精品解析：河南省南阳市六校2024—2025学年高一下学期第二次联考数学试题

2025年春期六校第二次联考 高一年级数学试题 命题学校：方城一高 审题学校：唐河一高 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. -6 B. C. D. 4. 在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是的部分图象，则正确的是（ ） A. B. 函数在上无最小值 C. D. 在上，有3个不同的根 8. 如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（ ） A. 15 B. 13 C. 12 D. 10 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知在中，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 为点所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若点为的外心，则 D. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 11. 在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则有两解 B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若，且，则的外接圆半径为 D. 若，则的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ． 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(四舍五入精确到1 m2). 14. 已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数是实系数一元二次方程的一个根，向量，求实数和，使得. 16. 证明､求值. （1）已知斜三角形.借助正切和角公式证明：； （2）已知，且.求的值. 17. 的内角的对边分别为，已知为锐角. （1）求； （2）若，求的周长. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值； （2）是否存在实数，使在上有两个零点，若存在，求出实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期六校第二次联考 高一年级数学试题 命题学校：方城一高 审题学校：唐河一高 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算，即可运算结果. 【详解】可知. 故选：B. 2. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合角的概念，即可得答案. 【详解】若，则一定是第一象限角，充分性成立； 若是第一象限角，则， 无法得到一定属于，必要性不成立. 所以“”是“是第一象限角”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. -6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 4. 在中，角所对的边分别为，已知，若三角形有两解，则边的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，求得角的范围，要使得三角形有两解确定出的范围，利用正弦函数的值域，即可求解. 【详解】因为在中，， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 要使得三角形有两解，可得且，即， 即，解得. 故选：C. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且为偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式及正余弦函数的奇偶性列式求解. 【详解】依题意，函数， 由函数为偶函数，得，而，则， 所以实数的值为. 故选：B. 6. 若为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，结合平方关系和和差公式求出的余弦即可得解. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以，所以， 所以 因为，所以. 故选：B. 7. 如图是的部分图象，则正确的是（ ） A. B. 函数在上无最小值 C. D. 在上，有3个不同的根 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，将下降趋势中的点代入即可求解；对于B，由图可知在的一条称轴为，因为，所以在上有最小值；对于C，根据对称即可判断与是否相等；对于D，由经过上升趋势中的点及可求出，进而知道的解析式，利用整体的思想以及结合三角函数的图象即可求解在上的根. 【详解】对于A，由图可知经过下降趋势中的点， ，故A错误； 对于B，由图可知在的一条称轴为， 所以在上有最小值，当时取得最小值-1，故B错误； 对于C，和都在区间内，， 故，故C错误； 对于D，由A知，又因为经过上升趋势中的点， ， 整理得，由图可知，即，解得， 又因为，所以当时，满足，， 令，当时，时，， 此时，所以在上，有3个不同的根，D正确. 故选：D. 8. 如图所示，在同一平面内，点在两平行直线的同侧，且点到直线的距离分别为1，3，点分别在直线上，，则的最大值为（ ） A. 15 B. 13 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量，根据，求出的解析式，再求其最大值. 【详解】由点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为1，3，可得平行线间的距离为2； 以直线为轴，以过点且与直线垂直的直线为轴，建立坐标系，如图所示： 由题意可得点，直线的方程为，设点，点， 则，则， 因，则，得，或； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 当时，， 当时有最大值，最大值为； 综上可得，的最大值为15. 故选：A. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知在中，，则下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，列出方程组，求出三角函数值，判断选项正误. 【详解】由题意知，化简得， 解得，因为在中,所以，即， 因为，所以， 联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确. 故选：CD. 10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 为点所在直线外一点，且，则 B. 已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 C. 若点为的外心，则 D. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，由三点共线，有，其中，即可求得的值；对B，由向量夹角的坐标表示即可判断；对C，根据三角形外心的概念得解；对D，根据投影向量的概念结合条件即得结果. 【详解】对于A，由A，B，C三点共线，O为点所在直线外一点，有，其中，即，所以，故A错误； 对于B，，因为与的夹角为锐角， 则，解得，当与共线时，，解得， 所以实数的取值范围是，故B不正确； 对于C，因为点为的外心，所以，故C正确； 对于，， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确； 故选：CD. 11. 在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则有两解 B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为 C. 若，且，则的外接圆半径为 D. 若，则的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先证明题干中的条件等价于，然后逐个选项判断：对于A，直接解出两种可能的情况即可判断A选项正确；对于B，用正弦定理证明，然后求的范围即可判断B选项正确；对于C，求出的三边，然后说明是直角，从而得到，即可判断C选项正确；对于D，直接利用C的条件计算得作为反例，即可说明D选项错误. 【详解】设的外接圆半径为，则， 由，可知， 即，从而. 对于A，若，且，由余弦定理得， 即，解得或. 由于当三角形的三边确定后，三角形唯一确定， 故只有两种可能.经验证，的以下两种情况都是可能的： ①； ②.故有两种可能，选项A正确； 对于B，若，且为锐角三角形，由于， 而为锐角三角形，即， 解得，从而的范围是，故的范围是，选项B正确； 对于C，若，且，则，且， 故，从而. 而，故，从而，. 这意味着，所以， 从而，故，选项C正确； 对于D，若，由于，， 故存在使得的，此时，满足条件. 在此情况下，有，故， 从而， 此时，这表明不可能以为最大值，选项D错误. 故选：ABC. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，可直接求出结果. 【详解】. 故答案为 【点睛】本题主要考查两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型. 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，半径为6 m的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________m2(四舍五入精确到1 m2). 【答案】20 【解析】 【分析】根据弧田面积公式，结合几何关系求解即可. 【详解】如图所示，过作于于，延长线交于. 则，，所以，， ， 弧田面积是.  故答案为：. 14. 已知为坐标原点，向量（点不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析的位置关系，明确点轨迹，化简，利用三角函数求其取值范围. 【详解】因为，所以三点在以为圆心，1为半径的圆上， 又，所以，所以为圆的直径. 所以. 又，则点在以为圆心，2为半径的圆上.所以. 因为 设，则 . 因为，所以. 所以 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知复数是实系数一元二次方程的一个根，向量，求实数和，使得. 【答案】 【解析】 【分析】根据虚根成对定理以及韦达定理可求出，再根据向量共线可求得结果. 【详解】是实系数一元二次方程的一个根，也是方程的根. 则 ， 由，得 ; 所以. 16. 证明､求值. （1）已知斜三角形.借助正切和角公式证明：； （2）已知，且.求的值. 【答案】（1）证明：， ， ， ， . （2）. 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）先根据求出，利用弦切互化求值的处理方法转化为即可求解；先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 根据两角差的正切公式，，解得， . 注意到，则，于是， 则， 因为，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，则， 于是. 17. 的内角的对边分别为，已知为锐角. （1）求； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方关系､倍角公式､两角差的正弦公式化简表达式，使之化简成的形式，再利用计算周期； （2）利用余弦定理将角转换成边，再利用余弦定理求出，得到角A的值，得到角B的取值范围，最后求三角函数的值域. 【小问1详解】 易知 的最小正周期 【小问2详解】 由可得，即， ， ，因为， 所以， 所以 19. 已知函数. （1）若图象纵坐标不变，横坐标变为原来的4倍，再向右平移个单位，得到的图象在上单调递增，求的最大值； （2）是否存在实数，使在上有两个零点，若存在，求出实数的值或取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题变换后图象的解析式是：，求出的范围，再根据单调性列不等式组求解即可； （2）化简可得，令，令，设为的一个零点，分①，②，③或，④且，⑤讨论零点的情况. 【小问1详解】 由题图象变换后的解析式是， 因，则， ，则， 又因为在上单调递增，则，且， 解得，即的最大值为. 【小问2详解】 ， 设，则， 当时，，， 它的图象如图所示： 则，令， 因为在上有两个零点，则在上至少存在一个零点， 设为的一个零点， ①当时，，此时仅有一个零点，对应一个，不符题意； ②当时，，此时仅有一个零点，对应两个，符合题意； ③当或时，，此时有两个零点， 由图，各对应一个，符合题意； ④当且时，因其对应一个， 则必有另一个零点，与矛盾； ⑤当时，则必有两相等零点，则， 由①②可知，不存在这样的值； 综上，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $