专题1.3 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习举一反三系列

专题1.3 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 不等式性质的应用】 3 【题型2 用不等式表示不等关系】 4 【题型3 比较数（式）的大小】 6 【题型4 利用不等式的性质证明不等式】 8 【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 10 【题型6 不等式的综合问题】 11 【题型7 糖水不等式】 13 1、不等关系与不等式性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)等式性质 (2)比较两个数的大小 (3)理解不等式的性质，并能简单应用 2022年Ⅱ卷：第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的性质及其应用、比较大小；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容. 知识点 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【解答过程】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小. 【解答过程】当时，，且，故，C项错误； 因为，，所以，故B项错误； ，故D项正确. 故选：D. 【变式1-2】（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】若，，则， 则，即，充分性成立； 若，，则， 所以，必要性成立， 所以如果，那么“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式1-3】（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D. 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据已知列出不等式，化简即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式2-1】（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【解题思路】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，根据题意列出不等式可分别求出范围，即可求出. 【解答过程】分别设红､黄､蓝､绿各有，，，个，且，，，为正整数， 则由题意得，，，，可得， 所以，，，即至少有个. 故选：B. 【变式2-2】（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【解题思路】分别设出各象限内横坐标、纵坐标分别为正数、负数时点的个数，根据题意列不等式，结合不等式性质求解即可. 【解答过程】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 【变式2-3】（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【解题思路】根据不等式的性质以及简单的逻辑推理，找出正确的选项即可. 【解答过程】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人. 已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即. 将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即. 这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数. 故选：A. 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由原式可得，然后由作差法分别比较与，与的大小关系，即可得到结果. 【解答过程】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A. 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【解答过程】 ，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 【变式3-2】（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作差法比较大小,首先将要比较的,用表示,后作差变形,运用这个条件,判断正负即可比较出大小. 【解答过程】根据题意得,,,, 对于A选项, 对于B选项, 对于C选项, 对于D选项, 故选：B. 【变式3-3】（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【解题思路】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断. 【解答过程】方案一：设每次购入的黄金数量为，则平均购买成本； 方案二：设每次购入的黄金金额为，则平均购买成本为 ， 所以， 且，则，即， 无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低. 故选：D. 【题型4 利用不等式的性质证明不等式】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边． (1)求证：； (2)若，求证：． 【解题思路】（1）由，，结合三角形两边之和大于第三边的性质可得答案. （2）利用作差法求证，则，同理，结合不等式的性质可得答案. 【解答过程】（1）因为a，b，c为三角形的三边，所以a，b，，且，（关键：根据三角形的三边关系得到a，b，c满足的条件） 所以， ， 所以． （2）因为， 所以， 所以， 同理可得， 所以． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【解题思路】由，，和，，证明即可. 【解答过程】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式4-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【解题思路】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【解答过程】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例5】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用不等式的性质，线性运算即可求出的取值范围. 【解答过程】因为，所以， 则，又，所以， 从而． 故选：B． 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由不等式的同向可加性得到结果. 【解答过程】因为，得，， 所以． 故选：B． 【变式5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【解题思路】根据不等式的基本性质计算即可求解. 【解答过程】由，得， 又，所以， 所以，即， 所以的最大值为27. 故选：A. 【变式5-3】（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件得到，求得的范围，由的取值范围是的子集，构造不等式求解即可. 【解答过程】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B. 【题型6 不等式的综合问题】 【例6】（24-25高一上·云南·期中）回答下列问题 (1)已知都是正实数，比较与的大小； (2)已知，，求的取值范围. 【解题思路】（1）将与相减并化简，分类讨论判断差的符号即可比较大小； （2）根据不等式的性质求解即可. 【解答过程】（1） ， 因为都是正实数，所以，，， 所以，当且仅当时等号成立. （2）设， 则， 解得，， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即， 所以的取值范围为. 【变式6-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【解题思路】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【解答过程】（1）， . （2）假设，， ，，， ， 两式相加得，，这与矛盾，所以假设错误. 所以和中至少有一个大于. 【变式6-2】（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【解题思路】（1）根据不等式的同向可加性结合待定系数法即可求的取值范围； （2）根据不等式的性质结合逐步判断即可得结论. 【解答过程】（1）设， 所以，解得， ， 即 的取值范围是. （2）证明： ， ， . 【变式6-3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【解题思路】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【解答过程】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 【题型7 糖水不等式】 【例7】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据加糖前后糖水浓度的变化即可得答案. 【解答过程】解：由题意可知，加入克糖（）后糖水变甜了， 即糖水的浓度增加了， 加糖之前，糖水的浓度为：；加糖之后，糖水的浓度为：； 所以. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C. 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【解题思路】（1）首先根据浓度关系，建立不等式，再作差比较大小； （2）首先由浓糖水喝淡糖水表示不等关系，再证明混合后的糖水的浓度关系，即可证明； （3）根据条件建立不等式，再作差证明. 【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克糖， 求证：不等式 (其中a，b，m为正实数，且)成立． 不妨用作差比较法，证明如下： ＝. ∵a，b，m为正实数，且，， ∴，即. （2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为，且， 求证： (其中). 证明：，且， ，即， ， 即， ， 即 （3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为，加入m克水， 求证： (其中，). 证明：， . 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】利用特殊值法和不等式的性质即可求解. 【解答过程】对于A选项，令，则，所以不成立，故A错误； 对于B选项，令，则，所以不成立，故B错误； 对于C选项，令，则，所以不成立，故C错误； 对于D选项，由及不等式的可加性可得，故D正确. 故选：D. 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】依次分析充分性和必要性即可得解. 【解答过程】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，不妨取，，，则，A错； 对于B选项，不妨设，，，则，B错； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，不妨设，，，则，D错. 故选：C. 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用举反例的方法及不等式的性质，结合必要不充分条件的定义即可判断. 【解答过程】因为，为实数，当，时，满足，但是， 所以若则是假命题； 而由，当时，得； 当时，得，所以由得， 所以若则是真命题； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质即可求解. 【解答过程】由可得， 故， 故选：D. 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 【解题思路】对A，B，根据题意可得，当时易判断；对C，根据条件结合绝对值三角不等式求解判断；对D，举反例说明. 【解答过程】因为为均不为零的实数，且， 所以， 对于A，由，当时，得，故A错误； 对于B，由，当时，得，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，举反例，如，满足条件，但，故D错误. 故选：C. 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】易得，再结合已知可得，由，得，即可比较，利用作差法即可比较，即可得解. 【解答过程】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得. 【解答过程】当时，，所以A错. 当时， ，所以B错. 当时，，所以C错. 若，则，则成立，所以D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分三种情况讨论即可判断. 【解答过程】对于A，，因为， 所以，即，所以，故A正确； 对于B，取，此时，故B错误； 对于C，取，则，故C错误， 对于D，若，则显然成立， 若，则成立， 若，则成立， 综上所述，只要，就一定有，故D正确. 故选：AD. 10．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C. 【解答过程】对于A，取，满足，但是，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 不等式两边同时乘以负数，不等式方向改变，所以， 所以，故B正确； 对于C，因为，， 又因为，所以，而，即，， 所以，故C正确； 对于D，设，即， 则，解得，所以， 又，则，且， 所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误. 【解答过程】对于A，由和不等式性质可得，故A正确； 对于B，因，若取，，，， 则，，所以，故B错误； 对于C，因，若取，，，， 则，，所以，故C错误； 对于D，因为，则，又因则， 由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【解题思路】当取最小的正整数时，所求最大. 【解答过程】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为：. 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 【解题思路】先得到，并根据得到，从而求出. 【解答过程】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为：. 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 2 ． 【解题思路】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【解答过程】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【解题思路】（1）取即可判断； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）（4）举反例即可求解. 【解答过程】（1）若，当时，则；故为假命题； （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题； （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题； （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 【解题思路】计算出，从而得到，得到答案. 【解答过程】设， ∴， ∴，解得， 故， ∵，， ∴，， ∴， 即， 故的取值范围为. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 【解题思路】（1）（2）利用作差法即可求解. 【解答过程】（1）， 由于，所以，所以， 故 （2）， 因为，即 所以. 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为. （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为 则 . 因为，，所以.， 所以，即. 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 19．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 等式性质与不等式性质（举一反三讲义） 【全国通用】 【题型1 不等式性质的应用】 3 【题型2 用不等式表示不等关系】 3 【题型3 比较数（式）的大小】 4 【题型4 利用不等式的性质证明不等式】 4 【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 5 【题型6 不等式的综合问题】 6 【题型7 糖水不等式】 7 1、不等关系与不等式性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)等式性质 (2)比较两个数的大小 (3)理解不等式的性质，并能简单应用 2022年Ⅱ卷：第12题，5分 高考对不等式的性质的考查比较稳定，一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的性质及其应用、比较大小；单独考查的题目虽然不多，但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，是高考考查的一个重点内容. 知识点 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 4．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【方法技巧与总结】 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2．比较数（式）的大小常用的方法有作差法、作商法.、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性，需要灵活运用方法求解. 【题型1 不等式性质的应用】 【例1】（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·河北石家庄·一模）如果，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】（2025·山东·二模）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用不等式表示不等关系】 【例2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·江西抚州·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（    ）个 A．20 B．22 C．24 D．26 【变式2-2】（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【变式2-3】（2024·浙江金华·一模）某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（   ） A．选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数 B．选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数 C．选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数 D．选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数 【题型3 比较数（式）的大小】 【例3】（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·浙江金华·模拟预测）设的平均数为,与的平均数为,与的平均数为.若,则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·广西来宾·模拟预测）黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为，且，则下列说法正确的是（    ） A．当且仅当时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B．当且仅当时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C．无论的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D．无论的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低 【题型4 利用不等式的性质证明不等式】 【例4】（2024·全国·模拟预测）已知a，b，c为三角形的三边． (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式4-1】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，，证明：． 【变式4-2】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【题型5 利用不等式的性质求目标式的取值范围】 【例5】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（    ） A．27 B．24 C．12 D．32 【变式5-3】（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 不等式的综合问题】 【例6】（24-25高一上·云南·期中）回答下列问题 (1)已知都是正实数，比较与的大小； (2)已知，，求的取值范围. 【变式6-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【变式6-2】（24-25高一上·四川南充·阶段练习）（1）已知，求的取值范围； （2）若，求证：. 【变式6-3】（24-25高一上·上海黄浦·期中）设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【题型7 糖水不等式】 【例7】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.如糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水.如果克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·福建莆田·期末）克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025高二·全国·专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？写出式子并证明. (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了； (2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡； (3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了. 【变式7-3】（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 一、单选题 1．（2024·青海西宁·一模）下列命题中，正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 2．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·北京海淀·二模）设、、，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国·模拟预测）已知，为实数，，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·山西临汾·二模）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·重庆·模拟预测）设 为均不为零的实数，且 ，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽淮北·二模）已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（2025·山东临沂·二模）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2025·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 13．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 14．（2025·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求的取值范围. 17．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（1）已知，比较与的大小． （2）比较与的大小． 18．（24-25高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 19．（24-25高一上·北京西城·期末）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$