精品解析：河南省漯河市临颍县2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

2024～2025学年度下期期中学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 在四边形中，点分别是边的中点，下列条件一定能使四边形是菱形的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. 四边形是菱形 D. 7. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，点E、F分别是正方形的边上点，且，相交于点G，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图在中，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________ 12. 如图，在中，对角线相交于O，于点O，交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长是_______． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，则菱形的面积为________． 14. 已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED=_____． 15. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2），求的值． 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 18. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 19. 如图，中，cm，cm，，G是的中点，E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，求的长度； （3）当=______cm时，四边形是菱形． 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 21. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 23. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1） °（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的面积． （3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下期期中学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有因数9，不是最简二次根式，不合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，不合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，利用二次根式的加减运算法则以及二次根式的乘除运算法则分别计算，进而得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不可以合并，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 故选：． 3. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到，进而求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：A． 4. 由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形，符合题意； C、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】通过平行四边形性质，可计算得；再结合AB⊥AC推导得为直角三角形，通过勾股定理计算得，再结合平行四边形性质，计算得到答案． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO， ∵AB⊥AC，AB＝4，AC＝6， ∴∠BAO＝90°，OA＝3 ∴， ∴BD＝2BO＝10， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形和勾股定理的性质． 6. 在四边形中，点分别是边的中点，下列条件一定能使四边形是菱形的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. 四边形是菱形 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，中位线定理，先由中位线定理证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的判定方法逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点分别是边的中点， ∴在与中，，，且，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 、若四边形是平行四边形，不能说明四边形为菱形； 、∵， ∴， ∴四边形为菱形，原选项符合题意； 、∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形为矩形， 、若不能不能说明四边形为菱形； 故选：． 7. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30° ∴，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形周长为16． 故选D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，得到，交于点 F，则重叠部分的面积为（   ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠，根据折叠得，得，设， ，在中，根据勾股定理得，即可求解. 【详解】解：依题意可知，矩形沿对角线对折后有： ，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得． ∴； ∴． 故选：C． 9. 如图，点E、F分别是正方形的边上点，且，相交于点G，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，垂直的判定等，理解题意，综合运用全等三角形全等的判定和性质是解题关键． 根据正方形的性质及全等三角形的判定定理和性质、垂直的判定依次进行判断即可得解． 【详解】解：A、∵四边形是正方形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 故A正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， 故B正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∴ 即， 故C正确，不符合题意； D、∵与的数量关系不清楚， ∴无法得与的数量关系， 故D不正确，符合题意； 故选D． 10. 如图在中，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长． 【详解】解：连接，在中，， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴过点M，M为中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴， ∴， ∴最短时，， ∴当最短时，． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小：________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质将和变形，再比较大小． 【详解】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的大小比较，利用二次根式的性质将根号外的系数转入根号内是解题的关键． 12. 如图，在中，对角线相交于O，于点O，交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，中垂线的判定和性质，根据平行四边形的性质，得到，根据于点O，得到垂直平分，进而得到，得到的周长，进而求出平行四边形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵于点O， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长为， ∴平行四边形的周长； 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，，则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，根据菱形的性质，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为； 故答案为：． 14. 已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED=_____． 【答案】1 【解析】 【分析】延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE=EF，又因为BD=CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长． 【详解】解：延长BE交AC于F， ∵AE平分∠BAC，BE⊥AE， ∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°， 在△ABE与△AFE中，， ∴△ABE≌△AFE（ASA）， ∴BE=EF，AB=AF， ∵AB=5， ∴AF=5， ∵AC=7， ∴CF=AC-AF=7-5=2， ∵D为BC中点， ∴BD=CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴DE=CF=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形． 15. 如图等腰三角形的底边长为，腰长为，一动点P(不与B，C重合)，在底边上从B向C以的速度移动，当P运动________秒时，三角形是直角三角形． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出、以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ∵， ∴， 当点P运动到与点D重合，即为直角时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为(秒)； 当时，设 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 所以运动时间为(秒)； 综上可得：当P运动4秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：或4． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2），求的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径是解题关键． （1）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再和并即可求解； （2）先求出，再代入计算即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ 17. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 18. 某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【解析】 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中，，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 19. 如图，中，cm，cm，，G是的中点，E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，求的长度； （3）当=______cm时，四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∵G是的中点， . 又 ∴四边形是平行四边形. （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）先根据SAS证明，得，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得证. （2）由矩形的性质得，再根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”可求得的长，因此可得的长. （3）由菱形的性质得，再根据“直角三角形中角所对的边等于斜边的一半”可求得的长，因此可得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形, ∵四边形是平行四边形, ∴， ∴. ∴的长度为cm. 【小问3详解】 ∵四边形是菱形， 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质，菱形的性质，和直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键. 20. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 21. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒4个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． （1）求证：； （2）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由． （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】 （1）证明：在中，，， 又 ； （2）能，当时，四边形为菱形； （3）解：当或时，为直角三角形； 理由如下： ①时，四边形为矩形． 在中，， ．即， ②时，由（2）知， ． 即 ③时， ， 点E运动到点B处，用了秒， 同时点D也运动秒钟，点D就和点A重合， 点F也就和点B重合， 点不能构成三角形． 此种情况不存在； 综上所述，当或时，△DEF为直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由，，证出； （2）先证明四边形为平行四边形．得出，，若为等边三角形，则为菱形，得出，，求出； （3）分三种情况讨论：①时；②时；③时，第③种情况不存在；分别求出t的值即可． 【详解】解：（1）略 （2）能；  理由如下： ， ． 又，  四边形为平行四边形． ， 平行四边形为菱形，则 ， 即当时，四边形为菱形； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解． 22. （1）比较大小：______，______，______（填“”，“”或“”）； （2）由（1）中各式猜想与的大小关系，并说明理由； （3）请利用上述结论解决下面问题： 某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃，如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？ 【答案】（1），，； （2） 理由如下： 当，时，， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）当，时，，则可证明； （3）设花圃的长为米，宽为米，则，，．根据（2）的结论可得：． 【详解】解：（1）由题意，，， ∵， ； ∵， ∴， ，， ． ，， ． 故答案为：，，． （2）略 （3）设花圃的长为米，宽为米， ，，． 根据（2）的结论可得：， 篱笆至少需要米． 故答案为：． 23. 如图，中，，、外角平分线交于点，过点分别作直线，的垂线，，为垂足． （1） °（直接写出结果不写解答过程） （2）①求证：四边形是正方形． ②若，求的面积． （3）如图（2），在中，，高，，则的长度是 　　（直接写出结果不写解答过程）． 【答案】（1）45 （2）①证明：过点作于， 平分，，， ， 同理可得， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ②15 （3）2.8 【解析】 【分析】（1）由可得，进而得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （2）①过点作于，由角平分线的性质可得，再证明四边形是矩形即可求证； ②证明得，同理得，设，得，又由可得， 得到，在中，利用勾股定理得，得到，即得，再根据三角形面积公式即可求解； （3）如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，同理（2）即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：45； 【小问2详解】 ①略 ②， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：如图2所示，把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由折叠可得，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：2.8． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $