精品解析：青海省西宁市湟中区第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

湟中一中 2024-2025 学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120 分钟 总分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为( ) A. B. C. D. 6. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C D. 8. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选 错的得 0 分.） 9. 与向量共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若实数，是纯虚数，则 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 13. 在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 16. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 17. 已知平面向量满足，，且． （1）求在方向上投影向量； （2）若，求实数的值． 18. 如图，在中，，．点D在边BC上，且． （1），，求； （2），AD恰为BC边上的高，求角A； （3），求t的取值范围． 19. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湟中一中 2024-2025 学年第二学期期中考试 高一数学试卷 时间：120 分钟 总分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期性可得复数，即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：B. 2. 已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：A. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由余弦定理计算即可求解. 【详解】在中，； 由余弦定理，解得，即. 故选： 4. 在下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答. 【详解】对于A，与共线，A不是； 对于B，由知，与不共线，B是； 对于C，由知，，共线，C不是； 对于D，由知，，共线，D不是. 故选：B 5. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算，结合图形几何关系即可求解． 【详解】． 故选：D． 6. 如图，在四面体中，平面，则此四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将四面体补形成长方体，长方体的长､宽､高分别为、、，长方体的外接球即为四面体的外接球，而长方体外接球的直径即为其体对角线，求出外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】将四面体补形成长方体，长方体长､宽､高分别为、、， 四面体的外接球即为长方体的外接球， 而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为， 故，所以外接球表面积为. 故选：B. 7. 已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 8. 一扇中式实木仿古正方形花窗如图所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图所示．已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，结合向量投影的概念及向量夹角的求法求解即可． 【详解】解：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，，则，，，， 设与的夹角为， 则， 由投影的概念可得：当与重合时， 取得最大值， 此时. 故选：B 二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选 错的得 0 分.） 9. 与向量共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合平面向量共线以及单位向量即可求出结果. 【详解】因为，所以，因为，且， 所以，即或. 故选：BD. 10. 已知复数（是虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部等于 B. C. D. 若是实数，是纯虚数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据复数的虚部概念，纯虚数，共轭复数，及复数的运算逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 对于A项：，所以复数的虚部等于，故A错误； 对于B项：，故B错误； 对于C项：，故C正确； 对于D项：因为是纯虚数且是实数，即为纯虚数，所以，解得，故D正确． 故选：CD. 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【详解】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 13. 在正四棱台中，，则该棱台的表面积为____________，体积为____________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】作出辅助线，求出四棱台的侧高和高，求出表面积和体积 【详解】如图，过作，垂足为M，易知为四棱台的高， 因为，，， 所以上底面面积为，下底面面积为， 棱台的侧高为， 所以侧面积为， 所以该棱台的表面积为， 又，， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：，. 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，进而得，在求解即可得答案； （2）由面积公式得，进而根据题意得，，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，则， 所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，即， 因为，所以， 所以，解得. 所以. 16. 已知向量，． （1）当且时，求； （2）当，求向量与的夹角． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算法则先求出，的坐标，再由条件可得，求出的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）向量，，则， 由，可得 即，解得或 又，所以，则，则 所以 （2）由，，，则 由，可得，解得 所以，， 又，所以 17. 已知平面向量满足，，且． （1）求在方向上的投影向量； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由，，且， 平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. 【小问2详解】 解：因为，所以， 化简得，所以，解得 18. 如图，在中，，．点D在边BC上，且． （1），，求； （2），AD恰为BC边上的高，求角A； （3），求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题易知，转化问题为求的模，进而求解； （2）由AD为BC边上的高，则，即，根据，，整理即可求解； （3）易知，则，整理等式，结合且求解即可. 【小问1详解】 由题，因为，所以，即点为边的中点， 所以， 因，，， 所以. 【小问2详解】 由题，因为，所以， 因为AD恰为BC边上的高，所以， 因为，， 且，， 所以 ， 所以，则. 小问3详解】 由题，， 则， 因为，且，， 所以， 则， 所以， 因为，则， 因为，则， 解得 19. 在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，判断的形状； （3）若为锐角三角形，且，求的面积S的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）等边三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）将角化边进行化简，然后结合余弦定理求解即可；（2）将边化角，将正切变成正弦和余弦再进行化简即可判断；（3）根据条件表示边，再利用三角形的面积公式即可求解面积的取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴由正弦定理得， 即， 即， 即， 由余弦定理得， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形. 【小问3详解】 因为, 由正弦定理,得 所以 因为为锐角三角形,则, 从而, 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $