专题1.1 平面内点的坐标（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题1.1 平面内点的坐标 教学目标 1.理解平面直角坐标系的有关概念，并能正确画出平面直角坐标系。 2.会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 3.理解平面内点与有序实数对是一一对应的。 4.能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，发展数形结合思想和提高用数学解决实际问题的能力。 教学重难点 教学重点 平面直角坐标系的相关概念：掌握平面直角坐标系的建立方法，明确横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）以及原点的定义，理解象限的划分方法，知道坐标平面被坐标轴分成四个象限，且坐标轴上的点不属于任何象限。 点的坐标表示方法：理解横、纵坐标的意义，学会用有序实数对来表示平面内点的坐标，掌握坐标点的正确书写格式，能根据点在坐标系中的位置写出其坐标，也能根据坐标在坐标系中找到相应的点。 坐标特征：掌握平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征，如四个象限内点的坐标符号分别是（＋，＋），（－，＋），（―，―），（＋，－），以及坐标轴上点的坐标特点（x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0）。 教学难点 特殊位置的点的坐标特征：理解并掌握特殊位置的点的坐标特征，如关于 x 轴、y 轴及原点对称的点的坐标关系（关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数），还有象限角平分线上点的坐标特点（第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数），并能灵活运用这些特征解题。 坐标表示的实际应用：能够根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，将实际问题中的位置关系转化为坐标问题，并用坐标知识解决，如确定地图上地点的位置、解决几何图形中的坐标相关问题等。 知识点01 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 知识点02 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点归纳： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点03 象限及特殊位置上的点的坐标特点 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点归纳： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 特殊位置上点的坐标特点 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 【即学即练】 1.若点在第四象限，则a的取值范围是 ． 2.在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 3.已知P点坐标为，且点P在y轴上，则点P的坐标是 ． 4.已知点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），若直线AB∥x轴，则点A的坐标为 　　 ． 5.已知AB∥y轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为 　． 知识点04 建立适当的平面直角坐标系 根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，由此可确定点的坐标。在确定平面直角坐标系时，要选择那些使点的位置比较容易确定的方法。一般有一下几种常用方法： （1）使图形中尽量多的点在坐标轴上； （2）以某些特殊线段（如高线、中线等）所在的直线为x轴或y轴。 （3）以某线段所在直线或其垂直平分线作为x轴或y轴。 （4）以某已知点为原点，使它的坐标为（0，0）. 【即学即练】如图所示是某市一个公园的平面示意图，每个小正方形边长表示1个单位长度，如果将动物园的位置记作，游乐场的位置记作，那么则坐标原点是（    ） A．休息大厅 B．南门入口 C．大世界 D．水上乐园 题型01 写出特殊位置上的点的坐标 【例1-1】（根据点到坐标轴的距离写出点的坐标）（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）若A点在第四象限，且到x，y轴的距离分别为3，2，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（根据点所在的象限写出点的坐标）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知平面直角坐标系内一点到x轴与y轴距离分别为3和5，且该点在第三象限，则该点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（写出坐标轴上点的坐标）（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中一点，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【例1-4】（写出平行于指定坐标轴点的坐标）（23-24八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中有点．已知点，且轴，求点M的坐标； 【例1-5】（写出未指定平行于坐标轴点的坐标）已知点M（2a+5，a﹣2）在第四象限，点N的坐标为（5，﹣4），且直线MN与坐标轴平行．求点M的坐标． 【例1-6】（建立适当的平面直角坐标系确定点的坐标）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图所示为某市部分建筑简图，每个小方格的边长为1个单位，请建立合适的平面直角坐标系．使高铁南站的坐标为，并写出人民体育馆、市民广场的位置坐标． 【例1-7】（写出到坐标轴距离相等的点的坐标）已知点P（a﹣2，2a+8），请分别根据下列条件求出点P 的坐标： （1）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； （2）点P到x轴、y轴的距离相等． 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中国象棋棋盘中建立平面直角坐标系，则“车”的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列各点中，位于坐标轴上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【变式1-4】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点的坐标为 ． 【变式1-5】已知点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），若直线AB∥x轴，则点A的坐标为 　　 ． 【变式1-6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有一点， (1)点在轴上，求的坐标． (2)当点的坐标为，且直线轴时，求的坐标． 【变式1-7】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)作出校园平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标． 【变式1-8】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为1，求M的坐标． 题型02 点的位置与坐标中字母的取值关系 【例2-1】（由点的位置来确定字母的取值范围）（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）点在第四象限，则的取值范围是_______． 【例2-2】（由字母的取值范围来确定点的位置）（2023•安徽模拟）若点A（﹣m，n）在第三象限，则点B （m+1，n﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若点在第二象限，则的取值范围为 ． 【变式2-2】已知点，且，，则点P在第 象限； 题型03 在平面直角坐标系中求图形面积 【例3-1】在平面直角坐标系中,顺次连接（-2,1）,（-2,-1）,（2,-2）,（2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积. 【例3-2】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，点，，在同一平面直角坐标系中，则三角形的面积为 ．    【变式3-2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为某学校新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为，图书馆的坐标为．    (1)若体育馆C的坐标为，食堂D的坐标为，请在图中标出C，D的位置； (2)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形，求四边形的面积． 【变式3-3】（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型04 用方位角和距离描述位置 【例4】点A的位置如图所示，则关于点A的位置，下列说法中最准确的是（  ） A．距点O处 B．北偏东方向上处 C．在点O北偏东方向上处 D．在点O北偏东方向上处 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列在具体情境中不能确定平面内位置的是（   ） A．东经，北纬 B．电影院某放映厅10排4号 C．合肥步行街 D．巢湖北偏东方向，处 【变式4-2】如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置． 【变式4-3】下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 题型05 关于点的坐标的创新题 【例5-1】（跨学科）（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“ ”． 【例5-2】（新定义）（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【变式5-1】若方程组的解满足，则点在第 象限． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【变式5-3】已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“梦想点”． (1)判断点是否为“梦想点”； (2)若点是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．万达影城号厅排 B．振兴路 C．南偏东 D．东经，北纬 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）年月第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，如图是本届亚冬会的会徽“超越”图案，若点、点的坐标分别为、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各点中，位于第四象限的是：（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）若点在轴上，则点在（   ） A．轴的正半轴上 B．轴的负半轴上 C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上 二、填空题 8．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若点在x轴上，则点在第 象限． 9．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）若点，且，，则点位于第 象限． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 三、解答题 12．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶端S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，求的值． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若，且∥轴，求点的坐标． 14．已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点Q的坐标是，轴； (2)点P在第一、三象限的角平分线上． 16．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)直线轴，且点的坐标为． 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是某文化广场的平面示意图，其中行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是． (1)请根据上述信息，画出这个平面直角坐标系； (2)写出体育馆、升旗台、盘龙苑小区的坐标； (3)小李现在的位置是，请在图中用字母标出小李现在的位置． 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且的坐标可以表示成，求的长； (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 21.如图，长方形中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是，C点的坐标是且满足，点P在y轴上运动（不与点O，C重合） (1)______，______，B点的坐标为______． (2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形的面积是长方形面积的，若存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点P在y轴上运动的过程中，与、之间有怎样的数量关系，请直接写出． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 平面内点的坐标 教学目标 1.理解平面直角坐标系的有关概念，并能正确画出平面直角坐标系。 2.会根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标。 3.理解平面内点与有序实数对是一一对应的。 4.能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置，发展数形结合思想和提高用数学解决实际问题的能力。 教学重难点 教学重点 平面直角坐标系的相关概念：掌握平面直角坐标系的建立方法，明确横轴（x 轴）、纵轴（y 轴）以及原点的定义，理解象限的划分方法，知道坐标平面被坐标轴分成四个象限，且坐标轴上的点不属于任何象限。 点的坐标表示方法：理解横、纵坐标的意义，学会用有序实数对来表示平面内点的坐标，掌握坐标点的正确书写格式，能根据点在坐标系中的位置写出其坐标，也能根据坐标在坐标系中找到相应的点。 坐标特征：掌握平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征，如四个象限内点的坐标符号分别是（＋，＋），（－，＋），（―，―），（＋，－），以及坐标轴上点的坐标特点（x 轴上的点纵坐标为 0，y 轴上的点横坐标为 0）。 教学难点 特殊位置的点的坐标特征：理解并掌握特殊位置的点的坐标特征，如关于 x 轴、y 轴及原点对称的点的坐标关系（关于 x 轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等；关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数），还有象限角平分线上点的坐标特点（第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数），并能灵活运用这些特征解题。 坐标表示的实际应用：能够根据实际问题建立适当的平面直角坐标系，将实际问题中的位置关系转化为坐标问题，并用坐标知识解决，如确定地图上地点的位置、解决几何图形中的坐标相关问题等。 知识点01 平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(如图1). 知识点02 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. 要点归纳： （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点03 象限及特殊位置上的点的坐标特点 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 要点归纳： （1）坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． （2）按方位来说：第一象限在坐标平面的右上方，第二象限在左上方，第三象限在左下方，第四象限在右下方. 2. 特殊位置上点的坐标特点 点P(x，y)的位置 在象限内 第一象限 x＞0，y＞0 第二象限 x＜0，y＞0 第三象限 x＜0，y＜0 第四象限 x＞0，y＜0 坐标轴上 x轴 y=0  y轴 x=0  原点 x=y=0  在角平分线上 第一、三象限 x=y 第二、四象限 x= -y 在平行坐标轴的直线上 平行x轴 所有点的 纵 坐标相等 平行y轴 所有点的 横 坐标相等 【即学即练】 1.若点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 则， 2.在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点在x轴上，则， 解得， ∴， 3.已知P点坐标为，且点P在y轴上，则点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：点在y轴上， ， ， ， 该点坐标为， 4.已知点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），若直线AB∥x轴，则点A的坐标为 　　 ． 【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），直线AB∥x轴， ∴2﹣m＝﹣3， 解得m＝5． ∴m﹣1＝4， ∴点A（4，﹣3）， 故答案是：（4，﹣3）． 5.已知AB∥y轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为 　． 【解答】解：∵AB∥y轴，点A的坐标为（3，2）， ∴点B的横坐标为3， ∵AB＝5， ∴点B在点A的上边时，点B的纵坐标为2+5＝7， 点B在点A的下边时，点B的纵坐标为2﹣5＝﹣3， ∴点B的坐标为：（3，7）或（3，﹣3）． 故答案为：（3，7）或（3，﹣3）． 知识点04 建立适当的平面直角坐标系 根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，由此可确定点的坐标。在确定平面直角坐标系时，要选择那些使点的位置比较容易确定的方法。一般有一下几种常用方法： （1）使图形中尽量多的点在坐标轴上； （2）以某些特殊线段（如高线、中线等）所在的直线为x轴或y轴。 （3）以某线段所在直线或其垂直平分线作为x轴或y轴。 （4）以某已知点为原点，使它的坐标为（0，0）. 【即学即练】如图所示是某市一个公园的平面示意图，每个小正方形边长表示1个单位长度，如果将动物园的位置记作，游乐场的位置记作，那么则坐标原点是（    ） A．休息大厅 B．南门入口 C．大世界 D．水上乐园 【答案】C 【详解】解：如图， ∴坐标原点是大世界． 题型01 写出特殊位置上的点的坐标 【例1-1】（根据点到坐标轴的距离写出点的坐标）（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）若A点在第四象限，且到x，y轴的距离分别为3，2，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限第四象限．直接利用第四象限点的坐标特点和点到坐标轴的距离得出答案即可． 【详解】∵点A在第四象限， ∴点A的横坐标是正数，纵坐标是负数， ∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴A点坐标为， 故选：B． 【例1-2】（根据点所在的象限写出点的坐标）（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知平面直角坐标系内一点到x轴与y轴距离分别为3和5，且该点在第三象限，则该点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，设P的坐标为，根据点P在第三象限，可得x、y的符号，进而由点坐标的意义，可得x、y的值，即可得点的坐标，解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，以及点坐标的几何意义． 【详解】解：设该点的坐标为，且点P在第三象限，则，， 又有点到x轴与y轴距离分别为3和5， 可得，， ∴该点坐标为， 故选B． 【例1-3】（写出坐标轴上点的坐标）（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知平面直角坐标系中一点，若点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标轴上的点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题的关键．先根据坐标轴上的点的坐标特征可求出a的值，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴，解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【例1-4】（写出平行于指定坐标轴点的坐标）（23-24八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中有点．已知点，且轴，求点M的坐标； 【答案】 【分析】本题考查了平行于轴的点坐标的特征，点到坐标轴的距离，绝对值方程．熟练掌握平行于轴的点坐标的横坐标相同是解题的关键． 由轴，可得，计算求解的值，进而可求点M的坐标； 【详解】解：∵轴， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； 【例1-4】（写出未指定平行于坐标轴点的坐标）已知点M（2a+5，a﹣2）在第四象限，点N的坐标为（5，﹣4），且直线MN与坐标轴平行．求点M的坐标． 【解答】解：（1）当直线MN与x轴平行时， a﹣2＝﹣4，解得a＝﹣2． ∴2a+5＝﹣4+5＝1，点M的坐标为（1，﹣4）； （2）当直线MN与y轴平行时， 2a+5＝5，解得a＝0， ∴a﹣2＝﹣2，点M的坐标为（5，﹣2）． 综上所述，点M的坐标为（1，﹣4）或（5，﹣2）． 【例1-6】（建立适当的平面直角坐标系确定点的坐标）（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图所示为某市部分建筑简图，每个小方格的边长为1个单位，请建立合适的平面直角坐标系．使高铁南站的坐标为，并写出人民体育馆、市民广场的位置坐标． 【答案】见解析，人民体育馆的位置坐标为，市民广场的位置坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点坐标．熟练掌握平面直角坐标系，点坐标是解题的关键． 由高铁南站的坐标为作平面直角坐标系，然后作答即可． 【详解】解：∵高铁南站的坐标为， ∴作平面直角坐标系如下： ∴人民体育馆的位置坐标为，市民广场的位置坐标为． 【例1-7】（写出到坐标轴距离相等的点的坐标）已知点P（a﹣2，2a+8），请分别根据下列条件求出点P 的坐标： （1）点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴； （2）点P到x轴、y轴的距离相等． 【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴， ∴a﹣2＝1，且2a+8≠5， 解得：a＝3，故2a+8＝14， 则P（1，14）． （2）∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴a﹣2＝2a+8或a﹣2+2a+8＝0， 解得：a1＝﹣10，a2＝﹣2， 当a＝﹣10时，a﹣2＝﹣12，2a+8＝﹣12，则P（﹣12，﹣12）； 当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4，2a+8＝4，则P（﹣4，4）． 综上所述：P（﹣12，﹣12）或（﹣4，4）． 【变式1-1】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）如图，在中国象棋棋盘中建立平面直角坐标系，则“车”的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，坐标确定位置．根据“车”在坐标系的位置直接写出“车”的坐标即可． 【详解】解：由图象得，“车”的坐标为， 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级上·安徽滁州·期中）下列各点中，位于坐标轴上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征．根据坐标轴上点的坐标特征：轴上所有点的纵坐标为；轴上所有点的横坐标为，逐项验证即可得到答案． 【详解】解：根据坐标轴上点的坐标特征：只有在轴上，其余都不在坐标轴上， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键：若已知点，，则线段的中点的坐标为． 由中点坐标公式即可直接得出答案． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为，即， 故答案为：． 【变式1-4】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知点在第二象限，且到轴的距离是2，到y轴的距离是5，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，以及象限内点的坐标特征，熟练运用象限内点的坐标特征是解决此题的关键，根据点到坐标轴的距离可知点P横坐标的绝对值是5，纵坐标的绝对值是2，因为点在第二象限，即可得到答案． 【详解】解：∵点P在第二象限内，且到轴的距离是2，到轴的距离是5， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【变式1-5】已知点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），若直线AB∥x轴，则点A的坐标为 　　 ． 【解答】解：∵点A（m﹣1，﹣3）和点B（﹣1，2﹣m），直线AB∥x轴， ∴2﹣m＝﹣3， 解得m＝5． ∴m﹣1＝4， ∴点A（4，﹣3）， 故答案是：（4，﹣3）． 【变式1-6】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知平面直角坐标系中有一点， (1)点在轴上，求的坐标． (2)当点的坐标为，且直线轴时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标平面内坐标轴上点的坐标特征，平行于坐标轴的点的特征； （1）根据x轴上点特点：纵坐标为0，即可求得a的值，从而得点P的坐标； （2）由直线轴，得点P与点Q的横坐标相同，即可求得a的值，从而得点P的坐标． 【详解】（1）解：点，在轴上， ， 解得：， 故， 则； （2）解：点的坐标为，直线轴， ，解得：， 故，则 【变式1-7】（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁．数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是． (1)作出校园平面示意图所在的平面直角坐标系； (2)写出宿舍楼、食堂、图书馆的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)宿舍楼，食堂，图书馆 【分析】本题考查平面直角坐标系： （1）根据旗杆、实验室的坐标确定x和y轴，建立坐标系； （2）根据宿舍楼、食堂、图书馆在坐标系中的位置写出坐标． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：由平面直角坐标系得：宿舍楼，食堂，图书馆． 【变式1-8】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系中有一点． (1)若点M在y轴上，求M的坐标； (2)若点M到y轴的距离为1，求M的坐标． 【答案】(1)M的坐标为 (2)点M的坐标为或 【分析】本题考查点的坐标，熟练掌握点到y轴的距离就是横坐标的绝对值，到x轴的距离就是纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可； （2）点M到y轴的距离为1，就是点M横坐标的绝对值为1，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点M在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴M的坐标为； （2）解：∵点P到y轴的距离为1， ∴， 解得或， 当时，，， 当时，，， 故点M的坐标为或． 题型02 点的位置与坐标中字母的取值关系 【例2-1】（由点的位置来确定字母的取值范围）（2023秋·安徽六安·八年级统考期末）点在第四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】∵点在第四象限， ∴， 解得：， 故的取值范围是：． 【例2-2】（由字母的取值范围来确定点的位置）（2023•安徽模拟）若点A（﹣m，n）在第三象限，则点B （m+1，n﹣1）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵点A（﹣m，n）在第三象限， ∴﹣m＜0，n＜0， ∴m＞0， ∴m+1＞0，n﹣1＜0， ∴B（m+1，n﹣1）在第四象限． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）若点在第二象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了平面直角坐标中点的特点，不等式的性质，根据第一象限点的符合为，第二象限点的符合为，第三象限点的符合为，第四象限点的符合为，由此列式求不等式的解，取值方法为“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可求解． 【详解】解：点在第二象限， ∴， 解得，，， ∴ 故答案为： ． 【变式2-2】已知点，且，，则点P在第 象限； 【答案】三 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：∵点，且，， ∴，， 点在第三象限， 故答案为：三． 题型03 在平面直角坐标系中求图形面积 【例3-1】在平面直角坐标系中,顺次连接（-2,1）,（-2,-1）,（2,-2）,（2,3）各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积. 【答案】梯形，梯形ABCD＝14. 【分析】将A、B、C、D四点在图中标出来，顺次连接即可得出图形为梯形，结合四点坐标求出梯形的上、下底以及高的长度，再利用梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：该四边形ABCD是梯形， ∵A（−2，1），B（−2，−1），C（2，−2），D（2，3）， ∴AB＝2，CD＝5，梯形的高为4， ∴梯形ABCD＝＝14. 【点睛】本题考查了坐标中描点问题，解题的关键是求出AB＝2，CD＝5，梯形的高为4．本题属于基础题，难度不大. 【例3-2】已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出． (2)的面积是 ； (3)设点P在y轴上，且与的面积相等，求点P的坐标． 【答案】(1)见解答 (2)4 (3)或 【分析】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确的面积四边形的面积的面积的面积的面积是解题的关键． （1）确定出点、、的位置，连接、、即可； （2）过点向、轴作垂线，垂足为、，的面积四边形的面积的面积的面积的面积； （3）当点在轴上时，的面积，解得：．所以点的坐标为或． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、． 四边形的面积，的面积，的面积，的面积． 的面积四边形的面积的面积的面积的面积 ． 故答案为：4； （3）点在轴上， 的面积， 即， 解得：． 所以点的坐标为或． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，点，，在同一平面直角坐标系中，则三角形的面积为 ．    【答案】 【详解】的面积为：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图为某学校新校区分布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若教学楼的坐标为，图书馆的坐标为．    (1)若体育馆C的坐标为，食堂D的坐标为，请在图中标出C，D的位置； (2)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得到四边形，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积＝10 【分析】本题考查了坐标确定位置，平面直角坐标系的定义，网格结构中不规则四边形的面积的求解，熟记概念并熟练运用网格结构是解题的关键． （1）根据，建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系标注体育馆和食堂即可； （2）根据四边形所在的矩形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【详解】（1）解：，位置如图所示；    （2）解：四边形的面积． 【变式3-3】（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图所示，，，点在轴上，且． (1)求点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，或 【详解】（1）如图， 当点在点的右边时，， 当点在点的左边时，， 所以的坐标为或； （2）的面积， 答：的面积为； （3）设点到轴的距离为， 则， 解得， 当点在轴正半轴时，， 当点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或 题型04 用方位角和距离描述位置 【例4】点A的位置如图所示，则关于点A的位置，下列说法中最准确的是（  ） A．距点O处 B．北偏东方向上处 C．在点O北偏东方向上处 D．在点O北偏东方向上处 【答案】D 【分析】本题考查了坐标方法的应用，熟练掌握利用方位角和距离确定位置是解题关键．根据方位角和距离确定位置即可得． 【详解】解：解：由图可知，点A在点O北偏东方向上处， 故选：D． 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）下列在具体情境中不能确定平面内位置的是（   ） A．东经，北纬 B．电影院某放映厅10排4号 C．合肥步行街 D．巢湖北偏东方向，处 【答案】C 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键．根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、东经，北纬，能确定位置，不符合题意； B、电影院某放映厅10排4号，能确定位置，不符合题意； C、合肥步行街，不能确定位置，符合题意； D、万巢湖北偏东方向，处，能确定位置，不符合题意． 故选：C． 【变式4-2】如图，货船与港口相距30海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，30海里）来描述，请你用有序数对描述港口相对货船的位置． 【答案】北偏东，30海里 【分析】本题考查坐标确定位置，以点为中心点，来描述点的方向及距离即可，掌握用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解题的关键，根据定义求解即可． 【详解】解：由题意知港口相对货船的位置用有序数对描述为（北偏东海里）． 【变式4-3】下图是豆豆从家到学校的路线．请按要求填答． (1)豆豆从家出发，先向正东行驶米到游乐园，再向（    ）方向行驶（    ）米到图书馆，最后向（    ）方向行驶（    ）米到学校． (2)学校8：00开始上课，一天早上，豆豆7点30从家出发骑车到游乐园时，发现没带数学课本，于是他赶回家取了课本后继续上学．如果豆豆每分钟骑行米，他会迟到吗？ 【答案】(1)东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、 (2)豆豆不会迟到 【分析】本题考查了依据地图上的方向辨别方法，依据方向和距离判定物体位置的方法，读懂地图是解答关键． （1）根据地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”来求解； （2）先计算出豆豆用的时间，再计算出豆豆往返后再到学校的路程，然后用豆豆每分钟骑行米所走的路程进行比较求解． 【详解】（1）解：根据地图描述豆豆从家到学校的路线：先向正东行驶米到游乐园，再向东偏北（北偏东）方向行驶米到图书馆，最后向西偏北（北偏西）方向行驶 米到学校 故答案为：东偏北（北偏东）、、西偏北（北偏西）、． （2）解：根据题意得 （分钟） 豆豆的路程： ． 答：豆豆不会迟到. 题型05 关于点的坐标的创新题 【例5-1】（跨学科）（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图是一组密码的一部分，为了保密，不同情况采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“怕方温”的真实意思是“都是水”．破译后“再青都”的真实意思是“ ”． 【答案】昨天到 【分析】本题考查了坐标确定位置，发现规律是解答本题的关键．解答本题的关键是发现对应字之间的规律．根据题意可以发现对应字之间的规律，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， “怕方温”的真实意思是“都是水”，“怕”所对应的字为“都”，是“怕”字先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的“都”，其他各个字对应也是这样得到的， 破译后“再青都”的真实意思是“昨天到”， 故答案为：昨天到． 【例5-2】（新定义）（23-24八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中， 将点称为点的“关联点”， 例如： 点是点的“关联点”， 则点的“关联点”在第 象限． 【答案】二 【分析】本题主要考查象限点的坐标特征、“关联点”的定义等知识点，根据关联点的定义确定点的“关联点”是解题的关键． 先根据关联点的定义确定点的“关联点”，然后再确定其所在的象限即可． 【详解】解：由“关联点”的定义可知：点的“关联点”的坐标为， ∴点的“关联点”在第二象限． 故答案为：二． 【变式5-1】若方程组的解满足，则点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了解三元一次方程组和点坐标所在象限的判定，方程组三方程相加即可求出的值，从而得到k的值，即可得到P的坐标，再进行判断即可． 【详解】解：， 得， 整理得， ∴， ∴， 点为， ∴点在第四象限， 故答案为：四． 【变式5-2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点， （1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为 （2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义． （1）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成； （2）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成． 【详解】解：（1）由题意得：， 点的一对“和谐点”坐标是与， 又点的一对“和谐点”重合， ， ， 故答案为：6； （2）设点C的坐标为， 若点的一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 若点的另一个“和谐点”坐标为， 则， ， ； 综上所述，点C的坐标为或． 【变式5-3】已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“梦想点”． (1)判断点是否为“梦想点”； (2)若点是“梦想点”，请判断点Q在第几象限，并说明理由． 【答案】(1)是“梦想点”； (2)点Q在第三象限． 【详解】（1）解：当时，，， 所以， 所以是“梦想点”； （2）解：点Q在第三象限， 理由如下： ∵点是“梦想点”， ∴， 解得， ∴，， ∴点Q在第三象限． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：A.在第四象限，故本选项不合题意； B.在第三象限，故本选项不合题意； C.在第二象限，故本选项不合题意； D.在第一象限，故本选项符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）根据下列表述，能确定准确位置的是（    ） A．万达影城号厅排 B．振兴路 C．南偏东 D．东经，北纬 【答案】D 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，据此对各选项分析判断即可求解，理解坐标的定义是解题的关键． 【详解】解：、万达影城号厅排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； 、振兴路，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； 、南偏东，不能确定具体位置，故本选项不符合题意； 、东经，北纬，能确定具体位置，故本选项符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）年月第九届亚洲冬季运动会将在哈尔滨举行，如图是本届亚冬会的会徽“超越”图案，若点、点的坐标分别为、，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了用坐标确定位置，先根据两点的坐标建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系即可确定点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：∵点、点的坐标分别为、， ∴建立平面直角坐标系如下： 由平面直角坐标系可得，点的坐标为， 故选：． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列各点中，位于第四象限的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：A．在第四象限，故A符合题意； B．在第一象限，故B不符合题意； C．在第三象限，故C不符合题意； D．在第二象限，故D不符合题意． 故选：A． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，解题关键是熟记各象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：根据第二象限为可知，点位于第二象限， 故选：B． 6．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）点到轴的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可，熟练掌握平面内点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点， ∴点到轴的距离为， 故选：． 7．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）若点在轴上，则点在（   ） A．轴的正半轴上 B．轴的负半轴上 C．轴的正半轴上 D．轴的负半轴上 【答案】D 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上点的横坐标为0得出，继而得出，再根据点的坐标即可判断．熟练掌握坐标轴上点的坐标的特征是解题的关键． 【详解】解：点在轴上， ， ， 点的坐标是， 点在轴的负半轴上， 故选：D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若点在x轴上，则点在第 象限． 【答案】四 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．根据x轴上点的纵坐标为0，求出a的值，从而得到点B的坐标，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】点在x轴上， ， ， 点B在第四象限， 故答案为：四． 9．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）若点，且，，则点位于第 象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据已知，可得，再根据各象限内点的坐标特征解答即可．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴， 点M在第二象限， 故答案为：二． 10．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为 ． 【答案】2 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标特征是解题的关键 根据点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：解：点到y轴的距离为， 故答案为：2 11．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 【答案】 或 【知识点】整式加减的应用、其他问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义， （1）依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）点的“阶和谐点”到x轴的距离为7，即可得到关于t的方程，进而得到t的值． 【详解】解：（1）点的“3阶和谐点”的坐标为， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）∵点， ，． ∴点C的“阶和谐点”为， ∵点的“阶和谐点”到x轴的距离为7， ∴， ∴或． 解得 或 ． 故答案为：或． 三、解答题 12．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，这是蜡烛的平面镜成像原理图，以水平面为轴，镜面侧面为轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系．若某时刻火焰顶端S的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，求的值． 【答案】1 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、代入消元法、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解二元一次方程组，代数式求值， 根据题意可知两个点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同得出方程组，求出方程组的解，再求出待求式的值即可． 【详解】解：与关于轴对称 ， 解得：， ． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若，且∥轴，求点的坐标． 【答案】(1)点M的坐标为； (2)点M的坐标为． 【知识点】坐标与图形综合、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质， （1）根据在轴上点的坐标的纵坐标为0，以此建立方程求解即可； （2）根据轴可知，点M，N的横坐标相等，以此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为； （2）解：∵点N的坐标为，直线轴， ∴， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 14．已知点，解答下列各题： (1)若点Q的坐标为，且直线轴，求出点P的坐标； (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握各象限点的坐标规律是关键． （1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵点Q的坐标为，且直线轴， ∴， 解得：， ， 点的坐标为； （2）解：∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得：， 此时， ∴点P的坐标为． 15．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点P的坐标． (1)点Q的坐标是，轴； (2)点P在第一、三象限的角平分线上． 【答案】(1) (2) 【知识点】坐标与图形综合、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟知平行于y轴的直线上及第一、三象限角平分线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （2）根据第一、三象限角平分线上点的坐标特征即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，点Q坐标为，且轴， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． （2）因为点P在第一、三象限的角平分线上， 所以， 解得， 则， 所以点P的坐标为． 16．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别根据下列条件求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)直线轴，且点的坐标为． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 【知识点】坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，熟练掌握y轴上点的坐标特征和平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标为0求出m值，即可求解； （2）根据与x轴平行的直线上点的纵坐标相等，求出m值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵直线轴，且点的坐标为， ∴ 解得：， ∴ ∴点的坐标为． 17．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是某文化广场的平面示意图，其中行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是． (1)请根据上述信息，画出这个平面直角坐标系； (2)写出体育馆、升旗台、盘龙苑小区的坐标； (3)小李现在的位置是，请在图中用字母标出小李现在的位置． 【答案】(1)见解析 (2)体育馆、升旗台、盘龙苑小区 (3)见解析 【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查了坐标位置的确定，利用平面直角坐标系的特点，根据点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键． （1）根据行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是，确定国际大酒店为坐标原点，建立平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系写出体育馆、升旗台、盘龙苑小区； （3）根据平面直角坐标系可知小李的位置． 【详解】（1）解：行政办公楼的坐标是，南城百货的坐标是， 国际大酒店为坐标原点， 如图，建立平面直角坐标系； （2）解：根据平面直角坐标系得体育馆、升旗台、盘龙苑小区 （3）解：小李现在的位置是， 如图，点即为所求. 18．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，把点到轴的距离记作，到轴的距离记作． (1)若，求的值； (2)若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标的距离，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）把代入式子中进行计算，然后根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，即可解答； （2）根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝对值的意义进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，， 点的坐标为， ，， ； （2）解：， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为． 19．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)若点在第三象限，且到轴的距离为3，求点的坐标； (2)若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点与坐标的对应关系，点到坐标轴的距离，各个象限的点的特征，第二、四象限的角平分线上的点的特征，解题的关键是掌握点的坐标特征． （1）根据题意得到且，解答即可； （2）根据题意得到点横、纵坐标互为相反数，进而即可求解. 【详解】（1）解：由题意得：且， ∴且或， ∴， 当时，， （2）解;∵在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴. 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知点． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)已知直线平行于轴，且的坐标可以表示成，求的长； (3)试判断点是否可能在第二象限，并说明理由． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) (3)可能，理由见解析 【知识点】求不等式组的解集、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形，解一元一次不等式组，掌握性质是解题的关键： （1）根据题意得出，求出，即可得出答案； （2）根据题意得出，求出，据此计算即可得出答案； （3）根据题意列出不等式组，再求解即可． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵直线平行于轴， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为，， ∴； （3）解：可能； 理由：若点P在第二象限， 则，解得， 不等式组的解集为， ∴点P可能在第二象限． 21.如图，长方形中，点A，C在坐标轴上，其中A点的坐标是，C点的坐标是且满足，点P在y轴上运动（不与点O，C重合） (1)______，______，B点的坐标为______． (2)点P在y轴上运动的过程中，是否存在三角形的面积是长方形面积的，若存在，请求出点P的坐标，若不存在请说明理由． (3)点P在y轴上运动的过程中，与、之间有怎样的数量关系，请直接写出． 【答案】(1)2，3， (2)存在，点P的坐标是 (3)当点P在点C上方时，；当点P在点之间时，；当点P在点下方时，； 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、坐标与图形、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】（1）根据绝对值与算术平方根的非负性直接计算即可得到答案； （2）根据（1）可得，，设点，根据面积关系列式求解即可得到答案； （3）过P作，分点在上方，的下方，之间三类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 故答案为：2，3，； （2）解：假设存在，由（1）得， ，， ∴， 设点， ∴， ∵三角形的面积是长方形面积的， ∴，解得：， ∴假设成立存在点P使三角形的面积是长方形面积的： ，； （3）解：过P作， ①当点在之间时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当点在的下方时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ③当点在上方时，如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【点睛】本题主要考查根据平行线的性质与判定探究角度关系，绝对值与算术平方根非负性及坐标系中动点围城三角形面积问题，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0它们分别等于0，探究角度关系注意分类讨论，面积问题注意点到坐标轴的距离与坐标关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$