山东省日照神州天立高级中学2024-2025学年高二下学期6月质量检测数学试题

日照天立高级中学2024-2025学年下学期6月质量检测 高二年级数学学科试题（总分：150分 考试时间：90分钟） 审核：高二数学组 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则（    ） A．2 B．4 C．0或4 D．2或4 4．若函数在为单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．记等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．21 C．28 D．36 6．已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 7．已知函数，若对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．命题“，”的否定是“，或” C．若，则函数的最小值为2 D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（   ） A． B．在区间上单调递增 C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点 11．函数与函数图象有且仅有一个交点，则实数可能取值是（   ） A． B．0 C．1 D．3 三、填空题 12．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是 ． 13．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ． 14．若在上单调递减，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 15．已知函数是奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（简要说明，无需证明）； (2)若对于，都有成立，求实数的取值范围. 16．已知数列的首项为1，其前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式. (2)证明：. 17．已知函数. (1)求函数的最值； (2)对任意的且不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题： (1)求的对称中心． (2)求． (3)记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围． 19．已知函数． (1)若曲线在处的切线与轴平行，求的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 试卷第2页，共2页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 答案第4页，共4页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 日照神州天立高中6月月考参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B C C D A BD ACD 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出. 【详解】已知，，则. 已知，，所以. 故选：A. 2．A 【分析】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本不等式求解实数的取值范围. 【详解】已知命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题， 可知其否定“”为真命题. 由，，移项可得， 因为，两边同时除以，得到在上恒成立. 在中，因为，所以2x和都是正实数，则， 当且仅当，即时等号成立. 因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值， 即，所以实数的取值范围是. 实数的取值范围是. 故选：A. 3．C 【分析】根据分段函数的解析式，分两种情况考虑，建立方程，解出即可. 【详解】当时，因为， 所以，所以，经检验，满足题意； 当时，因为， 所以，即，所以，经检验，满足题意. 故选：C 4．B 【分析】先对函数求导，再根据函数单调性与导数的关系得到在[0,2]上恒成立，然后分情况讨论求解的取值范围. 【详解】对求导可得. 因为在上单调递增，所以在上恒成立. 当时，，此时可以取任意实数. 当时，可化为恒成立. 令，，可得，当且仅当，即时等号成立. 所以，则，解得. 综合以上两种情况，实数的取值范围是. 故选：B. 5．C 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式计算即可得解. 【详解】，， ， ，解得， 故选：C 6．A 【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 7．D 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 8．A 【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 9．BD 【分析】举出反例即可判断A；根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断B；利用基本不等式即可判断C；分和两种情况讨论即可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“或”， 故B正确； 对于C，则， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时， 则，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BD. 10．ACD 【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可. 【详解】为奇函数，故，即①， 又为偶函数，故②， 则由①②可得，， 则，则的一个周期为4， 在①中令有， 又当时，，则，则， 所以， 故A正确； 由②可得，，则， 即函数是定义在上的偶函数， 因时，，则是上的增函数， 则是上的减函数， 因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误； 因为函数是定义在上的偶函数，所以， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数， 由题意得与的图象如下： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，函数在上存在1个零点， 当时，， 当时，， 由此可得与的图象有5个交点， 所以有5个零点，故D正确． 故选：ACD． 11．AB 【分析】令，根据题意，转化为直线与的图象只有一个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】令， 因为与函数图象有且仅有一个交点， 即直线与函数的图象只有一个交点， 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，，则， 所以，当时，；当时，， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，极大值为 ， 画出函数的图象，如图所示， 又因为，所以或时，即或时， 直线与函数的图象只有一个交点， 所以实数的取值范围为，结合选项，选项A、B正确. 故选：AB. 12． 【详解】由于，当且仅当，即时取等号，而不等式有解，所以，即，解得或． 13． 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质推导出的周期，再求出函数值. 【详解】由是定义在上的奇函数，得，即， 而，则，， 因此函数的周期为8，且，当时，，则， 所以. 故答案为： 14． 【分析】根据题意得知，不等式在上恒成立，由参变量分离法得出，求出函数，在区间上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，令， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 15．(1)，函数为上的单调减函数 (2) 【分析】（1）由题可得，据此可得，然后将化为，由指数函数单调性可判断单调性； （2）由（1）结合题意可得，据此可得答案. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，代入得 经检验，符合题意.所以 因为 为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数 则函数在上是减函数； （2）不等式可转化为 又因为函数在上是减函数，所以在恒成立， 所以，其中. 令， 则在上单调递减，在单调递增， 所以，即 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先根据时，利用公式，得到关于数列的递推关系式，再通过构造证明数列是等差数列，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，将通项放缩为，，再相消求和. 【详解】（1），① 当时，，② ①-②，得， 两边同时除以，得. 当时，. ， ，解得， 此时，也满足， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. （2）证明：当时，， 当时，， ， 17．(1)最小值，无最大值 (2) 【分析】（1）由函数解析式求导，根据导数与函数单调性的关系可得函数的单调区间，从而可得答案； （2）整理不等式，将问题等价转化为易知函数单调性求参数，构造函数，利用导数以及二次函数性质，可得答案. 【详解】（1）由，则求导可得，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数取得最小值，函数无最大值. （2）不妨设，由，整理可得， 令，问题等价于函数在上单调递减恒成立，求的取值范围， 由，求导可得， 令， 易知当时，恒成立，当且仅当且时，等号成立， 所以函数在上单调递减恒成立时，. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“拐点”定义对函数求导即可求出对称中心； （2）利用函数对称性可得，再结合倒序相加法即可求得； （3）利用等差数列前n项和公式以及裂项求和可得对恒成立，再利用换元法和对勾函数性质求得即可满足题意. 【详解】（1）由可得， 所以， 令，可得， 易知， 所以的对称中心为 （2）由（1）中的对称中心为，可得， 因为， 所以,， 两式相加可得 ， 可得， （3）由（2）可得数列为等差数列，且， 所以； 可得 ； 因此 ； 若对恒成立，可得， 即， 令，可得恒成立，所以； 令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 因此，可得， 即的取值范围为. 19．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）对求导，得，令，再对讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，利用（2）中结果，得，且，从而将问题转化成证明在区间上恒成立，构造函数，利用导数可求得在区间上恒成立，即可求解. 【详解】（1）因为，由题知，所以的值为. （2）易知定义域为，因为， 令，则， 当，即时，恒成立，，在定义域上单调递增， 当，即时，恒成立，，当且仅当时取等号，在定义域上单调递增， 当，即时，由，得到 ， ①时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， ②时，，此时时，，时，， 在上单调递增，在单调递减上. 综上，当时，在区间上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在单调递减上. （3）证明：因为函数有两个极值点，，由（2）知，且， 要证，即证， 又 ， 即证，即证在区间上恒成立， 令，则， 令，则在恒成立，即在区间上单调递增， 又，所以时，， 则在区间上单调递减， 所以，即当时， 又，所以当时，，故命题得证. 答案第4页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$