ，，，， 设PQ与AD所成的角为， 则， 所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确； 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分，少选得3分，全选对得6分） 9. 设随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P m 则下列选项正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，根据分布列、期望、方差的知识确定正确答案. 【详解】依题意，，A选项正确. ，B选项正确. ，C选项错误. ，D选项正确. 故选：ABD 10. 已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且.则下列结论正确的是（ ） A. 线段是异面直线与的公垂线段 B. 异面直线与的距离为 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，，，， ，. 对于A，，，， ，，即，， 所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； 对于B，由正方体可得异面直线与的公垂线的方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为.故B错误； 对于C，，， 所以在方向的投影向量的模为， 所以点到直线的距离为.故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，， ，又， 所以点到平面的距离为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向量的坐标运算求解. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 对任意的， 【答案】CD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确； B：因为， 所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确； C：由上可以确定本选项正确； D：， 当时，，而，于是有， 当时，，而，于是有， 综上所述：对任意的，，因此本选项正确， 故选：CD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 向量与共线，且方向相同，则__________. 【答案】14 【解析】 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 13. 某校面向高一全体学生共开设3门体育类选修课，每人限选一门.已知这三门体育类 选修课的选修人数之比为，考核优秀率分别为20%、16%和12%，现从该年级所有选择体育类选修课的同学中任取一名，其成绩是优秀的概率为____________. 【答案】0.18 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即得. 【详解】设事件“任取一名同学，成绩为优秀”，“抽取的选修第门选修课的同学”（）， 则，且两两互斥，依题意，， ， 所以成绩是优秀的概率为 . 故答案为：0.18 14. 已知，若成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数在上的最大值，再根据给定条件可得，再求解不等式得解. 【详解】函数在上单调递增，， 函数，，由，即，解得， 由，得存在，使得， 于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 设数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，若a1，a2，a5成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列{an}是公差为的等差数列，根据已知求出，即得解； （2）求出，再利用裂项相消法和公式法求和得解. 【小问1详解】 设数列的公差为，又， 若，，成等比数列，可得，即， 解得或，又，所以，则． 【小问2详解】 ， 可得前项和 . 16. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1）； （2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值. 【小问1详解】 函数，于是，求导得， 所以，所以所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， 当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 极大值，极小值. 17. 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动．这6名医生中，外科医生、内科医生、眼科医生各2名． （1）求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率； （2）设表示选出的3人中外科医生的人数，求的分布列，均值，方差． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 0.2 0.6 0.2 均值为1，方差为 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式结合互斥事件和事件概率公式求解即可； （2）确定可能取值，求得对应概率，进而可求解. 【小问1详解】 推荐的6名医生中任选3名去参加活动基本事件总数为， 这6名医生中，外科医生2名，内科医生2名，眼科医生2名， 设事件表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”，故有两种情况： 恰好选出1名外科医生和2名眼科医生和恰好选出2名外科医生， 用表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”，表示“恰好选出2名外科医生”， 且，互斥， 因为，， 所以选出外科医生人数多于内科医生人数的概率为． 【小问2详解】 由题知可为0，1，2，故，， ， 0 1 2 0.2 0.6 0.2 所以， ． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面，．点在线段上． （1）若，在上找一点，使得四点共面，并说明理由； （2）求点到平面的距离； （3）若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 当为靠近点的四等分点时，四点共面， 理由如下： 因为，所以， 所以∥， 因为四边形是菱形，所以∥， 所以∥，所以四点共面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当为靠近点的四等分点时，结合已知条件可得∥，而∥，则∥，从而可得结论； （2）取中点，连接，，由面面垂直可得平面，再由结合菱形的性质可得，则得平面，然后求出，再利用等体积法可求得点到平面的距离； （3）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，． 因为为等边三角形，， 所以，，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，∥，所以． 因为，平面，平面，， 所以平面，又平面，所以． 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得； 【小问3详解】 由（2）知，，，两两垂直， 所以以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，， 所以，，． 设，则，． 得，则． 又平面，则取平面的法向量． 设与平面所成的角为，则 ， 化简整理得，解得． 则，． 设平面的法向量，则, 令，则取平面的法向量， 又平面的法向量． 故平面与平面夹角的余弦值为． 19. 已知椭圆过点，且． （1）求椭圆ω的方程； （2）设O为原点，过点的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证为定值． 【答案】（1） （2） 当直线斜率不存在时，直线的方程为. 不妨设此时，， 所以直线的方程为，即. 直线的方程为，即. 所以. 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由，得. 依题意，. 设，，则，. 又直线的方程为， 令，得点的纵坐标为，即，同理. 所以 . 综上，为定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而得出，即可得出椭圆方程； （2）先考虑直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线的方程，可表示出坐标，同理表示出的坐标，进而利用韦达定理可求出. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以. 因为，所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程； （3）写出韦达定理； （4）将所求问题或题中关系转化为形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $