第02讲 二次函数的图象和性质（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学沪科版

第02讲 二次函数的图象和性质（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²+k的图象和性质 典型例题二 y=a（x-h）²+k的图象和性质 典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质 典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题五 二次函数图象与各项系数符号 典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号 典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值 典型例题九 y=ax²+bx+c的最值 典型例题十 一次函数、二次函数图象综合判断 典型例题十一 反比例函数、二次函数图象综合判断 典型例题十二 二次函数图象的平移问题 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________． A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤ 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3从小到大的关系是 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 【典型例题一 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（2025·安徽亳州模拟预测）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【例3】（2025·安徽六安·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)求该抛物线的顶点坐标． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知抛物线    (1)该抛物线顶点坐标为 ； (2)在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）； (3)该抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到； (4)当时，函数值y取值范围是 . 【典型例题二 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若点，都在抛物线上，请将按从小到大的顺序用“”连接： ． 【例4】（2024九年级上·安徽宣城·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 3．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 4．（24-25九年级上安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点、点为抛物线上的两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)当且时，试判断与的大小关系并说明理由； (3)若当且时，存在，求t的取值范围． 【典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）二次函数（a，b，c为常数，且）的x，y的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（    ）． x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 3 2 … A．抛物线开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D． 【例3】（24-25九年级上·安徽宣城·期中）已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 【例4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于 ． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知二次函数 (m是常数，)． (1)当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； (2)若此函数图象对称轴为直线，求函数的最大值； (3)若此二次函数的顶点坐标为，当时，求的最小值． 4．（2025·马鞍山·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 【典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各点中，是抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为 ． 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 4．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数． (1)将该二次函数的表达式化为的形式． (2)写出该二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【典型例题五 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 【例4】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是 ． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知抛物线（，，为常数，）的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例3】（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则 0（填“”“”“”）    【例4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与轴相交于负半轴． 第问：给出四个结论：①；②；③；④．写出其中正确结论的序号（答对得分，少选、错选均不得分） 第 问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．写出其中正确结论的序号． 【典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点，在抛物线上，则抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：则当时， 的值是（    ） … … … … A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【例4】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）在二次函数 (a，b，c是常数)中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值： x … 0 1 2 … y＝ax2＋bx＋c … m 0 3 n 3 … (1)根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向_______，对称轴为_______； (2)求的值． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，的两个点，记的面积为，的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中错误的是 ．（写出所有错误结论的序号） 3．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）二次函数中的满足如表． … 0 1 2 … … 0 … (1)抛物线的顶点坐标为______，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． (2)求该抛物线的解析式． 4．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 3 … (1)若， ① 求二次函数的表达式． ② 求不等式的解． (2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围． 【典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【例2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）聪聪在用描点法画二次函数的图像时列表格如下图，则图中横线处的数据是（    ） x … 0 1 … y … 3 ______ … A．3 B． C．5 D． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【例4】（2025·安徽亳州·模拟预测）已知二次函数中的x和y满足下表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 3 4 3 m ⋯ (1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； (2)求该二次函数的表达式． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A．21 B．12 C．5 D． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．对于任意实数，都有 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点，，均在该二次函数图象上，则；④若m为任意实数，则；⑤关于x的方程的两实数根分别为，，且，则．其中正确的结论是 （只填序号）． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【典型例题九 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … －1 0 3 4 5 … … 0 －6 0 10 24 … 下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线；③当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例3】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 4．（2025·安徽·模拟预测）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【典型例题十 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·安徽淮南·模拟预测）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【例3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 4．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【典型例题十一 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2024·安徽安庆·模拟预测）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【例3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【典型例题十二 二次函数图象的平移问题】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的解析式是 ． 【例4】（2024九年级上·安徽安庆·专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线M：经过点，点不与点重合． (1)求点，的坐标； (2)求，的值； (3)平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 2．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数． (1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． (2)当______时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在抛物线上：，且在抛物线的对称轴右侧．    (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式恰为．直接写出点平移的方向和距离． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表； 0 1 2 且当 时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②和3是关于x的方程 的两个根；③．其中正确结论的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 7．（2025·安徽亳州·模拟预测）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）点在二次函数的图象上，点C是顶点且，则m的取值范围是 ． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为 ．（用含的代数式表示） 11．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 12．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 14．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，抛物线经过两点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接，若在下方的抛物线上存在一点，使得，请直接写出点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象和性质（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 y=ax²+k的图象和性质 典型例题二 y=a（x-h）²+k的图象和性质 典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质 典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式 典型例题五 二次函数图象与各项系数符号 典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号 典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴 典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值 典型例题九 y=ax²+bx+c的最值 典型例题十 一次函数、二次函数图象综合判断 典型例题十一 反比例函数、二次函数图象综合判断 典型例题十二 二次函数图象的平移问题 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知二次函数，其对称轴为．现有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是________． A．①②③④⑤ B．①③④⑤ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，最值等解答即可. 【详解】解：∵二次函数开口向上， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在负半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； ∵，， ∴,， ∴， 故②错误； ∵抛物线的顶点在第四象限， ∴， 故③正确； ∵对称轴为直线， ∴, ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故⑤正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线的顶点坐标属性，根的判别式，抛物线与各项系数的符号关系，熟练掌握性质是解题的关键. 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，图象经过，下列结论：①，②，③，④，⑤时，随的增大而增大．其中正确的是 ． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①；对称性，特殊点，判断②；对称轴判断③；与轴的交点个数判断④；根据图象即可判断． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴，， ∴， ∴①正确，③错误， ∵二次函数图象经过，对称轴为， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∴，②正确； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴，④错误， 观察图象得，时，y随x的增大而增大，⑤正确． 综上①②⑤正确， 故答案为：①②⑤． 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·安徽池州·期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3从小到大的关系是 【答案】y2＜y1＜y3 【分析】将A（1，2），B（3，2），C（5，7）代入二次函数中，求出二次函数．然后确定二次函数抛物线对称轴，再根据二次函数图象上点的坐标特征判断y1，y2，y3从小到大顺序． 【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）， ∴代入得：， 解得：a＝，b＝，c＝， 对称轴是直线x＝＝2， ∵a＝＞0，抛物线的开口向上， 在直线x＝2的左侧，y随x的增大而减小， 点K关于直线x＝2的对称轴是（﹣4，y3）， ∵﹣4＜﹣2＜﹣1， ∴y3＞y1＞y2， 即y2＜y1＜y3， 故答案为：y2＜y1＜y3． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象和性质的应用．熟练掌握二次函数的图形和性质是解题的关键. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 【即时训练】 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线，再将抛物线沿x轴翻折，并向右平移2个单位长度，得到抛物线…直线l从与y轴重合的位置出发，沿x轴正方向向右平移，每秒平移个单位长度．设抛物线，，，…组成的曲线与直线l交于点P，则第205秒结束时，点P的纵坐标为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，坐标规律探索，先求出抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，抛物线的解析式为：，然后根据直线平移速度，得出第1秒结束时，，第2秒结束时，，第3秒结束时，，第4秒结束时，，第5秒结束时，，第6秒结束时，，第7秒结束时，，第8秒结束时，，第9秒结束时，，总结得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：的顶点坐标为：， 根据题意得：抛物线的顶点坐标为， 则抛物线的解析式为：， 同理得：则抛物线的解析式为：， 则抛物线的解析式为：， 第1秒结束时，， 第2秒结束时，， 第3秒结束时，， 第4秒结束时，， 第5秒结束时，， 第6秒结束时，， 第7秒结束时，， 第8秒结束时，， 第9秒结束时，， …… ∴点P的纵坐标每8秒循环一次， ∵， ∴第205秒结束时，点P的纵坐标与第5秒结束时相同，即第205秒结束时，点P的纵坐标为． 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)①2；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入和，利用待定系数法求出函数解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值即可求解； ②先求出平移后的二次函数解析式，再分别求出平移后的二次函数顶点在上，恰好经过点，时对应的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得：， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为， 综上所述，二次函数解析式为，其图象的顶点坐标为． （2）解：①由（1）得，的顶点坐标为，且抛物线开口向下， 当时，有最大值为4， 又当时，函数的最大值等于4， ， 解得：， 的最大值为2． 故答案为：2． ②二次函数的图象向上平移个单位， 平移后的二次函数解析式为， 此时图象的顶点坐标为， 当线段经过点时，此时，解得； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 平移后的二次函数与线段有一个公共点， 结合图象得，的取值范围是或． 故答案为：或． 【典型例题一 y=ax²+k的图象和性质】 【例1】（2025·安徽亳州模拟预测）点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得． 【详解】解：由， 得到轴的距离大于到轴的距离， 由抛物线的对称轴为轴，开口向下， 得． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，则坐标原点可能是（   ） A．D点 B．C点 C．B点 D．A点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得对称轴为轴，进而结合选项，即可求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线，即轴， ∴坐标原点可能是点， 故选：B． 【例3】（2025·安徽六安·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当时，函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意，利用二次函数的性质，可得出，，即可作答．本题考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵当时，函数值y随自变量x的增大而增大，函数图象经过点 ∴，且， 令，则 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 【答案】(1)或 (2)m的值是1 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的最值问题是解答此题的关键． （1）直接把原点代入抛物线，求出m的值即可； （2）根据抛物线的解析式判断出其开口方向，进而可得出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ∴当时，，即， 解得或； （2）解：∵抛物线中，，顶点坐标， ∴当时，二次函数的值最小， ∴， 解得， ∴m的值是1． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P、分别是抛物线第二、一象限上一点，轴且. 点Q在直线上方的抛物线M上，点和点Q关于直线对称，在以点为顶点且过点与点R的抛物线N上，．若，则点Q坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据题意求出点P、的坐标，然后判断点R在x轴正半轴上或y轴负半轴上，分为两种情况求出点的坐标解题． 【详解】解：∵轴，， ∴，. ∴直线的表达式为. ∵， ∴R在x轴正半轴上或y轴负半轴上， ①R在x轴正半轴上， 设，Q到的距离为，可以表示出的坐标，. ∵，R在x轴上， ∴在x轴上， 可列方程，解得. 即， ②R在y轴负半轴上， ∵是抛物线N的顶点， ∴和R关于直线对称，在R的右侧， 又由R到直线的距离为1，可得的横坐标为，Q的横坐标为4， 即， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)求该抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1）将点代入中得，然后将点代入即可求得n的值； （2）由（1）得，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：将点代入中得：，解得：， 将点代入中得：，解得：， ∴，． （2）解：由（1）得：， ∴抛物线解析式为：， ∴该抛物线的顶点坐标． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，已知抛物线    (1)该抛物线顶点坐标为 ； (2)在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）； (3)该抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到； (4)当时，函数值y取值范围是 . 【答案】(1) (2)图见解析 (3)上，4； (4) 【分析】（1）根据抛物线解析式填空； （2）根据抛物线顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点坐标作出函数图象； （3）根据平移规律“左加右减，上加下减”作答； （4）根据当时，；当时，；及顶点坐标即可求出范围． 【详解】（1）解：由知，抛物线顶点坐标为； 故答案为：； （2）解：由知，抛物线顶点坐标为，抛物线与轴交点坐标是，与轴交点坐标是，，其大致函数图象如图：    （3）解：该抛物线可由抛物线向上平移4个单位得到； 故答案为：上，4； （4）解：当时，； 当时，； 当时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象的几何变换． 【典型例题二 y=a（x-h）²+k的图象和性质】 【例1】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质“对于二次函数，开口向上，开口向下”，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若点，都在抛物线上，请将按从小到大的顺序用“”连接： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得，对称轴为直线，在对称轴左侧y随x增大而减小，再由，即可得到． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵，点，都在抛物线上， ∴， 故答案为：． 【例4】（2024九年级上·安徽宣城·专题练习）将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线；顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 【详解】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线 向下 直线 向下 直线 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 3．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【答案】见解析 【分析】根据列表、描点、连线画出函数的图象，根据图象填表即可 【详解】解：在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象． 先列表： x ⋯ -3 -2 -1 0 1 2 3 ⋯ ⋯ 2 0 2 ⋯ ⋯ 8 2 0 ⋯ 描点、连线，画出这两个函数的图象： 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 开口向上 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，解题的关键是正确的画出函数的图象． 4．（24-25九年级上安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点、点为抛物线上的两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)当且时，试判断与的大小关系并说明理由； (3)若当且时，存在，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)时， 时， (3) 【分析】对于（1），将关系式化为顶点式，即可得出答案； 对于（2），根据x的大小判断点A，点B与对称轴的距离，再讨论a，即可得出答案； 对于（3），根据题意可知点A和点B在对称轴的两侧，可判断t的取值范围，再根据两点到对称轴的距离相等得出范围即可． 【详解】（1）由， ∴抛物线的对称轴是； （2）∵， ，对称轴是， ∴点A比点B离对称轴远． 若，抛物线开口向上，； 若，抛物线开口向下，． （3）∵， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴且， 解得． ∵点A和点B到对称轴的距离相等， ∴， ∴且， 解得． 所以t的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握函数值相等时的值与对称轴之间的关系是解题的关键． 【典型例题三 y=ax²+bx+c的图象与性质】 【例1】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴； 故选A． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）二次函数（a，b，c为常数，且）的x，y的部分对应值如下表所示，则下列结论错误的是（    ）． x … 0 1 2 3 4 5 … y … m 3 2 … A．抛物线开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而增大 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，根据二次函数图象与性质并逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点与， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； 观察表格可知，时，y随x的增大而减小， ∴时，y随x的增大而增大，故选项C正确，不符合题意； ∵顶点坐标为，当时，， ∴抛物线开口向下，故选项A正确，不符合题意； 根据对称性可知，与是对称点，与是对称点， ∴，， ∴， ∴，故选项D正确，不符合题意． 故选：B 【例3】（24-25九年级上·安徽宣城·期中）已知某个二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 1 0 1 4 … 若点，在此图象上，则与的大小关系为 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，根据点A、B横坐标判断即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， 抛物线的对称轴为直线， ∵点，在此图象上， ∴点到直线的距离比点到直线的距离要大， ∵抛物线的开口向上， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象； (2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是____________； ②方程的根是_______________； ③试写出此函数的一条性质； ④已知点，，都在此二次函数的图象上，则的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；④． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用画函数图象的步骤即可求解； （）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：列表： 0 1 2 3 4 描点，连线，如图， ； （2）解：①根据图象可知，函数时，的取值范围是； ②方程即的根是； ③根据图象可知，此函数的一条性质为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； ④根据图象可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知点在二次函数的图象上，且满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，整式的混合运算，不等式的解答，掌握知识点是解题的关键． 将分别代入二次函数，求出，再代入不等式，化简即可求解． 【详解】解：将分别代入二次函数，得 ． ∴ ∵ ∴， 即，解得． 故选D． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）小明用绘图软件绘制了二次函数的图象后，将其对称轴左侧的部分作关于轴对称的图象，将坐标系中图象实线部分记为，如图所示．按横坐标从开始依次增加的规律，在图象上取20个点，得到，，，，，则这20个点的纵坐标的和等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，二次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：由图象可得，函数图象关于点中心对称， 这20个点的横坐标从开始依次增加， ，，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）已知二次函数 (m是常数，)． (1)当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标； (2)若此函数图象对称轴为直线，求函数的最大值； (3)若此二次函数的顶点坐标为，当时，求的最小值． 【答案】(1)； (2)192 (3) 【分析】本题主要查了二次函数的性质： （1）把代入，即可求解； （2）令，可得函数图象与x轴交于点，再由对称轴为直线，可得，即可求解； （3）求出函数图象与x轴交于点，再由顶点坐标为．可得，，然后代入结合二次函数的性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴函数的表达式为 ∴顶点坐标为 ． （2）解：令，则， ∴， ∴函数图象与x轴交于点， ∵对称轴为直线， ，解得：． ∴． ∵， ∴当时，函数有最大值192． （3）解：∵令，则， ∴． ∴函数图象与x轴交于点， ∵顶点坐标为． ∴， 此时， ． ∴当 时，函数有最小值． 4．（2025·马鞍山·模拟预测）已知二次函数的部分函数值对应表如表一，其中，． 表一 x … … y … … (1)当时，设，，请求出的值； (2)设，，张飞同学计算了当时的的值和的值，经过一些思考和推理，发现了一个与m的取值无关的数学规律．请你叙述这个数学规律并对其进行证明． 【答案】(1)； (2)（是正整数）．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）由题意得到，；，；，；再计算得到，，最后计算求出的值即可； （2）由题意得到，；，；同（1）计算即可得解． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， ∴， ， ∴； （2）解：（是正整数）．理由如下， ，， ，， ，， ，， ，， ∴， ， ， ∴， ； ∴． 【典型例题四 把y=ax²+bx+c化成顶点式】 【例1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）下列各点中，是抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标， 将关系式整理为顶点式，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式性质，首先求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数解析式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴ ∴． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）将抛物线向右平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】先将二次函数化成顶点式，得到其顶点坐标，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律求出其向右平移2个单位长度后的顶点坐标，据此即可得出答案． 【详解】解：， 其顶点坐标为， 向右平移2个单位长度后的顶点坐标为，即， 得到的抛物线解析式为： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，把化成顶点式，的图象与性质，坐标与图形变化——平移等知识点，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）配成顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： ； （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·北京·阶段练习）小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质以及化为顶点式求顶点等知识点，掌握二次函数图象的性质是解答本题的关键． 先求出顶点点的坐标，再根据题意求出点的纵坐标，求出的长度，进而求出的长度． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为，把代入，得， ， ． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数． （1）当时，该二次函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，函数有最小值，则m的值为 ． 【答案】 0或2 【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标； （2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题． 本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键． 【详解】（1）当时，，顶点坐标为． （2）抛物线对称轴为直线， ①当时，且在时有最小值， 根据二次函数对称性，当或时，函数有最小值，不妨当时，最小值为，即可得到：，解得：或，不符合题意，舍去； ②当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或，所以； ③当时，且在时有最小值，则时，最小值为， 即可得到：，解得：或6，所以； 综上所述：m的值为0或2． 3．（2025·安徽滁州·模拟预测）课堂上，数学老师组织同学们围绕二次函数展开探究． 【问题探究】 （1）求该二次函数图象的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为，求实数的值； 【问题拓展】 （3）若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1）对称轴直线为 （2） （3）实数的取值范围为或 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数对称轴直线，图象开口，增减性是解题的关键． （1）根据对称轴直线的计算公式计算即可； （2）根据函数图象及对称轴得到，当时，函数取得最大值，最大值为：，结合自变量的取值范围得到，由此即可求解； （3）根据题意，确定二次函数图象的开口，对称轴直线，根据自变量取值范围得到对应函数值的取值范围，，即对应点的坐标为，根据，函数图象的对称性即可求解． 【详解】解：（1）二次函数， ∴对称轴直线为； （2）∵， ∴二次函数图象开口向下，且对称轴直线为， ∴当时，函数取得最大值，最大值为：， 当时，函数的最大值为， ∴，整理得，， 解得，（舍去）， ∴； （3）当时，二次函数为， ∴函数图象开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴， ∴当在范围时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，，整理得，，且， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵当时，总有，当时，随的增大而增大， ∴，即， ∵点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时，， 综上所述，实数的取值范围为或． 4．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）已知二次函数． (1)将该二次函数的表达式化为的形式． (2)写出该二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 【答案】(1)； (2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键： （1）利用配方法将一般式转化为顶点式即可； （2）根据顶点式的性质，进行作答即可． 【详解】（1）解：． （2）由（1）知，该抛物线表达式是 ，则该二次函数的图象的开口方向向上， ∴对称轴是直线，顶点坐标是． 【典型例题五 二次函数图象与各项系数符号】 【例1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知二次函数为，则它的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵二次函数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C 【例2】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在y轴的右侧，与y轴交于负半轴，然后问题可求解． 【详解】解：由图象可得：，，， ∴； 故选：B． 【例3】（23-24九年级上·全国·单元测试）下列关于二次函数 (为常数)的结论：①该函数的图象与函数的图象形状相同；②该函数图象的顶点在函数的图象上；③当＞0时，随的增大而减小；④该函数的图象一定经过点．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质：增减性、图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 能够根据二次函数的解析式得出顶点坐标、系数的值，再结合函数的增减性、图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】二次函数图象的形状由决定，和中均为，故图象形状相同，①正确； 由顶点式可知，二次函数顶点坐标为， 故顶点在函数的图象上，②正确； 二次函数中， 当时，y随x的增大而减小，③错误； 当时，代入二次函数中可得， 故该函数的图象一定经过点，④正确． 故答案为：①②④ 【例4】（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ， ∵或1， ∴当时，该函数有最小值． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线与轴的交点坐标分别为，，有以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．由由图象可知，，再根据与轴的交点，得出，可判断①②结论；根据交点坐标得出，可判断③④结论． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交点在负半轴， ，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 对称轴为直线，即， ， ，①结论错误； ，②结论错误； 抛物线与轴的交点坐标分别为， ， ， ，③结论错误； ，④结论正确； 故选：A． 2．（2025九年级上·安徽安庆·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）若点，点，点在该函数图象上，则；（4）若，则，其中正确的结论的序号是 ． 【答案】（1）（4） 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴，抛物线与x轴交点情况，函数的增减性，特殊点的函数值等进行推理，进而对所求结论进行判断． 【详解】解：∵称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故（1）正确， ∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故（2）错误， ∵点，点，点在该函数图象上，对称轴为直线，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小 ∴，故（3）错误， ∵当时，取得最大值， ∴当时，， ∴，故（4）正确， 故答案为：（1）（4）． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)试比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1)对称轴为：； (2)． 【分析】（1）本题考查二次函数的图象与性质，将代入得到，根据抛物线的对称轴为，即可解题． （2）本题考查二次函数的图象与性质，将、代入抛物线得到，，利用作差法，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：把代入得：，整理得，　 抛物线的对称轴为． （2）解：把、代入抛物线得： ，， ， ． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【典型例题六 根据二次函数的图象判断式子符号】 【例1】（24-25九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知抛物线（，，为常数，）的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线为，从而，则，，结合抛物线与轴的交点在轴上方，可得，则，故可判断A、B；将代入抛物线解析式可判断C；又，，代入，可判断D． 【详解】解：抛物线顶点为， 可设抛物线为． ． 又抛物线为， ，． 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，故A、B均不正确； 又抛物线的顶点为， 当时，，故C正确． 由，， ，故D错误． 故选：C． 【例2】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数 的图象如图所示，下列说法正确的有（   ） ①方程有四个不等的实数根；② ；③ ；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】利用数形结合思想，结合绝对值的意义，函数的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意， 当时，方程有三个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程有四个不等的实数根； 当时，方程有两个不等的实数根； 当时，方程没有实数根； 故①错误； 当时，，根据图象，得， 故， 故② 错误； 根据题意，得的对称轴为直线，且，， 故即， 故③ 正确； 当时，，根据图象，得， 故， 当时，抛物线开口向上，故解析式为， 时，根据图象，得， 故， 故即． 故④ 正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与各项系数的关系，绝对值的意义，数形结合思想，方程根于图象的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·山西朔州·阶段练习）如图是二次函数图象的一部分，则 0（填“”“”“”）    【答案】 【分析】分别根据开口方向，与y轴交点，对称轴的位置，可判断出a，b，c的符号，即可得解． 【详解】解：由图可知：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，准确读图． 【例4】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)已知，当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出a与b之间的数量关系；若不存在．说明理由． 【答案】(1)对称轴 (2)①见解析；②存在，如 【分析】（1）将点代入抛物线解析式可得到a与b的关系，再根据对称轴公式即可求解； （2）利用二次函数的图象和性质，以及不等式的基本性质，即可证明；结合抛物线的对称性和增减性，抛物线上的点离对称轴的距离越近，所对应的函数值越小，分情况讨论即可． 【详解】（1）∵点在抛物线上，且，， ∴， ∴， ∴对称轴为； （2）解：①∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∵当时，总有， ∴， ∵， ∴； ②存在a，b，使得当时，都有． 由①知，， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离抛物线对称轴的距离越近，所对应的函数值越小， ∵，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴当时， ，且P离对称轴的距离更近， ∴，符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 当时， 存在，此时，不符合题意； 综上所述，当时，符合题意． ∴，即， ∴存在a，b，使得当时，都有，a与b之间的数量关系为． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，不等式的性质等，熟练掌握抛物线的对称轴，不等式的性质等相关知识点是解题的关键． 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线．则下列结论中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由函数图象可得，，得出，即可判断A；根据对称轴得出，再结合当时，，即可判断B、C；当时，，即可判断D． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴，即，故选项B不符合题意； ∵， ∴，故选项C不符合题意； 根据函数图象可知，当时，，即，故选项D符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数（）的大致图象如图所示. （）；（）；（）；（）关于的方程有两个不相等的实数根．则下列结论正确的是 ．（填序号） 【答案】（）（）/（4）（1） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由图象可得，，，即得，即可判断（）；由对称轴位置可判断（）；由抛物线与轴的一个交点坐标为可判断（）；由抛物线与直线有两个不同的交点可判断（），综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 由图象可知，对称轴，故（）错误； ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴，故（）错误； 由图象可知，抛物线的顶点的纵坐标为， ∴函数值的最大值为， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线与直线有两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故（）正确； 综上，结论正确的是（）（）， 故答案为：（）（）． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图像，写出三条关于a，b，c的信息． 【答案】a＜0，b＞0，c=2，a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0等，答案不唯一 【分析】利用抛物线图象的开口方向，与y轴交点坐标，对称轴位置进行判定a、b、c的信息． 【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0； ∵抛物线与y轴的交点为（0，2），故c=2； ∵抛物线对称轴x=＞0， 故a、b异号，b＞0； ∵抛物线经过点（-1,0）和（2,0）, ∴有a-b+c=0①， 4a+2b+c=0②， ②-①得3a+3b=0， 即a+b=0； 又∵抛物线经过（0，2）， 故c=2， ∴a+b+c=0+2=2； a＜0，b＞0，c=2, a-b+c=0，4a+2b+c=0，a+b+c=2，a+b=0． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，利用数形结合思想是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和，且与轴相交于负半轴． 第问：给出四个结论：①；②；③；④．写出其中正确结论的序号（答对得分，少选、错选均不得分） 第 问：给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1．写出其中正确结论的序号． 【答案】（1）正确的序号为①④；（2）正确的序号为②③④． 【分析】（1）根据抛物线开口向上对①进行判断；根据抛物线对称轴x=-在y轴右侧对②进行判断；根据抛物线与y轴的交点在x轴下方对③进行判断；根据x=1时，y=0对④进行判断； （2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对①进行判断；根据0<-<1可对②进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a﹣b+c=2，a+b+c=0,整理有a+c=1，则可对③进行判断；根据a=1-c，c<0可对④进行判断． 【详解】（1）①由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，正确； ②因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=＞0． 又∵a＞0，∴b＜0，错误； ③由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，错误； ④由图象可知：当x=1时y=0，∴a+b+c=0，正确． 故（1）中，正确结论的序号是①④． （2）①∵a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0，错误； ②由图象可知：对称轴x=＞0且对称轴x=＜1，∴2a+b＞0，正确； ③由图象可知：当x=﹣1时y=2，∴a﹣b+c=2，当x=1时y=0，∴a+b+c=0； a﹣b+c=2与a+b+c=0相加得2a+2c=2，解得：a+c=1，正确； ④∵a+c=1，移项得：a=1﹣c． 又∵c＜0，∴a＞1，正确． 故（2）中，正确结论的序号是②③④． 【点睛】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定： （1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0． （2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号． （3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0． （4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0；没有交点，b2﹣4ac＜0． 【典型例题七 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例1】（2025九年级上·全国·专题练习）已知点，在抛物线上，则抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性是解题关键．根据点，的纵坐标相同，得到它们是一对对称点，即可求出对称轴． 【详解】解：点，在抛物线上，且纵坐标相同， 点，是一对对称点， 对称轴是直线， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）二次函数 图象上部分点的坐标对应值列表如下：则当时， 的值是（    ） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数的对称形，由当时，，当时，，得到二次函数的对称轴直线，解题的关键是找出二次函数的对称轴直线为． 根据表格信息可得二次函数的对称轴直线为，可得当时的函数值与时的函数值相等，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息可得，当时，，当时，， ∴二次函数的对称轴直线为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∵时，， ∴当时， 的值是， 故选：C ． 【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示，，，，则的长度是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度． 【详解】解：由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同， ，，， ， ，， 又， ． 故答案为：9． 【例4】（23-24九年级上·甘肃陇南·阶段练习）在二次函数 (a，b，c是常数)中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值： x … 0 1 2 … y＝ax2＋bx＋c … m 0 3 n 3 … (1)根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向_______，对称轴为_______； (2)求的值． 【答案】(1)下，直线 (2)9 【分析】（1）观察表格中的数据，得到和时，y值相等都为3，且时，，可得出抛物线开口方向及对称轴； （2）把三点坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值确定出解析式，进而求出m与n的值即可． 【详解】（1）解：根据表格信息，得到和时，y值相等都为3，且时，， 可知抛物线开口向下，对称轴为直线； 故答案为：下，直线； （2）解：把代入得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 1．（2025·安徽滁州·模拟预测）如图，抛物线 与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，则下列结论中，正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据二次函数的图象与系数关系、图象与x轴的两交点，二次函数的性质，逐项判断即可解答本题． 【详解】解：A、由抛物线的对称轴位于y轴的右侧知a，b异号，即．由抛物线与y轴交于负半轴知，故，故此选项不符合题意； B、由图可知当时，或，故此选项不符合题意； C、由图可知，当时，，即，故此选项不符合题意； D、由题意得二次函数的对称轴为直线，则，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24九年级上·福建莆田·阶段练习）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于A，的两个点，记的面积为，的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中错误的是 ．（写出所有错误结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和， ∴该抛物线对称轴为， ①不妨假设，如图1中，、满足，      此时， ，故①错误； ②当，时，满足， 则，故②错误； ③当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方， ∴， ∴，故③正确； ④不妨假设，如图2中，、满足，但是，故④错误；    综上分析可知，结论错误的是：①②④； 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·湖北孝感·阶段练习）二次函数中的满足如表． … 0 1 2 … … 0 … (1)抛物线的顶点坐标为______，当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”）． (2)求该抛物线的解析式． 【答案】(1)，增大 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，求二次函数的解析式： （1）根据对称轴，确地顶点坐标，进而判断增减性即可； （2）设出顶点式，待定系数法进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，和的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴顶点坐标， 由表格可知顶点的纵坐标为函数的最小值， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大； 故答案为：，增大 （2）设函数的解析式为：，把代入，得： ，解得：， ∴． 4．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知二次函数的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 3 … (1)若， ① 求二次函数的表达式． ② 求不等式的解． (2)若在中只有一个为负数，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）①根据题意，根据表格数据可得对称轴是直线，设二次函数表达式为，再代数求值即可； ②根据题意得到的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围，即可得到答案； （2）根据题意，对称轴是直线，故可分和两种情况进行分析． 【详解】（1）解：根据表格数据可得对称轴是直线， ①设二次函数表达式为， 又过，， ， ， 二次函数的表达式为； ②由①令， ， 或， 抛物线与轴交于，又抛物线开口向上， 不等式的解就是函数的图像在轴下方对应的自变量取值范围． 等式的解为； （2）解：由题意得，对称轴是直线， ①当时，当时，随的增大而增大， ， ， 在中只有一个为负数， ， 且， 对称轴，即， ，且， ； ②当时，当时，随的增大而减小， ， ， 在中只有一个为负数， ， 且， 对称轴，即， ，且， ； 综上，或． 【典型例题八 根据二次函数的对称性求函数值】 【例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）聪聪在用描点法画二次函数的图像时列表格如下图，则图中横线处的数据是（    ） x … 0 1 … y … 3 ______ … A．3 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知二次函数的对称轴为，然后根据二次函数的对称性可进行求解． 【详解】解：由表格知：二次函数的对称轴为， ∴根据二次函数的对称性可知：与的函数值相等， ∴横线处的数据是3； 故选A． 【例3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的部分图象如图所示，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数的对称性求函数值，因为由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为，则抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可作答． 【详解】解：由图像可知与轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为， 则， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为： 【例4】（2025·安徽亳州·模拟预测）已知二次函数中的x和y满足下表： x ⋯ 0 1 2 ⋯ y ⋯ 0 3 4 3 m ⋯ (1)根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线； (2) 【分析】（1）由于，；，，则可利用抛物线的对称性得到对称轴；然后利用对称性确定m的值； （2）设顶点式，然后把代入求出a的值，从而得到抛物线解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和所对应的函数值相等， ∴； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为， 即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A．21 B．12 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．对于任意实数，都有 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，从而可得当时，，结合即可判断②正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性即可判断③正确；根据当时，即可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ，选项A正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵抛物线的图象与的一个交点在点和之间， 当时，， 由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等， ∴当时，，即， ，选项B正确； 由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，即为， ∵该抛物线的图象经过点与点，且， ∴由二次函数的增减性可知，，选项C正确； 当时，，则选项D错误； 故选：D． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点，，均在该二次函数图象上，则；④若m为任意实数，则；⑤关于x的方程的两实数根分别为，，且，则．其中正确的结论是 （只填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系： ①根据的取值，以及对称轴可以确定的大小，然后根据交点坐标可以判断的大小，最后得到的大小；②根据对称轴和交点坐标可得到另外一个交点坐标，代入即可得到结果；③根据对称轴找点离对称轴的距离，距离越远，则函数值越大，即可得到结果；④根据对称轴处取得最小值，若m为任意实数，则均大于等于最小值；⑤将方程转化为抛物线与直线的交点，即可得到大小关系； 解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：∵二次函数对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， ∵二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为， ∴，即， ∴， ∴，①错误； ∵图像与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴图像与轴的一个交点坐标为， 代入二次函数可得， ∴，②正确； ∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴点，，到对称轴的距离分别为：3，1，2， ∵， ∴图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∴，③正确； ∵，即，， ∵抛物线的最小值为， ∴m为任意实数，， ∴，④正确； ∵方程的两实数根分别为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为：，， 由抛物线对称性可得抛物线与轴另一个交点坐标为， ∴抛物线与轴交点坐标为，， ∵抛物线开口向上，， ∴，⑤错误； 故答案为：②③④． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线（）． (1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）将抛物线的对称轴为求解即可； （2）分为两种情况，，根据，结合抛物线的增减性建立不等式解答即可． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为 （2）∵，所以分为两种情况， ①当时，对称轴为，开口向上， ∵,, ∴此时、都在对称轴的右侧， 又∵当时，y随x的增大而增大， 结合图象，若对于，，都有 则：， ∴ ②当时，对称轴为，开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∵,, ∴此时在对称轴的右侧，在对称轴的左侧, 又∵抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点为， 结合图象，若对于，，都有． ∴   ∴   ∴ 综上，a的取值范围是或． 