精品解析：江苏省镇江市实验高级中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

镇江市实验高中2024~2025学年第二学期5月考试 高二 数学 试卷 一、单选题 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的导数计算切线斜率，再应用点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，所以，且， 所以在点处的切线方程为，即得. 故选：A. 2. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用插空法结合排列组合计数方法求解. 【详解】这2个新节目插入节目单中， 若2个新节目相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中， 选1个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变， 此时有种插法， 若2个新节目不相邻，则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中， 选2个位置安排2个新节目，且两个新节目顺序可变， 此时有种插法， 所以共有种插法， 故选:B. 3. 的展开式的第二项的二项式系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出展开式的第二项的二项式系数可得答案. 【详解】的展开式的第二项的二项式系数为. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D. 已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】A 【解析】 【分析】根据标准差定义可判断A项；通过取反例可排除B项；利用相关系数的概念易排除C项；利用独立性检验的规定，可判断D结论不成立. 【详解】对于A，根据标准差定义，一组数据的标准差时，显然有故A正确； 对于B，两组数据的标准差相等，这两组数据的平均数未必相等，如都为1和都为2的两组数据，它们的标准差均为0，但它们的平均数分别为1和，故B错误； 对于C，两个变量的相关系数越接近于0，两个变量的相关性越弱，故C错误； 对于D，，根据独立性检验原理，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量有关系，故D错误. 故选：A 5. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件先求出，再根据乘法公式求出，从而可求. 【详解】因为，故，而，故， 故，同理， 故， 故选：B. 6. 甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立重复试验概率计算公式即可求解. 【详解】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜， 记“甲以“”获胜”， 因为各局比赛的结果相互独立， 所以． 故选：B 7. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体的结构特征及，应用向量数量积的运算律求值. 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 8. 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量减法运算可得，再根据题设及空间向量的共面定理即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 当点共面时，可得，解得. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于事件A与事件B，如果，那么 B. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则事件A与事件B对立 D. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 【答案】BD 【解析】 【分析】根据事件间关系得出概率关系判断A，根据共面向量定义判断B，应用对立事件的定义判断C，应用频率和概率关系判断D. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，平行于同一个平面的向量叫做共面向量正确； 对于C，基本事件有{取出的两个球均为红球}、{取出的两个球颜色不同}、{取出的两个球均为白球}，所以事件A与事件B不对立，故C错误； 对于D，由频率和概率的关系可知，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确. 故选：BD. 10. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可结合函数的图象求解. 【详解】令，得， 令，则， 故当且时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递增， 且，当时，，当时，， 作出的大致图象如下， 恰有1个零点，即方程只有一个解， 则与只有一个交点，观察图象可知，或， 结合选项可知，选项A和选项D符合题意. 故选：AD 11. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据及正态分布的性质即可判断选项A；当时，根据二项分布的方差公式求出的值，再利用正态分布的方差即可判断选项B；根据正态分布的方差求出的值，结合二项分布的方差公式即可判断选项C；根据二项分布的概率分布列公式，可得 .构造函数，利用导数研究函数单调性即可判断选项D. 【详解】因为，=6，所以由正态分布的性质可知，故选项A正确； 当时，即，即，解得或，当时，，当时，，故选项B错误； 当时，即，因为，所以，所以，故选项C正确； 因为，所以. 设函数， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 最大值为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 的展开式中所有项的系数和为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】令，计算即可求解. 【详解】令得， 所以的展开式中所有项的系数和为. 故答案为： 13. 已知变量x，y具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将样本点代入回归直线内的方程，求得m的值，即可得到答案. 【详解】由回归直线过点，可得，解得. 故答案为：. 14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值. 【详解】依题意，得解得， 故，所以． 当最大时， 即 即整理得 解得，而，因此． 四、解答题 15. 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明：因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 【解析】 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【详解】略 16. 某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. （2）本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】（1） （2） ，元 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加，可得出的值，根据正态分布可得出的值，利用原则可求出的值； （2）由题意可知，随机变量的所有可能取值分别为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，求出的值，由此可得出所准备的话费充值卡的总金额为元. 【小问1详解】 依题意，， 所以，则，所以，， 故 . 【小问2详解】 参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元. 17. 设. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理得出通项，进而得出，根据已知列出方程求出的值，代入即可得出答案； （2）令，即可求解； （3）两边同时求导整理，进而令，即可求解. 【小问1详解】 由二项式定理可得展开式的通项为， 所以， 所以. 整理可得，解得或（舍去负值）， 所以. 【小问2详解】 令，， 令，可得， 所以. 【小问3详解】 对两边同时求导可得： ， 整理可得.， 令，可得. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 【答案】（1）； （2）（i）证明：设“第天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，． 由全概率公式，得． 因此． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （ii）证明：由（i）可得． 当为大于的奇数时，． 当为正偶数时，． 因此当时，． 【解析】 【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得； （2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明； （ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论． 【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”， 则“第天不选择米饭套餐”． 根据题意，，，． 由全概率公式，得． （2）（i）略 （ii）略 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求曲线的对称中心； （3）若当时，恒有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可求； （2）先确定定义域关于对称，再由可得； （3）构造函数令，然后将问题转化为在上恒成立，利用导数分析其单调性，分和两种情况讨论； 【小问1详解】 切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为， 其定义域关于对称， 则， 所以曲线的对称中心是. 【小问3详解】 令在上恒成立， 注意到 在上为增函数， . ①当时，即在上为增函数 满足题意； ②当时，时，， 存在，使得时， 在上为减函数， ，与题意矛盾， 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 镇江市实验高中2024~2025学年第二学期5月考试 高二 数学 试卷 一、单选题 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某班联欢会原定3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式的第二项的二项式系数为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据的标准差为0，则这组数据中的数均相等. B. 两组数据的标准差相等，则这两组数据的平均数相等. C. 若两个变量的相关系数越接近于0，则这两个变量的相关性越强. D. 已知变量，由它们的样本数据计算得到的观测值，则在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为变量没有关系. 的部分临界值如表： 0.1 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 5. 已知随机事件A，B，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 已知三点不共线，点在平面外，点满足，则当点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 对于事件A与事件B，如果，那么 B. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出的两个球均为红球}，{取出的两个球颜色不同}，则事件A与事件B对立 D. 随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率 10. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 11. 若，随机变量，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 当p在变化时，的最大值为 三、填空题 12. 的展开式中所有项的系数和为__________． 13. 已知变量x，y具有线性相关关系，且回归直线方程为，若回归直线过点，则______. 14. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，________． 四、解答题 15. 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 16. 某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. （1）若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. （2）本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 17. 设. （1）若，求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． （1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为． （i）证明：为等比数列； （ii）证明：当时，． 19. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求曲线的对称中心； （3）若当时，恒有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $