精品解析：广西柳州市柳城县中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

2024-2025学年度24级高中数学5月月考卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法可得答案. 【详解】由题可得. 故选：B 2. 已知，向量与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用及数量积的运算律即可求出. 【详解】由题意可得，， 解得或（舍）. 故选：B 3. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理整理化简等式，可得答案. 【详解】由余弦定理可得，则. 故选：A. 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示： 则，故，可得， 还原原的图形如下图所示，则，， 故. 故选：A. 5. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求出复数，从而得到，再利用复数的几何意义即可求出结果. 【详解】因为，得到，所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 故选：C. 6. 某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ） A. 300 B. 400 C. 600 D. 1200 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1求出的值，进而求出结果． 【详解】由频率分布直方图可得，， 解得， 所以成绩在内的学生人数为． 故选：B． 7. 小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据球的体积以及圆柱的体积计算，可得答案. 【详解】馒头的体积为， 火腿的体积为. 故选：B. 8. 在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】注意到，则、所成角，即为与所成角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】连接、，由题可得，又， 则四边形为平行四边形，则， 即，所成角，即为与所成角或其补角， 又由题可得，， 则. 因此，异面直线，所成角的余弦值为. 故选：B. 二、多选题（每题6分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 若复数z满足，则最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由复数的定义判断A；由两个复数不能比较大小，可判断B；由复数的模及四则运算判断C；由复数的几何意义判断D. 【详解】解：对于A，由复数的定义可知复数的虚部为，故A正确； 对于B，因为两个复数不能比较大小，故B错误； 对于C，设，则，而， 故只有当，即复数为实数时，成立，故C错误； 对于D，因为，所以复数所对应的点在以原点为圆心的单位圆上， 又因为， 所以表示点到单位圆上点的距离， 又因为点到原点的距离， 所以最小值为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，若，，此时有可能在平面内，并不一定，故A错误； B，若，，则，又，所以，故B正确； C，若，，则或，又，则两平面相交或平行，故C错误； D，因为，，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面， 那么它也垂直于另一个平面，可得. 又因为，垂直于同一个平面的两条直线平行，所以，故D正确. 故选：BD 11. （多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论错误的是（ ） A. 男、女员工得分在A区间的占比相同 B. 在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C. 得分在C区间的员工最多 D. 得分在D区间的员工占总人数的19% 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出员工总数和男员工人数，再求出男女员工在各区间的人数，从而对四个结论逐一判断即可. 【详解】根据题意，设员工总人数为，因为女员工人数为（人）， 所以，解得， 所以男员工人数为（人）， 对于A，女员工得分在区间的占比为，男员工得分在区间的占比为，故A正确； 对于B，由题图1可知，女员工在区间有20人，区间有60人，区间有70人，区间有50人， 男员工在区间有（人），区间有（人），区间有（人），区间有（人），所以区间男员工少于女员工，故B错误； 对于C，区间有（人），区间有（人），所以区间人数比C区间多，故C错误； 对于D，区间有（人），所以得分在区间的员工占总人数的，故D正确． 故选：BC． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分） 12. 样本数据11，14，5，6，8，1，3，9的下四分位数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】将样本数据从小到大排列得1，3，5，6，8，9，11，14，由， 得样本数据的下四分位数是排序后的第二个和第三个数据的平均数，为． 故答案为：4. 13. 已知向量，为单位向量，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的数量积表示，再根据向量数量积的运算律可得解. 【详解】因为，所以， 又向量，为单位向量，则． 故答案为：． 14. 已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用垂直关系，作辅助线，得到图形，转化为在三角形内解决边长问题. 【详解】取，作，垂足为点，连结，， 因为， 所以，所以 因为二面角是直二面角，所以，，所以， 所以是等边三角形， 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，根据复数为纯虚数，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到，根据在复平面内所对应的点位于第四象限，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，， 可得， 因为复数为纯虚数，所以，解得． 【小问2详解】 解：由， 可得， 因为在复平面内所对应的点位于第四象限，可得，解得 所以实数的取值范围为． 16. 已知向量． （1）求证：三点共线． （2）若，求的值． 【答案】（1） ∵，故三点共线； （2）1 【解析】 【分析】（1）求出，由证明即可； （2），，根据向量相等列方程组求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， 则有，即，解得 17. 已知的内角所对的边分别为，，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解； （2）依题意可得为的中点，从而得到，将两边平方，结合余弦定理求出，，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 ，，， 所以可化为， 由正弦定理得，由余弦定理得， ， 【小问2详解】 因为，所以为的中点， 所以， 所以， 即， 由余弦定理，即， 所以，，所以， 所以的周长为. 18. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【小问1详解】 ，分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. 【小问2详解】 ，，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知，平面 ，平面 ， ∴ 在正方形 中，易知 ∴ 而， ∴∴ ∵，∴平面 ∵平面， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为二面角的平面角，可得底面 为正方形，利用锥体的体积公式计算即可； （2）利用线面垂直的判定定理证明平面，即可证明； （3）由平面可得为直线与平面所成的角，计算其正弦值即可. 【小问1详解】 解：∵是边长为2的正三角形，为中点，∴， 又∵平面平面 ，平面平面 ∴平面 又平面 ，∴ ∴为二面角的平面角， ∴ 又，∴∴底面 为正方形. ∴四棱的体积. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，连接，. ∵平面. ∴为直线与平面所成的角 ∵，∴， ∴ 又， ∴ ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度24级高中数学5月月考卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，向量与的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 在中，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在内的学生人数为（ ） A. 300 B. 400 C. 600 D. 1200 7. 小明同学的早餐是一个馒头和一块火腿肠，馒头可以看作一个底面直径为的半球，火腿肠可以看作是由一平面将一圆柱截去一部分所得，其数据如图所示，题该馒头和火腿的体积分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在长方体中，若，，则异面直线，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分） 9. 已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 若复数z满足，则最小值为 10. 已知，是空间中的两个不同的平面，，，是三条不同的直线．下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. （多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图．已知该企业男员工占，则下列结论错误的是（ ） A. 男、女员工得分在A区间的占比相同 B. 在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数 C. 得分在C区间的员工最多 D. 得分在D区间的员工占总人数的19% 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分） 12. 样本数据11，14，5，6，8，1，3，9的下四分位数是______． 13. 已知向量，为单位向量，且，则______． 14. 已知二面角是直二面角，P是棱AB上一点，PE，PF分别在平面，内，，那么的大小是________． 四、解答题 15. 已知复数，（，为虚数单位）． （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量． （1）求证：三点共线． （2）若，求的值． 17. 已知的内角所对的边分别为，，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 18. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 19. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面 为矩形，且平面平面 ，，分别为，的中点，二面角的正切值为2. （1）求四棱锥的体积； （2）证明： （3）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $