第21章 21.3 二次函数与一元二次方程讲义2023-2024学年 沪科版数学九年级上册

二次函数与一元二次方程 本节课知识框架： 知识点1：二次函数与一元二次方程之间的关系 知识点2：二次函数图象法求解一元二次方程 知识点3：二次函数与一元二次不等式之间的关系 本节课重难点： 重点：掌握二次函数与一元二次方程之间的关系、二次函数与一元二次不等式之间的关系 难点：数形结合思想的应用 本节课学习目标： 1、 通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系、二次函数与一元二次不等式之间的关系 2、 会用二次函数图象求一元二次方程的近似解 3、 通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用 知识点1：二次函数与一元二次方程之间的关系 知识点讲解 1. 二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可知：如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点，交点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数值是0，因此x＝x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. 2. 二次函数与一元二次方程的联系与区别 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 与二次函数y＝ax2＋bx＋c之间的内在联系列表如下： b2－4ac 的符号 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 有两个不等实根 x1＝ x2＝ 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 a>0 a<0 抛物线与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) 没有交点 例题1：已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0． (1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图21.3-1 所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0 的解． 牛刀小试： 第一题：已知抛物线y＝x2－6x＋m与x轴有且只有一个交点，则m＝________. 第二题：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为____________. 第三题：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴相交于点A(－3，0)，B(1，0). 下列结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3b＋2c＝0；④若点P(m－2，y1)，Q(m，y2)在抛物线上，且y1＜y2，则m≤－1. 其中正确的结论有(　　) A. 1个　 　B. 2个　 　C. 3个　 　D. 4个 知识点2：二次函数图象法求解一元二次方程 知识点讲解 1. 利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的解 (1)作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，确定图象与x轴的交点的横坐标； (2)函数图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的解； (3)当函数图象与x轴的交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程的解. 2. 利用二次函数y＝ax2 的图象与直线y＝－bx－c 的交点求方程ax2＋bx＋c＝0的解 (1)将一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 化为ax2＝－bx－c 的形式； (2)在平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2 和直线y＝－bx－c，并确定抛物线与直线的交点的横坐标； (3)交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的解. 例题2：利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似解(结果精确到0.1). 解题通法 用图象法求一元二次方程的近似解： 用图象法求一元二次方程的近似解时，一般先作出相应的二次函数的图象，确定其图象与x轴交点的横坐标的大致范围，即一元二次方程的解的大致范围； 然后利用取平均数的方法缩小解所在的范围，通过反复计算求出满足精确度要求的近似解. 牛刀小试： 第一题：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－2，0)，(3，0). 下列结论：① ＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点，则y2＜y1＜y3；④方程cx2＋bx＋a＝0的解为x1＝ ，x2＝－ . 其中正确的个数是(　　) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二题：根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解的范围是(　　) A. x＞3. 26 B. 3. 23＜x＜3. 24 C. 3. 24＜x＜3. 25 D. 3. 25＜x＜3. 26 第三题：已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4). 则下列结论正确的是(　　) A. x3＜x1＜x2＜x4 B. x1＜x3＜x4＜x2 C. x1＜x2＜x3＜x4 D. x3＜x4＜x1＜x2 知识点3：二次函数与一元二次不等式之间的关系 知识点讲解 求不等式ax2＋bx＋c>0(a ≠ 0)的解集， 就是求x为何值时， 二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值y>0； 求不等式ax2＋bx＋c<0(a ≠ 0)的解集，就是求x为何值时，二次函数y＝ax2＋bx＋c 的函数值y<0. 列表如下：(以a>0 为例) b2－4ac 的符号 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点 个数 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 两不等实数根 x1＝ x2＝ 没有实数根 一元二次不等式的解集 ax2＋bx＋c ＞0(a>0) x<x1 或x>x2 x ≠ － 全体实数 ax2＋bx＋c<0(a>0) x1<x<x 无解 无解 例题3：二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图21.3-3 所示，根据图象解答下列问题： (1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为_____________，不等式ax2＋bx＋c>0 的解集为________； (2)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______； (3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－t＝0 在1<x<4 的范围内有实数根，求t的取值范围． 特别提醒 根据二次函数与一元二次不等式之间的关系，结合题目中的图象即可求解. 牛刀小试： 第一题：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0). (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为_____________________； (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为_________________； (3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为__________________. 第二题：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象经过点(0，2)，其对称轴为直线x＝－1. 下列结论：①3a＋c＞0；②若点(－4，y1)，(3，y2)均在二次函数图象上，则y1＞y2；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个相等的实数根；④满足ax2＋bx＋c＞2的x的取值范围为－2＜x＜0. 其中正确结论的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 课后作业 第一题：若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是____________. 第二题：已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4). (1)求m的值； (2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由. 第三题：已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0. (1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解. 第四题： 可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图象可知，当x＝0时，y<0，当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间. (1) 参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间； (2) 若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间(不含0和1)，则c的取值范围为____________. 第五题： 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C. 已知点A的坐标是(－1，0)，抛物线的对称轴是直线x＝1. (1)点B的坐标为________； (3) 在对称轴上找一点P，使PA＋PC的值最小. 求点P的坐标和PA＋PC的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q. 依题意补全图形，当MQ＋ CQ的值最大时，求点M的坐标. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$