【典型例题九 y=ax²+bx+c的最值】 【例1】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知一个二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表： … －1 0 3 4 5 … … 0 －6 0 10 24 … 下列结论：①这个函数的图象开口向上；②这个函数图象的对称轴为直线；③当时，函数值随的增大而增大；④这个函数的最小值为．其中正确的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象及性质，包括开口方向、对称轴、单调性及最值的判断，熟练掌握以上知识点，并结合给定的函数值表进行推理是解题的关键．根据表格确定函数解析式并化为顶点式，开口方向由的符合决定，对称轴公式为，增减性需结合开口方向和对称轴位置，最值在顶点处，据此即可解答． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象经过点和， 对称轴为， ， ， 二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象经过点， ， ， ，， 二次函数的解析式为， 二次函数的图象开口向上， 故①正确； 这个函数图象的对称轴为直线， 故②错误； 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随的增大而增大； 当时，函数值随的增大而增大； 故③正确； ， 这个函数的最小值为， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·浙江温州·期中）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“美丽点”．例如：点，，，…都是“美丽点”．若二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当时，函数（）的最小值为，最大值为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解有且只有一个“美丽点”的含义，掌握二次函数对称性，增减性的性质是解题的关键． 根据题意，有且只有一个“美丽点”，可得，，解得，由此可得函数（）的开口向上，函数在对称轴处有最小值，把代入可得函数的最大值，根据二次函数的对称性，增减性可得关于对称轴直线的对称点为，由此即可求解． 【详解】解：∵二次函数（）的图象上有且只有一个“美丽点”， ∴，整理得，， ∴， 解得，， ∴函数的对称轴为， ∴图象的开口向上，函数有最小值， ∴当时，函数（）的最小值为， 当时，，即函数的最大值， ∵关于对称轴直线的对称点为， ∴， 故选：C ． 【例3】（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是 ． 【答案】；5 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据解析式求出对称轴，开口方向和顶点坐标，进而得到离对称轴越远函数值越大，再确定当且仅当时，函数有最大值并计算出最大值即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即最小值为 ∴离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，当且仅当时，函数有最大值，最大值为， 故答案为；；5． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知代数式，先用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】见解析，当时，这个代数式的值最小，最小值为5 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键．首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是整数；设代数式的值为，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】解：， ∵， ∴无论取何值，代数式的值总是正数， 设该代数式的值为， 则有， 当时，这个代数式的值最小，最小值为5． 1．（2025·安徽安庆·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点，安安和顺顺作出如下判断： 安安：． 顺顺：若m是实数，则． 对于这两个判断，下列说法正确的是（   ） A．安安对 B．顺顺对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数和式子的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 由对称轴得，而抛物线经过，则，代入即可判断安安说法；由开口向上得时，函数取得最小值为，那么，化简即可判断顺顺说法． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线经过， ∴， ∴， ∴，故安安正确； ∵开口向上， ∴时，函数取得最小值为， ∴， ∴， ∴，故顺顺错误， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏常州·期末）已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先利用交点式写出抛物线解析式为，再利用配方法得到，则当时，y有最小值为，再解方程得，，即自变量为或7时，函数值为12，然后利用该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，从而确定的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线解析式为， 即， ∵， ∴当时，y有最小值为， 当时，， 解得，， ∵该函数在的范围内有最小值为，最大值为12， ∴． 故答案为：． 3．（2025·安徽亳州·模拟预测）已知二次函数为常数，且 (1)若函数图象过点，求a的值． (2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键． （1）把点代入解析式即可求得a的值； （2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ， （2）解：由题意，， 抛物线的顶点为， 时，， 当时，， 当时，当时，，， ， ， 当时，当时，，， ， ， 的值为或 4．（2025·安徽·模拟预测）[综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线的顶点坐标为，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据顶点坐标公式列方程求解即可； （2）先求出，得到，求出点，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线图的顶点坐标为， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，则 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， 对于，当时，， 解得，或， ∴, ∴ ∴， ∴ （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得，， ∴ 设M点坐标为，则， ∵， ∴当时，的最大值为2． 【典型例题十 一次函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2025·安徽淮南·模拟预测）已知二次函数与正比例函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 由已知函数图象，判断出，，，即可得函数的图象方向和对称轴，再求出与函数图象与轴的交点的横坐标，即可解得． 【详解】解：由已知函数图象得，，，， ∴函数的图象开口向上，， 即其图象的对称轴直线在轴的左侧． ∵二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴二次函数与正比例函数的图象交点的横坐标为，， ∴方程的两根为，， ∴函数的图象与轴的交点的横坐标为，． 故选B． 【例2】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点． (1)求 b 的值； (2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得； （2）由图像即可得． 【详解】（1）解：将点A（4，4）代入得， 解得． （2）解：由图像可知，当或时，． 【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质． 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 2．（2025·安徽合肥·模拟预测）在学习了“利用函数的图象研究函数的性质”后，为了研究函数的性质，小勤同学用描点法画它的图象，列出了如下表格： 2 以下五个结论：①点在函数的图象上；②函数的图象一定不经过第四象限；③函数的图像关于直线对称；④点，，若，则；⑤若直线与函数的图象有个公共点，则．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，把代入函数解析式求出的值即可判断①；由绝对值的性质可得即不管取何值，始终有，即可判断②；根据表格对应的数值可判断③；根据二次函数的性质可判断④；画出图象可判断⑤，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在函数的图象上，故①正确； 当时，， 当时，， 即不管取何值，始终有， ∴函数的图象一定不经过第四象限，故②正确； 由表知，函数的图像关于直线对称，即关于轴对称，故③错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴点，，若，则，故④正确； 由②可知，， 画函数图象如下： 当时，， 由图象可知，当直线与函数的图象有个公共点时，，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知直线过定点M，与抛物线交于A、B两点，其中点A、B分别在第二、第一象限，过点M的另一条直线交y轴于点N．求点M的坐标和直线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合题，一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据，确定定点M的坐标为，再代入中可求一次函数解析式． 【详解】解：， 当，， 定点M的坐标为， 把代入直线中， 即， 解得：， 直线MN的解析式为：． 4．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，抛物线与直线交于点和点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)求点B的坐标，并结合图象直接写出不等式的解集； (3)点N是抛物线对称轴上一动点，且点N纵坐标为n，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若点在直线上，且直线与图象G有公共点，结合函数图象，直接写出点N纵坐标n的取值范围． 【答案】(1)抛物线和直线的解析式分别为和； (2)，或； (3) 【分析】（1）将点的坐标代入，求出、的值即可； （2）求出点的坐标，根据图象得出不等式的解集即可； （3）求出点的坐标为，直线与抛物线对称轴的交点为，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）将点代入得：， 解得：， 将点代入得：， 解得：， 抛物线和直线的解析式分别为和； （2）联立抛物线和直线的解析式得： ， 解得：或， 点的坐标为，， 根据图象可知，不等式的解集为或； （3）把 代入 得：， 点的坐标为， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 把代入得：， 直线与抛物线对称轴的交点为 根据图象可知，当直线与图象有公共点时，点纵坐标取值范围为．    【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，解答本题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出两个函数解析式和交点坐标． 【典型例题十一 反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例1】（2024·安徽安庆·模拟预测）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 【例2】（2025·安徽池州·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反比例函数y=的图象相交于B点，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0,6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ． 【答案】(，0) 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后求出点B的坐标，从而可以求得二次函数解析式，然后求出点A的坐标，进而求得A＇的坐标，从而可以求得直线A＇B的函数解析式，进而求得与x轴的交点，从而可以解答本题 【详解】解：作点A关于x轴的对称点A＇，连接A＇B，则A＇B与x轴的交点即为所求， ∵抛物线y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数y= 的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C（0,6）， ∴点B（3,3）， ∴ 解得， ∴y=x2-4x+6=（x-2）2+2 ∴点A的坐标为（2,2）， ∴点A＇的坐标为（2，-2）， 设过点A＇（2，-2）和点B（3,3）的直线解析式为y=mx+n ∴ ∴直线A＇B的函数解析式为y=5x-12, 令y=0,则0=5x-12得x=, 故答案为（） 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、最短路径问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【例3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． (1)求这两个函数的表达式； (2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围； (3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解． （2）利用函数的性质结合图象即可求解． （3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点， ∴，， 解得，， ∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵二次函数的解析式为， ∴对称轴为直线， 由图象知，当随的增大而增大，且时， （3）∵当时，， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高相等， ∵与的面积相等， ∴， 即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点， 当时，， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 2．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． 若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标________； 试说明点的“属派生点”一定满足（其中） 【答案】（1）（1，2）；（2）1 【分析】（1）根据“k属派生点”的定义可知纵坐标是横坐标的k倍，然后根据p′的坐标求出k＝1，然后求出点p的横坐标与纵坐标的关系，再求解即可；（2）根据P（a，b）的“k属派生点”p′（x，y）可得出x＝，y＝ka＋b，代入进行计算即可. 【详解】．∵点的“属派生点”， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键. 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图1，为坐标原点，点在轴的正半轴上，四边形是平行四边形，，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点. （1）若点为的中点，且的面积. ①设的面积为，的面积为，则______（直接填“”、“”或“”），______； ②求的长和点的坐标. （2）在（1）的条件下，过点作，交于点（如图2），点为直线上的一个动点，连结、，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出所有点的坐标，不必说明理由. 【答案】（1）①，，②， ；（2），；；. 【分析】（1）先设OA=a（a>0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB=得出AH=a，OH=a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6， 根据BF=a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF=BM•FM，S△FOM=6+a2，再根据点A，F都在y=的图象上，S△AOH=k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OB•AH，得出OB=AC=，即可求出点C的坐标； （2）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1，P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可． 【详解】（1）①，. ②设，如图3，过点作轴于，过点作轴于. ∵，∴，，∴. ∵，∴. ∵为的中点，∴. ∵，， ∴，. ∴. ∴. ∵点、都在的图象上，∴. ∴，∴，即.∴，. ∵，∴. ∴. （2）存在三种情况：如图4. 当时，在的两侧各有一点， 分别为：，； 当时，； 当时，. 提示：当时，易证点为的中点，则，设交轴于点，由，得，；当时，设，由构造方程求；当时，同理由构造方程求. 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握计算法则是解题关键. 【典型例题十二 二次函数图象的平移问题】 【例1】（2025·安徽六安·模拟预测）将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 【例2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）已知抛物线（a、m、k为常数，且）的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 21 … 将抛物线平移得到新抛物线，若点在新抛物线上，则n的值为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解题关键．依题意得出在上，根据表格和对称轴，得出或，即可求解． 【详解】解：依题意，抛物线向左平移1个单位得到新抛物线，点在新抛物线上， ∴在上， 观察表格可得在抛物线上， 又对称轴为直线， ∴也在原抛物线上， ∴或， ∴或3． 故选：D． 【例3】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，理解并掌握二次函数图象平移的规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”，即可获得答案． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的新抛物线的解析式是． 故答案为：． 【例4】（2024九年级上·安徽安庆·专题练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，轴交于点，点在线段上，以点为顶点的抛物线M：经过点，点不与点重合． (1)求点，的坐标； (2)求，的值； (3)平移抛物线至，点，分别平移至点，，连接，且轴，如果点在轴上，且新抛物线过点，求抛物线的函数解析式． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，涉及平移的性质，二次函数的图象性质等，解题的关键是根据的平移性质求出和的值． （1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得，； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，列式求得，，然后得到抛物线解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：（1）在中，令得：， ， 令得：， ； （2）解：设，设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点， 将代入得：， ， ，即  ， 将  代入， 整理得：， ，； （3）解：如图： 轴，点在轴上， 设，，则点纵坐标为， 点，分别平移至点，， 点，点向下平移的距离相同， ， 解得：， 由（2）知  ， ， 抛物线的函数解析式为：， 将代入可得：， 抛物线的函数解析式为：或． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）如图，抛物线与交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小． 下列说法正确的是（   ） A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ， 无论取何值，总是负数，故①正确； 抛物线与交于点， 当时，，即，解得：， ， 可由向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，故②正确； ， 随着的增大，的值减小；故③错误． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系； ①首先根据抛物线与轴交于、两点，可得方程有两个不相等的实数根，进而得； ②根据抛物线的图象，可得时，，即，据此判断即可； ③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积底高，求出阴影部分的面积是多少即可； ④根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴结论①正确； ∵时，， ∴， ∴结论②不正确； ∵抛物线向右平移了2个单位， ∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是， ∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：， ∴结论③正确； ∵，， ∴， ∴结论④正确． 综上，结论正确的是：①③④． 故答案为：①③④． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知函数． (1)函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______． (2)当______时，随的增大而减小． (3)当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？ (4)怎样平移抛物线可以得到拋物线？ 【答案】(1)向下，， (2) (3)当时，函数能取到最大值，最大值为． (4)抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数的平移变换等知识点，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）根据二次函数图象的性质写出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标即可； （2）直接根据二次函数的增减性即可解答； （3）根据二次函数的性质解答即可； （4）根据二次函数图象的平移变换即可解答． 【详解】（1）解：∵函数， ∴该函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为． 故答案为：向下，，． （2）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而减小． 故答案为：． （3）解：∵函数的图象的开口方向是向下，对称轴是，顶点坐标为， ∴当时，函数能取到最大值，最大值为． （4）解：抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，就可以得到抛物线． 4．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，点在抛物线上：，且在抛物线的对称轴右侧．    (1)写出抛物线的对称轴和最大值，并求的值； (2)在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点及的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数解析式恰为．直接写出点平移的方向和距离． 【答案】(1)抛物线对称轴为：，最大值为：4， (2)点向左平移3个单位，再向下平移4个单位 【分析】本题考查了二次函数图象的几何变换，熟练掌握平移法则是解答本题的关键． （1）根据抛物线顶点式可直接回答对称轴最大值并求出a值； （2）对比两个抛物线顶点式，根据“左加右减，上加下减”法则解答即可． 【详解】（1）解：抛物线， 抛物线对称轴为：，最大值为：4； 将代入解析式得：； （2）解：原抛物线，平移后的抛物线． 由平移规律得，抛物线是由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． ∴点向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的． 1．（2025·安徽池州·模拟预测）下列对二次函数的图像的描述，正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．经过原点 D．顶点在x轴的上方 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，将二次函数的解析式化为顶点式得出二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，函数的最小值为，顶点坐标为，当时，，由此即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 顶点坐标为，在x轴的下方，故错误， 当时，，因此图象经过原点，故C正确； 故选：C． 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）二次函数的图象如图所示.①；②函数的最大值为；③当时，；④，则以上结论中正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右，常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于． 利用抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称性得到，根据抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用二次函数的最值问题可对②进行判断；利用抛物线与轴的交点与图象可对③进行判断；利用可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的交点坐标在轴上方， ∴，所以①正确； 当时，函数的最大值为：，故②正确； 由对称性可知，抛物线与轴的另一交点为，所以时，，故③正确； 当时，， 所以，， 即，故④错误， 综上可知，正确的是①②③， 故选：C． 3．（2025·安徽合肥·模拟预测）二次函数的部分图象如图所示，函数值y大于3的自变量x的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性确定的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为， ∴点关于直线的对称点为， 当时，， ∴函数值y大于3的自变量x的取值可以是，不能是、0、2． 故选：B． 4．（2025·安徽安庆·模拟预测）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表； 0 1 2 且当 时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②和3是关于x的方程 的两个根；③．其中正确结论的个数是（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与其系数的关系，根据和时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可判断①②；根据对称轴计算公式可得，接着求出，再根据当时，，可判断③． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线． ∵， ，故①正确． 当时，， 当时，． 和3是关于的方程的两个根，故②正确． ∵抛物线的对称轴是直线， ． ∵当时，，且当时，． ． ． ． ，故③错误． 综上正确的有①②，共2个． 故选：B． 5．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 6．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知抛物线，且经过点，试比较和的大小： ． 【答案】＜ 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数的性质是解题关键．根据，抛物线的开口向上，对称轴的左侧随的增大而减小，对称轴的右侧随的增大而增大． 【详解】解：抛物线，， 抛物线开口向上，对称轴为轴， 当时，随的增而减小， ， ， 故答案为：． 7．（2025·安徽亳州·模拟预测）定义运算：，例如，，则函数的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数对称轴，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求对称轴． 【详解】解：， ， 即， 对称轴为直线， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）点在二次函数的图象上，点C是顶点且，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据二次函数的性质找出关于的一元一次不等式． 根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为，由题意推出二次项系数小于，可找出函数的单调区间，再结合、点坐标的特点即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】二次函数的对称轴为， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴当时，有最大值， ， ∴二次函数图象在上随的增大而增大，在上随的增大而减少， ∵点都在二次函数的图象上，且 ∴点离对称轴更近， ， 解得：， 故答案为 9．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，已知二次函数，当x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a≤1 【分析】由函数图象可得函数的增减性，即可得答案． 【详解】解：∵由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增大， ∴a≤1， 故答案为a≤1． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决． 【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数， ∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上， 假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上， ∴m=，得x3=， ∴=x1+x2+x3=0+x3=； 故答案为：. 【点睛】本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答． 11．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）通过配方变形，将二次函数化为的形式，并指出顶点坐标及取何值时，随的增大而减小． 【答案】；顶点坐标为；当时，随的增大而减小． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将二次函数化成顶点式，根据顶点式可得出顶点坐标，再根据二次函数的增减性质即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴顶点坐标为， ∵， ∴当时，随的增大而减小． 12．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定a、b、c的符号； (2)当x取何值时，；当x取何值时，． 【答案】(1)，， (2)；或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系： （1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解； （2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解． 【详解】（1）解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ， 抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴， ， 综上可知，，，； （2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为，， 当时，抛物线在x轴上方，当或时，抛物线在x轴下方， 当时，；当或时，． 13．（2025·安徽安庆·模拟预测）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数． 下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数的图象与性质． 列出表格： … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 4 1 0 1 4 2 1 … 描点连线： （1）以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，请在所给的平面直角坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数的图象． 探究性质： （2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题： ①当时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______． ②点，在该函数图象上，则______（填“＞”“＜”或“＝”）． ③请写出该函数的一条性质：______________________． 解决问题： （3）①当直线时，与该函数图像的交点坐标为_________________． ②在直线的左侧的函数图象上有两个不同的点，，且，求值． 【答案】（1）见解析；（2）①直线x=-2；（-2，0）；②＜；③图象有最低点（-2，0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；②x3+x4=-4． 【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可； （2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②； ③根据函数有最低点写出即可； （3）①观察图象可直接得出结论； ②分析题意可得P、Q两点关于直线x=-2对称，得P、Q连线的中点在直线x=-2上，根据中点坐标公式即可得出结果． 【详解】解：（1）该函数图象如图所示； （2）结合（1）中画出的函数图象， ①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x=-2；最低点坐标为 （-2，0）； 故答案为：直线x=-2；（-2，0）； ②点A（-3，y1），B（-8，y2）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧， 观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小， y1＜y2； 故答案为：＜； ③写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）； 故答案为：图象有最低点（-2，0）； （3）①当直线y=1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1） ∴与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）； 故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）； ②在直线x=2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3=y4， ∴P、Q两点关于直线x=-2对称， ∴P、Q连线的中点在直线x=-2上， ∴根据中点坐标公式得：x3+x4=-4． 【点睛】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用． 14．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，当时，求的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)函数值与解析式中的系数有关，理由见解析． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点与点关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，，得到两点，关于对称轴直线对称，从而得，当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为． ∴当时，的取值范围为或； （2）解：∵，，抛物线的对称轴为直线， ∴点与点关于直线对称， ∴， ， ∴， ∵点关于直线的对称点为 当时，函数的值，即当时，二次函数的值为； （3）解：函数值与解析式中的系数有关，理由如下： ∵两点，纵坐标相等，且在抛物线上， ∴，关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，即函数值与解析式中的系数有关． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，抛物线经过两点，交轴于点．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，连接，若在下方的抛物线上存在一点，使得，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）由于抛物线过、两点，那么可以得到方程的两根为或，然后利用根与系数即可确定、的值． （2）点是点关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点，要使的值最小，则点就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点的坐标； （3）过P作轴，与交于Q，连接，，求出，可得，设，得到，得出，从而得到关于m的方程，解之可得结果． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， 方程的两根为或， ，， ，， 二次函数解析式是； （2）二次函数解析式是， 抛物线的对称轴为直线，． 点、关于对称轴对称， 点为与对称轴的交点时，的值最小．    设直线的解析式为， 则， 解得：． 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，． 抛物线对称轴上存在点符合题意， 、，． ，， ， 在抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小，周长的最小值为； （3）过P作轴，与交于Q，连接，， ∵，，， ∴， ∴， 设， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的横坐标为或．    【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要考查了利用抛物线与轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴上点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用抛物线与轴的交点坐标确定函数解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $$