精品解析：山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

山大附中2024～2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨斗玉 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斜二测画法的直观图面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图和原图的面积关系可得结果. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：A. 2. 如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 点必在平面内 B. 点必在平面内 C. 点必在直线上 D. 直线与直线为异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 3. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解. 【详解】由题可知，，，四点共面. 在三棱柱中，∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴. ∵为的中点，∴为的中点. 延长至点使，延长至点使，延长至点使，连接，，，得到三棱柱.延长，. 在三棱柱中，∵，分别为，的中点，∴，相交于点，∴多面体为三棱台. 设三棱柱的高为，上下底面面积均为，体积为，则. ∵，分别为，的中点，∴. 根据棱台的体积公式可知，，∴. 故选：D 4. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线，线面，面面的位置关系，以及垂直，平行的判断和性质判断选项即可. 【详解】对于A，若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 对于B，若，，则与可能平行，也可能相交，故B错误； 对于C，若，，则与可能平行，也可能相交或异面，故C错误； 对于D，若，则由线面平行的性质定理可知，必有，使得， 又，则，因为，所以，故D正确. 故选：D. 5. 已知下面给出的三个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形的个数为（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】通过作辅助线构造平面，由线面垂直的判定以及定义逐一证明即可. 【详解】对于①：如下图所示，点为所在棱的中点， 由中位线定理及等腰三角形的性质可得， 由平面，而平面，故， 而平面，，故平面， 因平面，故，故①正确； 对于②：如下图所示，点为所在棱的中点，同理可证，故②正确； 对于③：如下图所示， 由中位线定理及等腰三角形的性质得， 由平面，平面，得， 而平面,，故平面， 而平面，则，故③正确； 故选：D. 6. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 7. 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 8. 已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以 . 故选：B. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题的有（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D. 球体是旋转体的一种类型 【答案】AD 【解析】 【分析】根据常见空间几何体的特征可判断. 【详解】选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误； 选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误； 选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确， 故选：AD 10. 以下说法正确的是（    ） A. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C. 若两个平面平行，则它们没有公共点 D. 若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线面平行、垂直的意义判断AB；利用两个平面的平行位置关系判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，过直线外一点可作一条直线与这条直线平行，经过所作直线有无数个平面与该直线平行，A正确； 对于B，过直线外一点，有且只有一个平面与该直线垂直，B错误； 对于C，两个平面平行，则它们没有公共点，C正确； 对于D，正四面体的相对棱垂直，而任意棱都不垂直于对棱所在的平面，D错误. 故选：AC. 11. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑中，底面，，作于，于，若，，则（ ） A. 点到平面的距离恒为定值 B. 鳖臑的外接球的表面积为定值 C. 三棱锥也是一个鳖臑 D. 当三棱锥的体积最大时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据几何体结构特征逐项分析命题的正误，选出正确选项. 【详解】对于选项A，由题，平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面，因为平面， 所以，又因为， 因为平面，平面，， 所以平面，易得，，， 于是点到平面的距离，故A选项错误； 对于选项B，由上得平面，平面， 所以，取的中点，则可得， 故的外接球的球心即为，半径，于是外接球的表面积，故选项B正确； 对于选项C，由上得平面，平面，因此的四个面均为直角三角形，故C选项正确； 对于选项D，因为的高为定值，所以体积最大当且仅当的面积最大， 因为，故，取等时， 由于与相似，故，即此时，故选项D正确. 故选：BCD． 【点睛】由垂直关系可得三棱锥的外接球球心位置为线段的中点，即可得外接球半径； 三棱锥高为定值，体积最大时即底面积最大时，可利用基本不等式求取最值时线段的关系. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三棱锥S­-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-­ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则，则到面距离的最大值为，故答案为. 13. 如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】将异面直线与所成的角转化成或其补角，再利用余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，连接. 因为M，N分别是的中点， 所以且，且， 从而（或其补角）即为与所成的角． 又异面直线与所成的角为，所以或， 当时，由余弦定理可知 . 当时，由余弦定理可知 . 故答案为：或. 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】四面体内切球半径（即蛋黄半径最大值），需利用等体积法，先求出四面体的体积和表面积，再建立等式求解半径； 【详解】如图所示,对折叠之前的平面图形中各点进行标记,同时将折叠后的几何体置于长方体中,其中三点重合. 设则解的 因为四面体的体积为长方体， 四面体的表面积. 当蛋黄与四面体各个面相切时，蛋黄的半径最大，设此时蛋黄（近似于球）的半径为， 则， 所以. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. （1）若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； （2）为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥和圆柱的体积公式计算容积. （2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求容器的表面积. 【小问1详解】 圆锥的底面半径为20cm，高为20cm，所以圆锥的容积为： （）， 圆柱的底面半径为20cm，高为50cm，所以圆柱的容积为： （）， 所以该容器的容积为： （）. 【小问2详解】 圆锥的侧面积为：（）， 圆柱的侧面积为：， 圆柱的底面积为：（）. 所以需要涂防水涂料的面积为：（）. 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 17. 如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，在上取点，使，可得为异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以； 【小问2详解】 连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ， 于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. 18. 已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 （1）求证: 平面 （2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由 垂直平面得出 ，结合底面是矩形得 ，进而推出 垂直平面 ，再利用 是 中点等条件得到垂直平面 . （2）延长 得交点 ，作 .由 垂直平面 及 推出 垂直平面 ，从而得到 垂直平面 ， 确定平面与平面 所成锐二面角的平面角为 ，最后根据已知边长求出 即二面角正弦值. 【小问1详解】 由平面，平面， 所以， 又由底面是矩形，则， 又因平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又由为的中点，所以， 又因为平面，所以平面； 【小问2详解】 延长相交于点，再过点作的垂线，垂足为，连接， 因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又因平面，即， 又由于，所以平面与平面所成锐二面角的平面角就是， 因为，分别是的中点， 所以，即， 所以， 平面与平面所成锐二面角的正弦值为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； （3）在（2）前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的定义，表示，再相加，即可求解； （2）先根据题设中垂直关系结合点C处的离散曲率求得、，然后过点A作于点，利用线面垂直的判定定理得平面，即可求解点面距离； （3）过点作交于，连结，得为直线与平面所成的角，设，表示出，再利用余弦定理求，再由余弦值，转化为正切值，得到关于的等式求解即可得答案. 【小问1详解】 根据离散曲率的定义得， ， ， 又因为 ， 所以． 【小问2详解】 ∵平面平面，∴， 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴， ∵，即 ∴，∴，过点A作于点， 由平面平面，得， 又平面，则平面， 因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，， ∴点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于，连结， ∵平面，∴平面， ∴为直线与平面所成的角， 依题意可得，， ， ，， 设，则， 在中， ， 又，所以， 则， ∴，解得：或（舍） 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中2024～2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨斗玉 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 斜二测画法的直观图面积为，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. 点必在平面内 B. 点必在平面内 C. 点必在直线上 D. 直线与直线为异面直线 3. 在三棱柱中，为的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知下面给出的三个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点，则满足直线的图形的个数为（    ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 7. 已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（ ） A B. C. D. 8. 已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为真命题有（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D. 球体是旋转体的一种类型 10. 以下说法正确的是（    ） A 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B. 过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C. 若两个平面平行，则它们没有公共点 D. 若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 11. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑中，底面，，作于，于，若，，则（ ） A. 点到平面的距离恒为定值 B. 鳖臑的外接球的表面积为定值 C. 三棱锥也是一个鳖臑 D. 当三棱锥的体积最大时， 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三棱锥S­-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-­ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC距离的最大值为________． 13. 如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为_______． 14. 农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. （1）若容器壁厚度忽略不计，求该容器的容积； （2）为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 16. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 17. 如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. （1）证明：； （2）求直线和所成角的余弦值. 18. 已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 （1）求证: 平面 （2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； （3）在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $