精品解析：四川省广安友实学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

广安友实学校 2024-2025学年度下期高2023级第三次月考 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡包括缺考生答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版2019选修第4章到第7章（数列+导数+计数原理+随机变量及其分布列）。 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用概率的乘法公式计算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B 2. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出首项和公差，进而可求出通项，即可得解. 【详解】等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以数列的通项公式， 所以. 故选：A. 3. 设函数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义可求. 【详解】, 故， 故选：D. 4. 从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】间接法：先求出所有的情况，再减去没有高二同学的情况即为至少有名高二学生参加宣传活动的方法数. 【详解】若从名同学中选人共有种选法， 若被选的人都是高一，则有种选法， 故至少有名高二学生共有种选法. 故选：B. 5. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数. 【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为， 由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.  根据等差数列前项和公式， 将，，代入可得： ，即 得到，（因为层数为正整数，所以舍去）. 该鬼工球的层数为11. 故选：C. 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 8. 设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求得切线方程为，得到，令，求得，得到函数的单调性和最大值，即可求解. 【详解】由函数，可得， 设切点，则，， 则切线方程为：，即， 因为，所以，，则， 令，则， 当时，；当，， 所以在上递增，在上递减， 所以时，取最大值，即的最大值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的所有二项式系数之和为64 C. 展开式中不含项 D. 展开式的第5项系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理及二项式系数的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，展开式共有7项，A错误； 对于B，展开式的所有二项式系数之和为，B正确； 对于C，展开式的通项， 而无解，因此展开式中不含项，C正确； 对于D，由选项C知，展开式奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，第1，3，5项的系数 分别为，因此展开式的第5项系数最大，D正确. 故选：BCD 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，根据题意可得到，判断AB；选项，根据全概率公式进行求解；D选项，根据贝叶斯公式进行计算. 【详解】AB选项，事件＂零件为第台车床加工＂，事件＂零件为次品＂， 则， ，故A正确，B错误； C选项， ，故C正确； D选项，，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知等差数列的公差为d，函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的极大值点为 B. 当时，无极值点 C. 当时，在上单调递增 D. 当时，在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】对求导，分，，和时，求出的单调性，结合极值点的定义对选项一一判断可得出答案. 【详解】解：， ， 若，则，， 或时，，单调递增， 时，，单调递减，则极大值点为， 又，故A正确； 若，，，在R上单调递增，无极值点，故B正确； 当时，，与的大小无法确定，故C错误； 当时，，在上单调递增，故D正确． 故选：ABD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，若,，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中常数项是____. 【答案】 【解析】 【分析】首先变形，利用展开式的通项公式求整体展开式的常数项. 【详解】， 展开式的通项公式为， 当时，，此时展开式中常数项为, 当时，，此时展开式中常数项为, 所以常数项为. 故答案为： 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】先分两类：①，，②，，然后每类分两步，根据组合数公式列式求出结果，再利用分类计算原理可得结果. 【详解】由，得到或， 若，，即前次跳跃，次向左，次向右， 后面次跳跃全部向右，有种， 若，，即前次跳跃，次向右，次向左， 后面次跳跃次向左，次向右，有种， 最后两次的跳跃方法有种， 所以满足的跳跃方法有种， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求解可得的通项公式；由等比数列可得，求解可得的通项公式； （2）利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为，设数列的首项为，公比为， 由，，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为， 因为，由得，解得， 所以，所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可知，， . 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可； （2）结合应用条件概率公式及全概率公式计算求解； （3）根据对立事件概率及条件概率公式计算求解. 【小问1详解】 用表示机器人是甲品牌，用表示机器人是合格品，则， 所以该机器人是甲品牌合格品的概率． 【小问2详解】 用表示机器人是乙品牌，用表示机器人是丙品牌， 【小问3详解】 由（2）知，该机器人是不合格品的概率， 若该机器人是不合格品，它是丙品牌的概率． 17. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）求导即可得到，再由极值的定义，代入计算，即可得到结果； （2）求导即可得到，然后分与讨论，即可得到结果； （3）根据题意，分以及讨论，然后结合（2）中的结论，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以． 当时，在上单调递增． 当时，令，得，令，得． 故在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增． 因为，所以当时，，不满足题意． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以．若，则． 令，则，所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以，所以，即实数的取值集合为． 18. 为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. （1）从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； （2）从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； （3）用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）的所有可能的取值为0，1，2，算出对应的概率即可得到分布列，进而算出数学期望. （3）由二项分布的概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 记事件A为“这款设备的产需率大于100%”. 由表中数据，这款设备的产需率大于100%的年份为2015年，2017年，2020年，2023年，共4年. 所以. 【小问2详解】 由表中数据，从2017-2022年这6年中，这款设备的产需率大于100%的年份为2017年，2020年，共2年. 的所有可能的取值为0，1，2. ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望. 【小问3详解】 用频率估计概率，该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的，则在未来每年产需率大于100%的概率为. 在未来的年份中任取3年产需率大于100%有年，则 . 19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 【答案】（1）为的凸函数 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义，求得和，判断的正负即可； （2）先判断出在为“凹函数”，当时，根据凸函数的性质得出，即可得出的最小值； （3）由（2）结论得出即证，两边取对数，即证，由导数得出在上为单调递增函数，即可得出，再用累加法即可证明． 【小问1详解】 由题，，即， 所以为的凸函数． 【小问2详解】 设函数，则， ，所以在为“凹函数”， 当时，， 即， 当且仅当时，等号成立， 最小值为． 【小问3详解】 即证， 两边取对数，即证：， 的导数为， 当时，恒成立，所以在上为单调递增函数， 所以， 令，所以， 所以， 累加可得：，证得不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校 2024-2025学年度下期高2023级第三次月考 高二年级数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡包括缺考生答题卡一并交回。 4.测试范围：人教A版2019选修第4章到第7章（数列+导数+计数原理+随机变量及其分布列）。 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足：，，则（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 3. 设函数满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 4. 从名高一学生和名高二学生中，选人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. B. C. D. 5. 设随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.6 则（ ） A. 0.95 B. 0.85 C. 0.75 D. 0.65 6. 鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为､公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的所有二项式系数之和为64 C. 展开式中不含项 D. 展开式的第5项系数最大 10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5∶6∶9，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”（，2，3），事件“零件为次品”，则（） A. B. C. D. 11. 已知等差数列的公差为d，函数（），则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的极大值点为 B. 当时，无极值点 C. 当时，在上单调递增 D. 当时，在上单调递增 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中，若,，则_____. 13. 的展开式中常数项是____. 14. 如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位长度，记为第次跳跃后对应数轴上的数字，则满足的跳跃方法有__________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，数列为正项等比数列，已知，，， （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和 16. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为；丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若该机器人是不合格品，求它是丙品牌的概率． 17. 已知函数 （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若恒成立，求实数a的取值集合． 18. 为研究某款人工智能设备生产量和需求量的变化规律，收集得到了2015-2024年人工智能设备的生产量和需求量数据，如下表所示. 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 生产量（万台） 3.3 7.2 13.1 14.8 18.7 23.7 36.6 44.3 43.0 42.0 需求量（万台） 3.7 7 13.8 14.4 14.0 24.6 27.1 29.7 44.6 40.1 定义产需率为“产需率=（需求量/生产量）”. （1）从2015-2024年中随机取1年，求这款设备的产需率大于100%的概率； （2）从2017-2022年这6年中随机取2年，假设2年中这款设备的产需率大于100%有年，求的分布列和数学期望； （3）用频率估计概率，假设该设备每年的生产量和需求量变化都是相互独立的.在未来的年份中任取3年，试估计这3年中至少有2年产需率大于100%的概率. 19. 对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． （1）判断函数的凹凸性； （2）若，令，求的最小值； （3）为（2）问所得结果，证明不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $