2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）省级选拔赛七年级试题

2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷 七年级 参考答案 参考答案： 一．填空题（每题7分，共84分） 1. 3 2. 2 3. 2 4. 5. 6. 12 7. -13 8. 9. 10. 11. 706 12. 4 2． 解答题 13.（12分）已知 求的值 . 解：∵a﹣b＝①，b﹣c＝②， 由①+②得 a﹣c＝ .......3分 ∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝ ......6分 ∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）＝ ......9分 ∵a2+b2+c2＝1， ∴ab+bc+ca＝＝ ........12分 14.（12分）若 为实数，且 , 求的值. 解： ......6分 .......12分 15.（14分）计算： 解：令 原式= ...........7分 = = .............14分 16.(14分）已知关于的方程有两个正整数解，且是质数 ，求的值 . 解：关于的方程有两个正整数解 (n为正整数）..............3分 .............5分 又因为,奇偶性相同，故这两个数必为偶数,而是质数，故有以下情况： (i) 当时, , 此时原方程的解为; ..............9分 (ii) 当时， , 此时原方程的解为; ..............13分 故由(i)(ii)可知 . ............14分 17.(14分）在△ABC中，已知∠ACB＝45°，过BC上一点D作AB的垂线，垂足为点H，HD交AC的延长线于点E，若AB＝HD，求证：AE2＝2DH2+2DE2． 证明：过点A作AF⊥AB，截取AF＝BH，连接DF、BF， ∵EH⊥AB， ∴∠FAB＝∠BHD＝90°， 在△DHB和△BAF中， ∵， ∴△DHB≌△BAF（SAS）， ..............4分 ∴∠ABF＝∠BDH，BD＝BF， ∵∠BDH+∠DBH＝90°， ∴∠DBH+∠ABF＝90°， ∴△DBF是等腰直角三角形， .............8分 ∴∠BDF＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠BDF， ∴AC∥DF， ∵AF∥ED， ∴四边形AFDE是平行四边形， ..............12分 ∴AE＝DF，AF＝DE， ∴AE2＝DF2＝2DB2＝2DH2+2BH2＝2DH2+2AF2＝2DH2+2DE2．..............14分 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★启用前 2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔卷 (2025年6月) 选手须知： 1.本卷共两部分，第一部分：填空题，共计84分；第二部分：解答题，共计66分； 2.答题前请将自己的姓名、学校、教室编号、活动证号写在规定的位置； 3.测试时不能使用计算工具； 轂 4.测试完毕时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 总分 核查人 得分 知如 七年级试题 邮 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 得分 长 一、填空题（每题7分，共计84分） 评卷人 1.我们知道√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但 ☒ 中 是由于1<√3<2，所以√3的整数部分为1，小数部分为√3-1.根据以上的内容，解答下面的问题： 都 若√11的小数部分为a,√47的整数部分为b,则a+b-√11的值是 ar-y=1的解是{二1则2a-4钻的算术平方根 2ax+by=3,. x=1 2.已知关于x,y的二元一次方程组 杯 是 靠 解 3.若a、b、c均为整数，且a-b2025+c-a2023=1,那么c-a+a-bHb-c- 4.若关于C的一元二次方程2x2-3mx+1=0有两个相等的实数根，则m= 5.x与y互为相反数，且x-y=3,那么x242+1的值为 6.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 七年级 第1页 者3女山中200D.则代改式的随等于 8.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，E为AB中点，连接AD,CE, CE⊥AD,则AB:BC:AC的值为 (第8题图) (第9题图) 9.△ABC中，AB=4,AC-2,以BC为边在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于点O,则线段 AO的最大值为 10.若正数a,b,c满起ac=2a+石3.6+日=7则c+日的m 1 11.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图11-1所示，每个三角形的三个顶点上的 数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4，-2，-1,2,3,4,6,7填入如 图11-2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则(c-a)-d的所有可能值和为 8 d (图11-1) (图11-2) 12.如图，四个全等的直角三角形用成正方形ABCD和正方形EFGH,即赵爽弦图.连接AC, 分别交EF、GH于点M,N,连接FN.己知AH=3DH,且AB2=20,则图中阴影部分的面积之和 为 B 七年级 第2页 (第12题图) 得分 评卷人 二、解答题（第13-14题各12分，第15-17题络14分，共计66分） 2 g.已知a-b=3b-c=点，a2+?+c2=1,求b+bc+cm的值 若工8%藏月9=0-面+8-日，果行2智21a 15.计算： ++1++++-++++++…+ 11 1 七年级 第3页 16.已知关于x的方程x2-2px+p2-5p-1=0有两个正整数解，且p是质数，求p的值， 圜 铷 敏 长 O 安 17.在△ABC中，已知∠ACB=45°，过BC上一点D作AB的垂线，垂足为点H,HD交AC的延 长线于点E,若AB=HD,求证：AE2=2DP+2DE2. 斯 E D 杯 解 H B (第17题图) 七年级 第4页