精品解析：安徽省安庆市潜山市潜山北片学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列关于的方程中，一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中一定是关于x一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 满足的整数有几个（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 7. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 6 C. 或 D. 或 8. 已知实数m，n是关于x一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A B. C. D. 10. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 12. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 13. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 14. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 用适当的方法解方程． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 18. 已知关于的方程：． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设非0实数是方程的两根，试求的值． 19. 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，求的长是多少？ 20. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 21. 某电子产品商店销售一新款智能手机，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． （1）求该款智能手机销售量的月增长率； （2）此款手机的进价为3000元/台，售价为4500元/台，由于该款手机性价比高，销量很好，商店已没有存货．于是该商店在5月初又用120万元购进一批该款手机，并打算在“五一”期间打八折出售，且计划每卖出一台该款手机，还额外向社会福利机构捐款a元，该商店若想在卖出这一批手机后，仍能获得不低于20万元的利润，则a至多可为多少？ 22. 如图，在中，，，． （1）试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； （2）若的面积为3，求的长． 23. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期八年级数学期中试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的性质和运算法则逐项计算即可判断求解，掌握用二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 3. 已知，，则值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据，可得，，再根据二次根式的性质可得，，再利用二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 4. 下列关于的方程中，一元二次方程是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，其中a、b、c都是常数且的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、整理后为不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，符合题意； D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 5. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即可解答． 【详解】解：A、，当时不是一元二次方程，故不符合题意； B、，当时不是一元二次方程，故不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； D、是一元二次方程，故符合题意． 故选：D． 6. 满足的整数有几个（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，有理数的乘方以及零指数幂的性质，本题比较复杂，解答此题时要注意的任何次幂为，的偶次幂为，非数的次幂为，三种情况，不要漏解．分类讨论是解题的关键． 【详解】解：分以下三种情况： （1）当时，解得：或； （2）当时，解得：； （3）当时，解得：． 综上，整数或或或， 故选：B． 7. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. 6 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 8. 已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ） A. B. 7 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系．由m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：，即， ∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ； 故选：A． 9. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为x，根据“两天不练丢一半”，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为，即可求解． 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为，两天后记得的知识为， ∴， 故选：D． 10. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长．如果月销售量的增长率一致，且第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 利用公式：（其中指原产量，指连续两次增速后的产量，为每次的平均增长率），列方程求解即可． 【详解】解：设第一个月销售量为a辆，月销售量的增长率为x，则第三个月的销售量为辆， 依题意得，， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 12. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 【答案】 ①. ② ②. 2或0##0或2 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 13. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，读懂题意，找出图形中的等量关系，借助平移性质列方程是解答的关键． 14. 如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求得正方形对角线长为，结合数轴即可求解． 【详解】∵正方形ODBC中，OC=1， ∴BC=OC=1，∠BCO=90°． ∵在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB=． ∴OA=OB=． ∵点A在数轴上原点的左边， ∴点A表示的数是． 【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理，数形结合是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共16分． 15. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）2 （2） （3） （4）3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先进行乘法和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，化简二次根式，再进行合并即可； （3）先进行乘法公式和去绝对值运算，再进行合并即可； （4）先化简各数，再进行合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 16. 用适当的方法解方程． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．利用因式分解法求解可得． 【详解】解：∵， 即， 因式分解得， ∴或， 解得，． 四、解答题：本题共7小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，整式的加减计算，根据数轴可得，据此计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ， ∴ ． 18. 已知关于的方程：． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）设非0实数是方程两根，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义； （1）计算一元二次方程根判别式，根据，即可得证； （2）根据题意可得是原方程的解，可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵． 无论取何实数时，总有．      ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：把代入方程，得．即． ∵， ∴． 由根与系数的关系，． ∴． ∴． 19. 如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为2，之间的距离为3，求的长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】如图：作于D,作于E,再证明，因此可得，再结合勾股定理求得，然后再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图：作于D，作于E， ∵， ,∴, 又∵, ∴, 又∵， ∴, ∴, 在中,根据勾股定理,得：， 在中,根据勾股定理,得:． 故答案为． 【点睛】本题主要考查直角三角形的综合问题、三角形的全等与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 20. 观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是，； 第2个方程：，方程的两个根分别是，； 第3个方程：；方程的两个根分别是，； 第4个方程：；方程的两个根分别是，； …… （1）请按照此规律写出两个根分别是，的一元二次方程 ． （2）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （3）已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，且这两个根是某个直角三角形的两条边，求此三角形第三边的长是多少． 【答案】（1） （2）是“邻根方程” （3）或；5或． 【解析】 【分析】（1）根据题意观察可知，一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数之比，即可写出对应的方程； （2）根据一元二次方程的解法求出已知方程的两根，在计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”； （3）先利用因式分解法解一元二次方程对应的两根，由于两根的大小未知，所以应注意分两种情况求解． 【小问1详解】 由题意可知： ∵方程的一次项系数为：， ∴， ∵方程的常数项为：， ∴， 所以，对应的一元二次方程为：． 【小问2详解】 ∵ ∴， ∵ ∴是“邻根方程”． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴，， ∵关于x 的方程（m是常数）是“邻根方程”， ∴或， ∴解得：m=2或4， 又∵方程两根为直角三角形的两条边， 当方程两根为2和3时： 若2和3为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若2为直角边，3为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 当方程两根为3和4时： 若3和4为两条直角边时，则此三角形的第三边长为：； 若3为直角边，4为斜边时，则此三角形的第三边长为：； 综上所述：此三角形的第三边长为或；5或． 【点睛】本题考查一元二次方程的新定义题型，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，同时解题时注意分类讨论思想的应用． 21. 某电子产品商店销售一新款智能手机，2月份销售150台，4月份销售216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同． （1）求该款智能手机销售量的月增长率； （2）此款手机的进价为3000元/台，售价为4500元/台，由于该款手机性价比高，销量很好，商店已没有存货．于是该商店在5月初又用120万元购进一批该款手机，并打算在“五一”期间打八折出售，且计划每卖出一台该款手机，还额外向社会福利机构捐款a元，该商店若想在卖出这一批手机后，仍能获得不低于20万元的利润，则a至多可为多少？ 【答案】（1）该款智能手机销售量的月增长率为 （2）a至多可为100元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等量关系． （1）设该款智能手机销售量的月增长率为x，根据2月份销售150台，4月份销售216台，列出一元二次方程求解即可； （2）求出该商店5月购进手机数，再根据该商店若想在卖出这一批手机后，仍能获得不低于20万元的利润，列出一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 设该款智能手机销售量的月增长率为x，则有， ， ， (舍去) ， 答：该款智能手机销售量的月增长率为； 【小问2详解】 由题意可得： 该商店5月购进手机数为 (台)， 则有：， 解得， ∴a至多可为100元． 22. 如图，在中，，，． （1）试判断与是否垂直？并通过计算进行说明； （2）若的面积为3，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的性质和判定，解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质和判定； （1）根据勾股定理的判定，证明是直角三角形，即可得证； （2）根据三角形的面积求出，再根据勾股定理的性质即可得解． 【小问1详解】 解：，理由如下， ， ， 是直角三角形，且， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 23. 如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 【答案】． 【解析】 【分析】把圆柱侧面展开成平面矩形，利用轴对称性质将蚂蚁爬行的路径转化为平面上两点间的线段，再借助勾股定理计算最短路径长度．本题主要考查了圆柱侧面展开图、轴对称性质及勾股定理的应用，熟练掌握“将立体图形中的最短路径问题转化为平面图形中两点间线段问题，借助轴对称和勾股定理求解”是解题的关键． 【详解】解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$