精品解析：河北省石家庄市第二十四中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

石家庄市第二十四中学2024—2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 命题人：韩永升 李滢 审核人：陈焰 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的运算化简后求出即可. 【详解】， 所以在复平面内，对应的点位于第三象限. 故选：C. 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质直接求解. 【详解】根据分层抽样的性质可知，样本中男生人数为：， 样本中女生人数为：， 由题意，所以， 所以. 故选：C 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断. 【详解】①若，，则或相交，故错误； ②若，，则可得，故正确； ③若，，则，故错误； ④若，，，当时，，故错误. 故选：C 4. 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D 【解析】 【分析】求得前名的人中，高一人数和高二人数判断选项A；求得成绩第1-名的人中，高一人数判断选项B；求得成绩第1-50名的50人中，高三最多有多少人判断选项C；求得成绩第51-名的50人中，高二人数与高一人数的关系判断选项D. 【详解】由饼状图，成绩前名的人中，高一人数比高二人数多 (人).故选项A判断正确； 由条形图知，成绩第1-100名的人中，前和后人数相等， 因此高一人数为，故选项B判断正确； 成绩第1-50名的50人中，高一人数为, 因此高三最多有32人. 故选项C判断正确； 成绩第51-名的50人中，高二人数无法确定，故选项D判断错误. 故选：D 5. 已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得的外接圆半径为，再由，求得球的半径，即可求解球的表面积． 【详解】因为，， 所以的外接圆半径为． 设球半径为，则， 所以， ． 故选：D． 6. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表读法，依次读取数据，判断结果. 【详解】从表中第5行第6列开始向右读取数据为：253，313，457（舍），860（舍），736（舍），253（舍），007，328，所以第四个数为328. 故选：A. 7. 如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，分别得到和，联立方程组，求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】设， 由， 又由， 所以，解得，可得， 因为，所以，所以. 故选：D. 8. 如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，得到动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，在所在平面建立平面直角坐标系，求得直线和的方程，联立方程组，求得，得到的长，进而求得，结合弧长公式，即可求解. 【详解】如图（1）所示，过点作，分别交于点， 则动点在平面上的射影轨迹为线段， 设当与重合时，有；当与重合时，有， 则由为定长，可知动点的轨迹是以为圆心，以为半径且圆心角为的圆弧，如图（1）所示， 在所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系， 则，，，，直线，直线， 联立方程组，解得，即，则， 又由，可得，所以，， 所以动点的轨迹长度为. 故选：A． 【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略： 1、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，则的充要条件是 C. 若复数，则， D. 若复数，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由共轭复数的定义，复数模公式判断；由题意可知，，不一定是的实部和虚部，结合充分必要条件的对于判断B；由实数的运算性质判断C；由复数的四则运算及复数模公式判断D. 【详解】设，则，，故A正确； 由，知，不一定是的实部和虚部，不一定得到，故B错误； 复数，只有实数可以比较大小，虚数不能比较大小，则，，故C正确； ，则，故D正确. 故选：ACD． 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由数量积的定义及面积公式求得A角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D． 【详解】因为，所以，，又，所以，A错； 若，则，三角形有两解，B正确； 若为锐角三角形，则，，所以，， ，，C正确； 若D为边上的中点，则，， 又，， 由基本不等式得， ，当且仅当时等号成立， 所以，所以， 当且仅当时等号成立，D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可． 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小， 此时,所以体积最小值为，故选项B正确； 对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项C不正确； 对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时， 由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心， ,,,所以底面为直角三角形， 所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为, 由,,可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知方差及方差性质计算求解. 【详解】如果，，，的方差是， 则，，，的方差为． 故答案为：. 13. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求，，再根据直角三角形结合相应角度运算求解. 【详解】因为， ， 分别过做，垂足分别为， 在中，则， 由正弦定理， 可得，， 在，， 则， 在中，， 则， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：1.对于特殊角三角函数值常借助于三角恒等变换求解； 2.高度测量问题，要注意利用相应的角度和高度，通过做辅助线转化运算. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，． （1）当，求x； （2）当，求； （3）在平面直角坐标系xOy中，，，若三角形AOB的重心G在y轴上，求x的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求，结合向量共线的坐标表示运算求解； （2）根据向量垂直可得，进而可求模长； （3）分析可知，根据题意结合重心坐标公式运算求解. 【小问1详解】 因为，，则， 若，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：， 若，则，解得， 则，所以. 【小问3详解】 因为，，即， 可知三角形AOB的重心， 若在y轴上，则，所以. 16. 如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 证明： 取的中点，连接， 由中位线可得， 又，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又在平面内，不在平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）通过等体积法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为平面，都在平面内， 所以， 又，， 由勾股定理可得：， 所以， 设点到平面的距离为， 由， 可得：， 所以， 又是的中点， 所以点到平面的距离为. 17. 在中，角、、对应的边分别为、、，已知. （1）求角的值； （2）当边与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将边化为角，再利用两角和的正弦公式化简，结合辅助角公式即可求解； （2）根据中线长公式及余弦定理求解即可； （3）将边化为角，结合正切函数的图象即可求范围. 【小问1详解】 ， 得， ， 【小问2详解】 在中，由余弦定理有, 在中，由余弦定理有， 而，故， ，， ， 的周长为 【小问3详解】 因为三角形为锐角三角形，所以， 18. 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本数据的第59百分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据直方图各区间的频率和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求第59百分位数； （3）先确定区间、上的样本个数，再应用分层抽样中样本与总体的平均数和方差关系求总平均数和总方差. 【小问1详解】 由题意，解得； 【小问2详解】 由直方图知，前3组数的频率为 前4组数的频率为， 因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x， 则，解得； 【小问3详解】 样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为， 所以， 总方差为. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 【答案】（1） ，，，， ，，， 又，面，面， 面，面， 面面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）通过勾股定理求出边长，证明线线垂直，再通过面面垂直判断定理，证明面面垂直即可. （2）根据定义，做出二面角的平面角，并证明，求出平面角的正切值即可. （3）做出线面角的平面角，求出平面角的正切值的表达式，根据范围解出当正切值为时，边长的比值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形， 如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接， 可知，因为面面，面面，，面， 所以面，又，面，面， 所以面，又因为面，所以， 所以即为二面角的平面角， , . 【小问3详解】 如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于. 所以为与底面所成角的平面角， 因为面，所以，在矩形中， 因为，面，面， 所以面，所以，因为，所以. 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，则， 在中，， 可得， 当时，即，平方后化简得， 解得或（舍）， 当时，即时，， 所以当时与底面所成角的正切值等于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第二十四中学2024—2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 命题人：韩永升 李滢 审核人：陈焰 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 某校高三年级共有2000人，其中男生1200人，女生800人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多8人，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 48 3. 设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则. 其中所有错误说法的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 年3月，树人中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛．经统计，得到前名学生分布的饼状图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前名的人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1-名的人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1-50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第51-名的50人中，高二人数比高一的多 5. 已知过球面上三点A， B， C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且，则球的表面积（ ） A. B. C. D. 6. 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ） 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 A. 328 B. 253 C. 007 D. 860 7. 如图，在中，点是上的点且满足，是上的点且满足，与交于点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知在中，，是边上一点，且，将沿进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在内部及边界上，则在翻折过程中，动点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则（ ） A. 若复数的共轭复数为，则 B. 若，则的充要条件是 C. 若复数，则， D. 若复数，则 10. 中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则有两解 C. 若为锐角三角形，则取值范围是 D. 若为边上的中点，则的最大值为 11. 如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点轨迹的长度为 B. 三棱锥体积的最小值为 C. 与不可能垂直 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______． 13. 已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 2023年11月，国家自然资源部公布了四川省9座名山的高度数据，其中最高的是贡嘎山，它的高度数据为7508.9米，三角高程测量法是测量山体高度的方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，三点在同一水平面上的投影，满足，．由点测得点的仰角为，由点测得A点的仰角为，则的高度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，． （1）当，求x； （2）当，求； （3）在平面直角坐标系xOy中，，，若三角形AOB的重心G在y轴上，求x的值． 16. 如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 在中，角、、对应的边分别为、、，已知. （1）求角的值； （2）当边与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的取值范围. 18. 黔西一中为了提高学生对“黔西一中校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的整数分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本数据的第59百分位数； （3）已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3.求这两组数据的总平均数和总方差. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $