第09讲 相似三角形的性质（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（沪科版）（沪科版）

第09讲 相似三角形的性质（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用相似求坐标 典型例题二 重心的有关性质 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 运用相似三角形的性质解决动点问题 典型例题七 运用相似三角形的性质解决最值问题 典型例题八 相似三角形的综合问题 典型例题九 相似三角形的判定与性质综合 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D在上，且．若，则的长是 ． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【典型例题一 利用相似求坐标】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A． （0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【例3】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E是平面直角坐标系的第一象限内的格点． （1）在坐标系画出一个以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． （2）写出符合（1）的所有点E的坐标． 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【典型例题二 重心的有关性质】 【例1】 （2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，中，，点O是的重心，延长与相交于点D，若，则 ． 【例3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，分别是，边上的中线，与相交于点，连接并延长交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 （只填序号）． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知：． (1)尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知，且．若的周长是6，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．12 D．18 【例2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如果两个相似三角形对应高的比为，则这两个三角形的面积的比是 【例3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 1．（2025·云南西双版纳·模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，点D以秒的速度从点C出发沿向A点运动，同时点E以秒的速度从点A出发沿向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点D作于点F，连接，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为菱形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与相似？ 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（    ） A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在ABC中，AD为中线，=，则= ． 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 1．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 2．（2025九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    4．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）数学源于生活，又反过来服务于生活．赵博同学学习了相似三角形测高后，想利用树影测出一棵高大的黄葛树树高，他在某时刻测得直立的标杆高1.5米，影长是2米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC= 12米，CD=1.2米．你能根据他测出的数据求出树高为多少米吗？ 【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ． 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在由25个小正方形组成的正方形网格上有一个，要求在网格中作出两个与相似（不包含全等）的图形，且相似比不同．    1．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1（A1，B1，C1，三点都在格点上）．则这个三角形的面积是 3．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【典型例题六 运用相似三角形的性质解决动点问题 】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【例3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 3．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 4．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题七 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的对角线交于点，作于点，且交于点．在上取点，使得，连接．记的周长分别为，则的最大值是 ．    【例3】 （23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是：，，． (1)在平面直角坐标系中描出各点，画出； (2)在轴上找一点，使的值最小，则的最小值为______，点的坐标是______． (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽宣城·单元测试）如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 【典型例题八 相似三角形的综合问题】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【例2】（2024·甘肃天水·模拟预测）兴趣小组的同学要测量树的高余度，在阳光下，一名同学测得一根长为的竹竿的影长为，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图所示.已知台阶的高度为，测得树在地面的影长为，落在台阶上的影长为，则树高为 . 【例3】（20-21九年级上·河南安阳·阶段练习）（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，点D在的边上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离的长等于 ． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度（精确到米）． 【典型例题九 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·江西·模拟预测）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东潍坊·模拟预测）如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理．根据共边定理和所学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形中，，，则等于 ．       【例3】（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 2．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为 ． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． (1)求的长及的值； (2)直接写出的长及的值； (3)猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 1．（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，，若，，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．18 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，，的面积为1，则的面积为 ． 7．（23-24九年级上·安徽宣城·课后作业）如图，O是的重心，交于点D，若，则的长为 ． 8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知和点，点是的中点，点在轴上，若以为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 . 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 10．（2025·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝9，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为x（0＜x＜3），矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 12．（24-25九年级上·安徽宣城·单元测试）如图，在一个的正方形网格中，的顶点，，在单位正方形顶点上，请你在图中画一个，使得，且点，，都在单位正方形的顶点上． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图（1）中， _________； (2)利用网格、圆规和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图（2），在上找一点M，使． ②如图（3），在上找一点Q，使． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 15．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 相似三角形的性质（1大知识点+9大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 利用相似求坐标 典型例题二 重心的有关性质 典型例题三 利用相似三角形的性质求解 典型例题四 证明三角形的对应线段成比例 典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形 典型例题六 运用相似三角形的性质解决动点问题 典型例题七 运用相似三角形的性质解决最值问题 典型例题八 相似三角形的综合问题 典型例题九 相似三角形的判定与性质综合 知识点01 相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 【即时训练】 1．（2025九年级上·全国·专题练习）如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上高的比为， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D在上，且．若，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握常见的相似模型是解题的关键． 证明得到，代入计算即可得解． 【详解】∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：4． 【即时训练】 3．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，相似比是，若的面积是2，求的面积． 【答案】18 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：，相似比是，， ， ， 的面积是18． 【典型例题一 利用相似求坐标】 【例1】（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】A 【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案． 【详解】解：连接CF，交y轴于点P，则点为位似中心， 矩形OEFG与矩形ABCD，（﹣4，4），（2，1）， 由题意得，CD＝4，DG＝3，,， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴＝，即＝， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2） 故选：A． 【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 【例3】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）如图，点A，B，C，D，E是平面直角坐标系的第一象限内的格点． （1）在坐标系画出一个以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． （2）写出符合（1）的所有点E的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）E（6，2），（4，2），（4，5），（6，5），（4，0），（6，0）． 【详解】试题分析：已知直角三角形的直角边比值是1:2，夹角是90°，所以构造新的直角三角形只需要直角边比值是1:2就满足题意. 试题解析：由题意得，已知三角形直角边的比值是1:2，所以画出新三角形直角边比值是1:2即可，CD是短的直角边，E(6，5),（4,5），CD是长的直角边（6,2），（6,0），（4,0），（4,2）. 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 3．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2) 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点在轴上， ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上若BD⊥AO于点D，OB＝，AB＝2． （1）求OA的长； （2）求点A，B的坐标． 【答案】(1)5;(2) A（﹣5，0），B（﹣1，2）. 【分析】（1）根据勾股定理求出AO即可； （2）由AO，即可得出A的坐标；证△BDO∽△ABO，得出比例式，代入求出OD、BD，即可得出B的坐标． 【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OB＝，AB＝2， 由勾股定理得：OA＝＝5， （2）∵OA＝5， ∴A的坐标是（﹣5，0）， ∵BD⊥OA， ∴∠BDO＝∠ABO＝90°， ∵∠BOD＝∠BOD， ∴△BDO∽△ABO， ∴， ∴ ， 解得：OD＝1，BD＝2， 即B的坐标是（﹣1，2）， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似，线段长度与坐标，掌握勾股定理与相似的判定是解题的关键. 【典型例题二 重心的有关性质】 【例1】 （2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，中，，点O是的重心，延长与相交于点D，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形重心，直角三角形斜边中线的性质，根据是的重心，，则，根据三角形斜边中线的性质即可求出． 【详解】解：∵点O是的重心，延长与相交于点D，若， ∴，是的中线， ∴ 故答案为：． 【例3】（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在正方形网格中，的顶点在格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）    (1)在图1中作的重心（提示：三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心）； (2)在图2中作，且G是格点．（画出一个即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据重心是三角形三边中线的交点，分别作出三边中线即可得到答案； （2）根据题意可知，因此只要保证等于即可，利用正方形的性质即可得解． 【详解】（1）解：如图①，点D即为所求； ； （2）解：如图2，，，，即为所求． ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，三角形重心，熟知矩形的性质，正方形的性质是解题的关键 1．（2025·上海虹口·模拟预测）如图，点G是的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（    ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接并延长交于D，根据点G是的重心，得到，，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于D， ∵点G是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，分别是，边上的中线，与相交于点，连接并延长交于点，连接交于点．以下结论：①；②；③；④．其中一定正确的是 （只填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了三角形的中线、重心、中位线、三角形的面积等内容．熟练利用面积转化为线段之间的关系是解题的关键． 根据重心的相关结论与证明，利用等面积求证即可． 【详解】解： ，分别是，边上的中线， 点是的中点，点是的中点， 交于点，根据三角形三条中线交于一点（重心）， 点是的中点， 是的中位线， ，即， 故①正确； 由上述分析可知点是的重心，根据三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是，即， 故②正确； ， 若，则， 是中线， ，但题干并无此条件， 故③不正确，不符合题意； 由①可知，并且点是的中点，点是的中点， ， ，， 点是的中点， ， 又是的中位线， ，即， 由②可知， ，， ， ， ． 故④正确． 故答案为：①②④． 3．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，如图，是的一条中线，P为的重心，，交，于点E，F，交于点 P． (1)求与的比值． (2)若 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由重心性质可得，再结合，可得结论； （2）证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵P为的重心， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，重心的性质，三角形的中线，平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知：． (1)尺规作图：作出 的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是 ． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得． 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ， ②作的垂直平分线交于点， ③连接、相交于点， ④标出点 ，点 即为所求； （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴． 【典型例题三 利用相似三角形的性质求解】 【例1】（24-25九年级上·广东佛山·期末）已知，且．若的周长是6，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的对应角相等、周长的比等于相似比成为解题的关键． 直接根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】解：∵，且 ∴的周长的周长， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·湖南永州·期中）如果两个相似三角形对应高的比为，则这两个三角形的面积的比是 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高的比为， ∴这两个三角形的面积的比是 故答案为：． 【例3】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点分别是边上的两点，且．，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 1．（2025·云南西双版纳·模拟预测）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是相似三角形面积的比等于相似比的平方．先求出与的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质解答． 【详解】解：∵，，， ∴与的相似比， ∴． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，是直角三角形斜边上的中线，交的延长线于点E． (1)证明： (2)若，求 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，直角三角形性质； （1）先证明，再证明进而证明相似即可； （2）由相似得出，进而求出，设，则，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵是斜边中线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴  ， ∵  ， ∴， ∴， 设，则，   由勾股定理  ， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，点D以秒的速度从点C出发沿向A点运动，同时点E以秒的速度从点A出发沿向B点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点D作于点F，连接，设运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形为菱形？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据含角的直角三角形的性质推出，从而得出四边形为平行四边形，当时得出，即可推出结果； （2）根据的面积为，得出，求出t即可； （3）分当时，当时，分别得出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴当或时，的面积为； （3）解：当时，， ∴， 解得：． 当时，， ∴， 解得：， ∴当或时，以A、D、E为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 【典型例题四 证明三角形的对应线段成比例】 【例1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，△ABC与△DEF形状完全相同，且AB=3.6，BC=6，AC=8，EF=2，则DE的长度为（    ） A．1.2 B．1.8 C．3 D．7.2 【答案】A 【分析】利用△ABC∽△DEF，对应线段成比例即可求出DE的长. 【详解】∵△ABC∽△DEF， ∴=，即= ∴DE=1.2 故选A. 【点睛】此题主要考查相似三角形的对应线段成比例. 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在ABC中，AD为中线，=，则= ． 【答案】 【详解】试题分析：过D作DH∥AC交BE于H，由AD为中线，得到BH=HE，求得CE=2DH，通过△DHF∽△AEF，得到=，求得AE=DH，即可得到结论． 解：过D作DH∥AC交BE于H， ∵AD为中线， ∴BH=HE， ∴CE=2DH， ∵=， ∴， ∵DH∥AE， ∴△DHF∽△AEF， ∴=， ∴AE=DH， ∴AC=DH， ∴=． 考点：平行线分线段成比例；三角形中位线定理． 【例3】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）证明相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k， ．求证 ．（先填空，再证明）证明： 【答案】已知，分别是∠BAC、∠上的角平分线， 【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，对应角相等，可证得和相似，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】已知，分别是∠BAC、∠上的角的平分线，求证： ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴，∠B=∠，∠BAC∠， ∵分别是∠BAC、∠上的角的平分线， ∴∠BAD∠， ∴， ∴， 【点睛】本题实际上是相似三角形的性质的拓展，不但有对应角的平分线等于相似比，对应边上的高，对应中线也都等于相似比． 1．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（    ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】B 【分析】过E作EF⊥CG于F，利用相似三角形列出比例式求出投射在墙上的影子DE长度即可． 【详解】过E作EF⊥CG于F， 设投射在墙上的影子DE长度为x,由题意得：△GFE∽△HAB， ∴AB:FE=AH:(GC−x)， 则240:150=160:(160−x)， 解得：x=60. 故选B. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题突破口是过E作EF⊥CG于F. 2．（2025九年级·山东枣庄·学业考试）如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 4．（24-25九年级上·四川达州·阶段练习）数学源于生活，又反过来服务于生活．赵博同学学习了相似三角形测高后，想利用树影测出一棵高大的黄葛树树高，他在某时刻测得直立的标杆高1.5米，影长是2米，但他去测树影时，发现树影的上半部分落在墙CD上，（如图所示）他测得BC= 12米，CD=1.2米．你能根据他测出的数据求出树高为多少米吗？ 【答案】10.2米． 【分析】连接AD并延长交BC的延长线于E,再求出CE的长，进而求出BE的长，由△ABE∽△DCE，则相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：如图：连接AD并延长交BC的延长线于E ∵某时刻测得直立的标杆高1.5米，影长是2米 ∴ , ∵CD=1.2 ∴CE=1.6 ∴BE=BC+CE=13.6 ∵△ABE∽△DCE ∴,即,解得AB=10.2 ∴树高为10.2米． 【点睛】本题主要利用相似三角形的性质，做出辅助线构造相似三角形以及理解同一时刻树高和影长之比不变是解答本题的关键． 【典型例题五 在网格中画与已知三角形相似的三角形】 【例1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出A、B、C、D中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】的三边长分别为：，三边的比为， A中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； B中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； C中三角形的三边长分别为，三边的比为相似； D中三角形的三边长分别为，三边的比为不相似； 故选择：C． 【点睛】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在正方形网格上，若使，则点P应在 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的条件的相关知识．由图可知一定是钝角，若要，则，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：一定是钝角； ∵， ，， ， ， ， ， 只有点符合这样的要求， 故P点应该在处， 故答案为：． 【例3】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在由25个小正方形组成的正方形网格上有一个，要求在网格中作出两个与相似（不包含全等）的图形，且相似比不同．    【答案】图见解析 【分析】把的边长扩大或缩小倍，画出三角形即可． 【详解】解：如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查作图—相似变换．解题的关键是掌握相似的性质，属于中考常考题型． 1．（24-25九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 2．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在这个网格上画一个与△ABC相似，且面积最大的△A1B1C1（A1，B1，C1，三点都在格点上）．则这个三角形的面积是 【答案】5． 【详解】试题分析：：如图可得出AC=，则AC的对应边A1C1最长的长度为，所以可依次作出A1B1，B1C1．即△A1B1C1，△A1B1C1的面积可用相似比求解． 试题解析：利用勾股定理得出△ABC各边长AB=，BC=2，AC=， 故AC的对应边A1C1最长的长度为， A1C1=5，A1B1=，B1C1=2． ∵， ∴ ∵S△ABC=×1×2=1， ∴△A1B1C1的面积为：5． 考点：相似三角形的判定． 3．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，是格点三角形（各顶点都在网格的格点上），在图中画一个格点，使，且相似比为． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，根据相似比为可得，，，据此可得． 【详解】解：如图，即为所求． 4．（2025·江苏无锡·模拟预测）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，　 　． (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图②，在上找一点P，使． ②如图③，在上找一点P，使． 【答案】(1) (2)图见解析 【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论； （2）①根据勾股定理得的长为5，利用格点，再根据相似三角形的判定及性质即可找到点P； ②作点A的对称点，连接与的交点即为要找的点P，使． 【详解】（1）解：图1中， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：①在网格图②中，， 如图2所示，连接，交于点P， ∵， ∴， 解得：， ∴点P即为所要找的点； ②如图3所示，作点A的对称点， 连接，交于点P， ∵， ∴， ∴点P即为所要找的点． 【点睛】本题考查了作图—相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用格点构造相似三角形． 【典型例题六 运用相似三角形的性质解决动点问题 】 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图所示，在中，，，于，是线段上一个动点，以为直角顶点向下作等腰，连结，，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当 时，DE有最小值，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】连接AE ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴E点的运动轨迹为射线AE ∴当DE最短时， 即当 时，DE有最小值 ∵在 中， ∴ ∵ ∴ 是等腰直角三角形 ∴ ∴DE的最小值是2 故答案为：B．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质以线段的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，同时点从点出发，以的速度向点移动．设运动时间为，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的和性质，理解运动中线段的数量关系，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得，，，由，得到，由此即可求解． 【详解】解：点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，设运动时间为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【例3】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在Rt中，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动时间为．当与相似时，的值是多少？    【答案】的值是或 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【详解】解：当△PBQ∽△ABC时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当△PBQ∽△CBA时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， ∴的值是或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 3．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，，点P从点A沿向C以的速度移动，到C即停，点Q从点C沿向B以的速度移动，到B就停 (1)若P、Q同时出发，经过几秒钟； (2)若点Q从C点出发后点P从点A出发，再经过几秒与相似． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，一元二次方程的应用，掌握相似三角形即可． （1）首先设经过时间为秒钟，根据题意列出关于t的一元二次方程，解出t值即可； （2）先设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形，一种是当时分析求值，一种是当时分析解决即可． 【详解】（1）解：设经过秒钟， 由题意得，， 由题意得，， 整理得，， 解得，或， 则同时出发，经过秒或秒钟； （2）解：设点从点出发后，再经过秒与相似，有两种情形， 由题意得，，则， ①当时，， 即， 解得，， ②当时，， 即， 解得，， 综上所述，点从点出发后点从点出发，再经过秒或秒与相似． 4．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）解：的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 【典型例题七 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，由此得解． 【详解】解：， ， ， 在中，，， ， ， ， 当时，的最大值为． 故选：C． 【例2】（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，菱形的对角线交于点，作于点，且交于点．在上取点，使得，连接．记的周长分别为，则的最大值是 ．    【答案】 【分析】先证明，设，，则，勾股定理可得，根据相似三角形的性质得出，，求得，进而表示出，计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵,， ∴垂直平分， ∴ ∴， 又，则 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 设，，则 ∴ ∴， 而 ∴，， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，配方法的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【例3】 （23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是：，，． (1)在平面直角坐标系中描出各点，画出； (2)在轴上找一点，使的值最小，则的最小值为______，点的坐标是______． (3)点在轴上，且的面积等于的面积，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)    (3)或 【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点，，，依次连接各点即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点为点，连接，直线与轴的交点即为点，根据勾股定理即可求得的长度；可证得，则； （3）根据即可求得答案． 【详解】（1） （2）作点关于轴的对称点，连接，线段与轴的交点为点，连接，直线与轴的交点即为点． 根据题意可知，则 ． ． 所以，的最小值为． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴点的坐标是． 故答案为：    （3）根据题意可知，则 解得 ． 所以，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂直平分线的性质、相似三角形的判定及性质、解直角三角形，能根据题意绘制辅助线是解题的关键． 1．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，，以为圆心，3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形三边关系的应用，利用相似三角形的性质得到是解题的关键．如图，在上截取，使得，连接．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：在上截取，使得，连接，，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ，，， ， ． 则的最小值为． 故选：． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，正方形的边长为．边上有一点，以为斜边，在正方形内部作一等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 连接，，，交于，由四边形是正方形，得，，，，，证明，得，点在上，从而根据垂线段最短可得解． 【详解】解：如图，连接，，，交于， ∵四边形是正方形， ∴，，，，， ∴，， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 当与重合时，，此时最小，最小值， 当与重合时，此时最大，最大值， 故答案为：，． 3．（23-24九年级上·安徽宣城·单元测试）如图，在一个矩形空地上修建一个矩形花坛，要求点在上，点在上，点在对角线上．若，，设的长为，矩形的面积为． (1)求S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值． 【答案】(1) (2)当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 【分析】本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题，相似三角形的判定和性质． （1）根据实际问题：由的长为米，利用相似关系即可转化出边长，从而建立函数解析式，要注意自变量的取值范围． （2）利用（1）的结论，配方即可求解． 【详解】（1） 解：四边形是矩形， ， ， ， ． ，， ， ， ； （2） 解：， 又， 有最大值． 当时，的最大值为6． 答：当的长为3米时，矩形的面积最大；最大面积为． 4．（2025·河南驻马店·模拟预测）在学习三角形相似知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形中因动点变化引起的线段之间以及角之间的关系进行了进一步探究． 【问题发现】（1）如图1，在中，，，为的中点，，则______． 【尝试探究】（2）如图2，在中，，，为上一点，，为上一点，连接，作，交于点．请探究的值，并说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，请继续思考，直接写出面积的最小值为______，最大值为______． 【答案】（1）1 （2），理由见解析 （3）， 【分析】（1）过点P分别作，垂足分别为，证明是等腰直角直角三角三角形，得到，再根据为的中点，得到，进而推出，易证四边形是矩形，得到，再证明，推出，即可得到结果； （2）过点P分别作，垂足分别为，同理（1）得四边形是矩形，则，证明，推出，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出，，即可解答； （3）由（2）知，即，求出，连接，当两点重合，则时，有最小值，即有最小值，当两点重合时，有最大值，则有最大值，即有最大值，利用直角三角形的性质结合勾股定理求出的最大值与最小值即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点P分别作，垂足分别为， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角直角三角三角形， 同理是等腰直角直角三角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点P分别作，垂足分别为， 同理（1）得四边形是矩形，则 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，即， ∵， ∴， 连接， ∴当两点重合，则时，有最小值，即有最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当两点重合时，有最大值，则有最大值，即有最大值， 此时，， ∴的最大值为； ∴面积的最小值为，最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、相似三角形的判定、勾股定理． 【典型例题八 相似三角形的综合问题】 【例1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 【例2】（2024·甘肃天水·模拟预测）兴趣小组的同学要测量树的高余度，在阳光下，一名同学测得一根长为的竹竿的影长为，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图所示.已知台阶的高度为，测得树在地面的影长为，落在台阶上的影长为，则树高为 . 【答案】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，本题中：树在第一级台阶所在的平面的影子与树在第一级台阶上面的部分，以及经过树顶的太阳光线，所成三角形与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出第一级台阶以上部分的树高，再加上台阶高就是树高． 【详解】设树高为，根据同一时刻物高与影长成正比，得，解得，故树高为 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的应用. 【例3】（20-21九年级上·河南安阳·阶段练习）（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 【答案】（1），45°；（2），30°；（3）2 【分析】（1）由题意得△ABC和△ADE为等腰直角三角形，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，进而得出∠BFC=∠BAC=45°； （2）由直角三角形的性质得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，则，证△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，证出∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边在AD右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠DAM=45°，，证△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，则CM=3，证出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，则AD= DM=2． 【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 1．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 2．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，点D在的边上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离的长等于 ． 【答案】4 【分析】连接并延长交于G，连接并延长交于H，根据三角形的重心的概念可得，，，，即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】如图，连接并延长交于G，连接并延长交于H， ∵点E、F分别是和的重心， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为4 【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF． （1）求证：△AFE∽△ADC． （2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD． 【分析】（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证； （2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果． 【详解】解：（1）∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD=∠DAC， ∵∠EFD=∠BDF， ∴180°-∠EFD=180°-∠BDF， ∴∠AFE=∠ADC， 又∵∠BAD=∠DAC， ∴△AFE∽△ADC； （2）由（1）得，△AFE∽△ADC， ∴∠AEF=∠C， ∵∠AFE=∠C， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EB=2FD． 【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定．第（1）问能根据角的等量代换得出角相等及熟练掌握相似三角形的判定是解题关键；第（2）问根据相似得出比例式及根据比例式得出线段的关系是解的关键． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）如图，学校旗杆附近有一斜坡，小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度（精确到米）． 【答案】旗杆高约20米． 【分析】延长AD交BC于F点，则BF即为AB的影长．然后根据物长和影长的比值计算即可． 【详解】延长，交于点，过作于 则米，米 设米 由知 得 答：旗杆高约米． 【点睛】本题查了解直角三角形的应用．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长． 【典型例题九 相似三角形的判定与性质综合】 【例1】（2025·江西·模拟预测）如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 【例2】（2025·山东潍坊·模拟预测）如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理．根据共边定理和所学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形中，，，则等于 ．       【答案】3 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，连接交于O，可证明得到，再有共边定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵， ∴， ∴ 由共边定理可得， 故答案为：． 【例3】（23-24九年级上·辽宁锦州·期末）如图，在中，，延长到点，使，延长到点，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，得出，即可证明； （2）由（1）知，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ． （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∴， ． 1．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，关键是判定，推出．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，由三角形内角和定理推出，得到，判定，推出，即可求出的长． 【详解】解：，为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， （舍去负值）． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·期中）如图，在菱形中，，，于点E，交于点F，若P是菱形边上的一动点，当的面积是时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】先根据菱形，，证出是等边三角形，再根据，求出长 ，从而把到的距离为h算出来， 再根据高的大小观察菱形四边位置即可得出答案． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形, ，， ∴， 是等边三角形， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， 设到的距离为h， ∵的面积是， ∴， ∴， Р点有3个应置， 当点P为中点时，， 当点P与点C重合时，， 当点P与点B重合时，， 是等边三角形， ， ， 综上所述，，，． 故答案是：，，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，利用相似三角形的性质求出相关线段是解题关键． 3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图2所示，求此时液面AB的宽度． 【答案】液面的宽度为 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质． 如图，作于，则，由题意知，，，则，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，作于，则， 由题意知，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 答：液面的宽度为． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形．顶点，，，…，在边上，顶点，，，…，在边上． (1)求的长及的值； (2)直接写出的长及的值； (3)猜想的值，并直接写出的长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）先证明，设正方形边长为x，求出，即可求出； （2）同（1）方法证明即可； （3）找出规律作答即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴， ∴， ∴， 设正方形边长为x，则 即 解得：， ∴， ∴； （2）解：同（1）可知， 设正方形边长为y，则， 即， 解得， ∴ ∴； （3）解：， …… 1．（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如果两个相似三角形的面积的比是，那么它们的对应中线的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质， 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出它们的相似比，对应中线的比等于相似比，由此得出答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积的比是， ∴它们的相似比是． ∴它们的对应中线的比是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期中）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：在中， ，，， A、三边长分别为，则，与相似，故本选项符合题意； B、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； C、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； D、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意； 故选：A 3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在中，，若，，则为（    ） A．6 B．9 C．27 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，得，即，再证明，故，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， 与分别以为底，它们的高相等 则， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C 4．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 5．（2025·山东泰安·模拟预测）如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知，，的面积为1，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方成为解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，， ∴相似比为， ∴，即， 解得：． 故答案为9． 7．（23-24九年级上·安徽宣城·课后作业）如图，O是的重心，交于点D，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了重心的定义和性质，平行线分线段成比例，根据重心的定义和性质可知，，再根据平行线的性质的，即可得出答案. 【详解】如答图，连结并延长交于点E． ∵O是的重心， ∴是边上的中线，， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：2． 8．（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，平面直角坐标系中，已知和点，点是的中点，点在轴上，若以为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 . 【答案】或 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵和点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，设，由题意可知点在点的左侧， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴有和两种情况， 当时，则，即，解得， ∴； 当时，则，即，解得， ∴； 综上可知点坐标为或. 故答案为或. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 10．（2025·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝9，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为x（0＜x＜3），矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】y＝﹣3x2+9x（0＜x＜3）． 【分析】根据矩形性质得：EH∥BC，从而得△AEH∽△ABC，利用相似三角形对应边的比和对应高的比相等表示EH的长，利用矩形面积公式得y与x的函数解析式． 【详解】解：∵四边形EFGH是矩形， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴ ∵EF＝DM＝x，AD＝3， ∴AM＝3﹣x， ∴ ∴EH＝3（3﹣x）＝9﹣3x， ∴y＝EH•EF＝x（9﹣3x）＝﹣3x2+9x（0＜x＜3）． 故答案为y＝﹣3x2+9x（0＜x＜3）． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， 答：的长为． 12．（24-25九年级上·安徽宣城·单元测试）如图，在一个的正方形网格中，的顶点，，在单位正方形顶点上，请你在图中画一个，使得，且点，，都在单位正方形的顶点上． 【答案】见解析 【分析】根据题意可知，，，令，确定点，，可知相似比为，即，，确定点，即可得出． 【详解】如图所示.为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了画相似图形，理解相似比等于对应边的比是解题的关键． 13．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图（1）中， _________； (2)利用网格、圆规和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图（2），在上找一点M，使． ②如图（3），在上找一点Q，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是相似形的综合题，考查作图﹣应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图①中，利用平行线的性质证明，利用相似三角形性质求解即可． （2）①如图②中，取格点E，F，连接交于点M，点M即为所求作． ②如图③中，取格点T，连接交于点Q，连接，点Q即为所求作． 【详解】（1）解：如图①中，∵， ， ∴； 故答案为：； （2）解：①如图（2）中，点M即为所求作． ②如图③中，点Q即为所求作． 14．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 15．（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践 对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤，根据以下素材，探索完成任务． 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 矩形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线交点 顶点坐标为， 面 几何中心 圆心 素材2 建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等. 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积， 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标． 4．代入公式计算：把，代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标，其中，． 素材3 负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如矩形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为，其中． 任务一 求阴影部分图形的重心坐标． 任务二 求阴影部分图形的重心坐标． 任务三 求阴影部分图形的重心坐标（结果保留）． 【答案】任务一：；任务二：；任务三： 【分析】本题考查了重心的应用. 任务一：将图形分为：矩形和矩形，根据素材二计算即可； 任务二：将图形分为：直角三角形、矩形重和直角三角形，根据素材二计算即可； 任务三：将图形分为：整体和挖空部分，由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积，根据素材三计算即可； 【详解】任务一：如图：矩形的重心，面积，矩形的重心，面积， 重心坐标为 任务二：如图：①直角三角形，，，重心，面积， ②矩形重心，面积， ③直角三角形，重心，面积， 重心坐标为 任务三：由任务一可知：整体重心坐标为，整体面积， 挖空部分重心坐标为，整体面积， 重心坐标为 学科网（北京）股份有限公司 $$