精品解析：陕西省咸阳市三原县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

三原县2024~2025学年度第二学期期中综合素质测试 八年级数学试题 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间90分钟． 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的3倍与5的和比8大，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式，熟练掌握不大于、不小于、至少、至多等词的含义是解题的关键．根据“的3倍与5的和比8大”列不等式即可． 【详解】解：“的3倍与5的和比8大”用不等式表示为， 故选：A 2. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( ) A. 有害垃圾 B. 厨余垃圾 C. 其它垃圾 D. 可回收物 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转后与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．理解和掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据不等式的性质判断选择即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：B． 4. 已知点在一次函数的图象上．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出一次函数的表达式为，再由得不等式，解不等式即可得解．本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式以及一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为：， 若， 则， 解得． 故选：A 5. 如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点．若的周长为，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质．由题意易得，然后根据三角形的周长公式及题意可进行求解．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 故选：B． 6. 八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，总树数在两种情况下保持不变,当每人植树9棵时，有1名同学植树棵数不到8棵，即该同学植树棵数在0到8之间（包含0，不包含8），由此建立不等式组． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 有1位同学植树的棵数不到8棵，可列不等式组为：， 即． 故选：B． 7. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（　　） A. B. 若，则 C. 的面积的面积 D. 【答案】C 【解析】 【分析】A、根据三角形内角和定理可得，然后根据、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长至G，使，连接，根据证明，则可得，，然后根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当是的中线时，的面积的面积，进而可以进行判断；D、如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答． 【详解】解：A、中，， ， ∵、分别平分、， ， ． 故A选项正确，不符合题意； B、如图，延长至G，使，连接， 又∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ， 又， ， ，故B选项正确，不符合题意： C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得， ，， ， ，， ，， ，， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了三角形全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，三角形的中线，等腰三角形的判定与性质；熟练掌握相关知识点的应用是解题的关键． 二、填空题（共4小题，每小题4分，计16分） 8. 若关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，用数轴表示不等式的解集，根据数轴，结合不等式组的解集的确定方法，同小取小，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可知：， ∴不等式组的解集为； 故答案为：． 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】根据旋转得到：，，进而推出，利用三角形的内角和，求出，利用，得到，再利用，即可得解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质．熟练掌握对应点与旋转中心组成的夹角等于旋转角，以及旋转后两图形的对应边相等，是解题的关键．本题同时考查了平行线的性质和三角形的内角和定理． 10. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，当时，直线在轴上方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：设点坐标为， 把代入， 得，解得， 则点坐标为， 所以当时，， 函数的图象经过点， 时，， 不等式的解集为． 故答案为：． 11. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图， ∵，， ∴． 由旋转可知，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴当最短时，最小． ∵垂线段最短， ∴当点P与点E重合时，最短，即为的长． ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 三、解答题（共12小题，计83分．解答应写出过程） 12. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，根据步骤“去分母，去括号，移项，合并同类项”，即可得解．掌握解一元一次不等式的一般步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为）是解题的关键． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 13. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． ∴原不等式组的解集为． 14. 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图如下， 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，作垂线．熟练掌握垂直平分线的性质，作垂线是解题的关键． 由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，然后作线段垂直平分线，与线段的交点即为． 【详解】解：由题意知，在线段垂直平分线与线段的交点，点D即为所作； 15. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即． ∵， ∴和是直角三角形． 在和中， ， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定和性质是解题的关键． 利用“斜边、直角边”判定和全等，根据三角形全等的性质即可证得结论． 【详解】略 16. 截至2025年4月9日，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”总票房破156亿，商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为7元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1 600元的资金购进A，B两种娃娃共200个，那么最多购进A种娃娃多少个？ 【答案】最多购进A种娃娃66个． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设购进A种娃娃个，根据商家计划用不超过1 600元的资金购进A，B两种娃娃共200个，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设购进A种娃娃个，则购进B种娃娃个． 根据题意，得． 解得． ∵为整数， ∴最大为66． 答：最多购进A种娃娃66个． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点A，B，C的对应点分别是． （1）请在图中画出； （2）点A与点之间的距离是__________． 【答案】（1） 如图：即为所求． （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平移变换、勾股定理等知识点，准确判断平移方向和平移距离是解题关键． （1）先根据平移方向和平移距离确定点A、B、的对应点的位置，再顺次连接即可解答； （2）根据两点间的距离公式计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意和图可知：，， ． 故答案为：5． 18. 如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的和差等内容，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得出相等的边和角，然后证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，都是等边三角形， ∴， ， 即， ∴， ∴， ∴， ∴的长为3． 19. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）110度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 20. 甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． （1），两地相距_____，甲骑行的速度是_____，乙骑行的速度是_______； （2）出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 【答案】（1），，； （2）出发后，时间超过甲离地的距离大于乙离地的距离． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图象即可求解； （）分别求出甲离地的距离解析式为，乙离地的距离解析式为，然后根据题意得出，然后解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，两地相距，甲骑行的速度是，乙骑行的速度是； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设解析式为， 把代入解析式得：，解得：， ∴甲离地的距离解析式为， 设解析式为，把，代入解析式得： ，解得：， ∴乙离地的距离解析式为， ∴， 解得， 答：出发后，时间超过min甲离地的距离大于乙离地的距离． 21. 如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ∴， ∴是等边三角形； （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用线段的垂直平分线的性质和等角对等边得出相等的线段，利用三角形的内角和定理求出角的度数，进而可得出等边三角形； （2）过点作，交于点，利用勾股定理和含角的直角三角形的性质求出相关线段的长度，然后利用等腰三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点， ∵是边的垂直平分线， 是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵， ∴是直角三角形， ∴ ∴在中，， ∴， 由（1）得， ∴是等腰三角形， 根据三线合一得，， ∴． 22. 根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． （1）若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ （2）若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 【答案】（1）1250 （2）方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部；方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部；方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部；最高利润为250万元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，列一元一次不等式组解决实际问题，方案问题，最高利润等内容，解题的关键是找出不等关系列出不等式组． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据成本和利润列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解： 2000部型号手机所花费用为（万元）， 则生产型号手机费用最多为（万元）， ∴型号手机最多为， 所以，最多生产了1250部型号手机； 【小问2详解】 解：设生产型号手机部，则生产型号手机部，根据题意得， 解得， 可取1000，1001，1002， ∴由以下三种方案； 方案一，型号手机1000部，则生产型号手机2000部，利润为（万元）； 方案二，型号手机1001部，则生产型号手机1999部，利润为（万元）； 方案三，型号手机1002部，则生产型号手机1998部，利润为（万元）； 所以，共有三种方案，方案一利润最高，最高利润为250万元． 23. 某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）证明：如图1，过点作于点， ∵是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即； （3）解：如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 当时，如图4，延长交的延长线于点，在线段上取点， ∵点关于的对称点落在边上，，，， ∴， 由前面结论可得：，，，， ∴， 又∵， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的面积为． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得与的数量关系； （2）过点作于点，证明，再证明，即可得证； （3）延长交的延长线于点，证明得，从而得，再由角平分线的判定可得．分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）解：∵，分别是，的高， ∴，， 又∵平分， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的判定等知识点，通过作辅助线构造全等三角形、利用分类讨论的思想方法解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三原县2024~2025学年度第二学期期中综合素质测试 八年级数学试题 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间90分钟． 一、选择题（共7小题，每小题3分，计21分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 的3倍与5的和比8大，下面表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 垃圾分类一小步，低碳生活一大步，垃圾桶上常有以下四种垃圾分类标识的图案和文字说明，其中图案是中心对称图形的是( ) A. 有害垃圾 B. 厨余垃圾 C. 其它垃圾 D. 可回收物 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在一次函数的图象上．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，在中，是线段的垂直平分线，交于点．若的周长为，则的长为（　　） A. B. C. D. 6. 八年级（1）班同学去植树，若每人植树7棵，则还剩9棵；若每人植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设该班同学人数为人，则根据题意可以列不等式组为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（　　） A. B. 若，则 C. 的面积的面积 D. 二、填空题（共4小题，每小题4分，计16分） 8. 若关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式组的解集为__________． 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为________． 10. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则不等式的解集为___________． 11. 如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________． 三、解答题（共12小题，计83分．解答应写出过程） 12. 解不等式：． 13. 解不等式组：． 14. 如图，在中，，．请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15. 如图，，，，求证：． 16. 截至2025年4月9日，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”总票房破156亿，商家推出A，B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知每个A种娃娃的进价为10元，每个B种娃娃的进价为7元．根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1 600元的资金购进A，B两种娃娃共200个，那么最多购进A种娃娃多少个？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，将向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点A，B，C的对应点分别是． （1）请在图中画出； （2）点A与点之间的距离是__________． 18. 如图，，都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．若，．求的长． 19. 如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． （1），两地相距_____，甲骑行的速度是_____，乙骑行的速度是_______； （2）出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 21. 如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，． （1）求证：是等边三角形； （2）若，求的长． 22. 根据以下索材，探索完成任务． 如何合理设计生产计划？ 素材1 某手机制造工厂计划生产两种型号的手机投放到市场销售．已知型号手机每部成本为万元，售价为万元；型号手机每部成本为万元，售价为万元． 素材2 每个月的生产成本不超过1100万元． （1）若该工厂3月生产了2000部型号手机，则最多生产了多少部型号手机？ （2）若该工厂计划4月一共生产3000部手机，总利润不低于249.9万元，则有哪几种生产方案？生产利润最高为多少万元？ 23. 某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图①，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，点是边上一点，且，点是边上一动点（不包括两端点），连接，．老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空：______；（填“>”“=”或“<”） 【问题探究】 （2）任务一：如图②，若．求证：； （3）任务二：如图③，，，，若，试说明．此时，点关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $