专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 两条直线平行的判定】 2 【题型2 已知直线平行求参数】 3 【题型3 两条直线垂直的判定】 5 【题型4 已知直线垂直求参数】 6 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 8 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 9 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 11 知识点1 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【解题思路】根据斜率公式求得的斜率，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【解答过程】由题意，由点和点，可得，所以的方程为， 又由直线的斜率为，且两直线不重合，所以两直线平行. 故选：B． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【解题思路】根据直线的斜率来进行判断. 【解答过程】， 由图可知不共线，所以． 故选：B.    【变式1-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【解题思路】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【解题思路】利用两直线平行的等价条件即可求解. 【解答过程】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行 故选：B. 【题型2 已知直线平行求参数】 【例2】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【解题思路】利用两条直线平行的条件列式求解. 【解答过程】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·福建三明·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据直线的平行关系求出的值，结合充分必要条件的定义判断即可. 【解答过程】 直线：，：， 若，则，解得或. 当时，：，即=0，：，∴. 当时，：，：，. ∴当时，或 而是或的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·天津南开·期末）如果直线与直线平行，则（   ） A．0 B． C．0或1 D．0或 【解题思路】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上可得或. 故选：D. 【变式2-3】（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（   ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【解题思路】利用两直线平行，斜率相等来求解即可. 【解答过程】由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 再由直线：可得：，可知直线的斜率为：， 由两直线平行，斜率相等可知：，即， 再由直线过点可得，，即，检验符合， 所以， 故选：D. 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解. 【解答过程】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直. 故选:D. 【变式3-1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【解题思路】由两直线的斜率关系即可判断. 【解答过程】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 【变式3-2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【解题思路】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【解答过程】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【解题思路】判断两条直线的位置关系，分类讨论，通过计算斜率的乘积来确定即可. 【解答过程】当、都不为时,直线的斜率为，直线的斜率为.因为两条直线斜率的乘积为：，所以两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率不存在. 直线可化为，其斜率为，此时两条直线垂直. 当，时,直线可化为，其斜率为. 直线可化为，其斜率不存在，此时两条直线垂直. 故选：B. 【题型4 已知直线垂直求参数】 【例4】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【解题思路】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【解答过程】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可. 【解答过程】因为“直线与直线互相垂直”可得, 所以，故或. 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【解题思路】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a. 【解答过程】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为， 当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直． 当时，，此时直线斜率存在． 由，得．解得． 综上，的值为或． 【变式4-3】（24-25高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（24-25高二上·浙江温州·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线方程为，代入点求出即可. 【解答过程】设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求的直线方程为. 故选:B. 【变式5-1】（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设与直线平行的直线为，再将代入，即可得到结果. 【解答过程】因为直线，即， 设与平行的直线为， 将代入可得，解得， 所以直线方程为. 故选：A. 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答过程】直线的斜截式方程为，则其斜率为， 因为直线过点，且与直线平行，所以， 则直线的点斜式方程为，即为． 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得. 【解答过程】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（24-25高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接设直线的一般式方程，然后把点代入方程即可求解. 【解答过程】设与直线垂直的直线方程是，代入点，得， 解得，所以所求的直线方程是. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解答过程】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 【变式6-2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【解答过程】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 【变式6-3】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设边上的高所在的直线为，求出直线l的斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案. 【解答过程】设边上的高所在的直线为， 由已知可得，，所以直线l的斜率. 又过，所以的方程为， 整理可得，. 故选：A. 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例7】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式7-1】（24-25高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【解题思路】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【解答过程】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【解答过程】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解答过程】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 两条直线的平行与垂直（举一反三讲义） 【苏教版（2019）】 【题型1 两条直线平行的判定】 2 【题型2 已知直线平行求参数】 2 【题型3 两条直线垂直的判定】 3 【题型4 已知直线垂直求参数】 3 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 4 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 5 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 6 知识点1 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（   ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式1-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【变式1-3】（24-25高二·全国·课后作业）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【题型2 已知直线平行求参数】 【例2】（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【变式2-1】（24-25高二上·福建三明·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二上·天津南开·期末）如果直线与直线平行，则（   ） A．0 B． C．0或1 D．0或 【变式2-3】（24-25高二上·河北·阶段练习）已知直线：与：平行，且过点，则（   ） A．-3 B．3 C．-2 D．2 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-3】（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）直线与 (不同时为0)的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．与的值有关 【题型4 已知直线垂直求参数】 【例4】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与垂直，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【变式4-3】（24-25高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 知识点2 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（24-25高二上·浙江温州·期中）过点且与直线平行的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（24-25高二上·安徽·阶段练习）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·吉林·模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【题型7 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例7】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式7-1】（24-25高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【变式7-2】（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $