山西省山西大学附属中学校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

山大附中2024~2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨斗玉 一，选择题：1-8为单选共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.911为多选，共3小题，每小题6分。 题号 2 3 4 5 6 8 10 答案 A D D D D B A B AD AC 题号 11 答案 BCD 二、填空题（本题共3小题，每小题5分，满分15分) 12.4v5 14 3 13.45或414. 4 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题13分) 【详解】(1)圆锥的底面半径为20cm,高为20cm,所以圆锥的容积为： -5×20×20-80 3 (cm3), 2分 圆柱的底面半径为20m,高为50cm,所以圆柱的容积为： V2=T×202×50=20000π。（cm3),4分 所以该容器的容积为： V=V+V,= 8000π +20000π= 68000元 （Cm3).6分 3 3 (2)圆锥的侧面积为：S=π×20×20W2=400√2π(cm2), 8分 圆柱的侧面积为：S2=2元×20×50=2000元，10分 圆柱的底面积为：S,=π×202=400π(cm2)… .12分 所以需要涂防水涂料的面积为：S=S,+S,+S,=2400+400V2)π（cm)13分 16.(本小题15分) 【详解】(1)如图：连接BD,设AC∩BD=O,连接OM, :在正方体ABCD-A,BC,D,中，四边形ABCD是正方形，O是BD中点， M是DD的中点，∴OM∥BD, :BD丈平面AMC,OMc平面AMC, 六.BD∥平面AMC7分 (2)如图：连接DN,NB, N为CC的中点，M为DD的中点， .CN=DM,又：CNIIDM, :四边形CND,M为平行四边形， 8分 D NICM 9分 又：MCc平面AMC, DN在平面AMC,10分 DN∥平面AMC12分 由(1)知BD,∥平面AMC,13分 BD1∩DN=D1,14分 BD,C平面BWD,D,Nc平面BND, .平面AMC∥平面BWD15分 17.(本小题15分) 【详解】(1)连接PM,AC,由菱形ABCD内角LABC=60°， 得ABC是正三角形， 由M为AB的中点，得CW⊥AB,由PB=PA=3,得PM⊥AB, 而PM∩CM=M,PM,CMC平面PCM,则AB⊥平面PCM, B 又PCc平面PCM, 所以AB⊥PC7分 (2)连接BDnCM=E,则E为正ABC的重心，ME=CM=BCsn60= 3 3 在PM上取点F,使AMF-PM=PB-Bn-2,则 3 MF ME 1 PM CM 3' 8分 EF IIPC.EF=1PC=2 9分 3 于是LBEF是直线BD和PC所成角或其补角，11分 在△8GP中，BE:2F:VBM+F 3 由余弦定理得 coS∠BEF= BE2+EF2-BF2 25+25- 3 414分 2BE·EF 252W3 24 2× 33 7 所以直线BD和PC所成角的余弦值为 24 15分 18.(本小题17分) 【详解】(1)由PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,所以PA⊥CD, 又由底面ABCD是矩形，则AD⊥CD, 又因为AD∩PA=A,AD,PAC平面PAD,所以CD⊥平面PAD, 又因为AFC平面PAD,所以CD⊥AF, 又由F为PD的中点，所以AF⊥PD, 又因为PDOCD=D,PD,CDc平面PCD,所以AF⊥平面PCD; .7分 (2) 延长CE,DA相交于点N,再过点A作PN的垂线，垂足为M,连接ME, 因为CD⊥平面PAD,ABI/CD,所以 AB⊥平面PAD,8分 又因为PNc平面PAD,所以AB⊥PN, 又因为MA⊥PN,MA∩AB=A,MA,ABc平面MAB, 所以PN⊥平面MAB,10分 又因为MEC平面MAB, 又BC∩PC=C,BC,PCC平面PCB,则AM⊥平面PCB,8分 因此点A到平面PBC的距离为线段AM的长，在Rt△ACM中， AM=ACsin∠pCA=4x5=22,9分 2 M ·点A到平面PBC的距离为2√2 (3)过点Q作QG∥PA交AB于G,连结CG, :PA⊥平面ABC, .QG⊥平面ABC,10分 ·.∠GCQ为直线CQ与平面ABC所成的角，11分 依题意可得，PA=4,AB=√AC2+BC2=V√4+42=4V2, PB=VPA+AB=V4+(42=45, sin∠PBA=PA5 PB 3 ,C0s∠PBA=AB、V6 PB 3 设0=a054.则0c=80sn∠P94-58G-s04a1= 3r, 在△BCG中，CG=VBC2+BG2-2BC·BG·cosLCBG 3-6+28 6+号-2x4x -x. -x 3 3 13分 又cos∠GcQ=30,所i以sin∠GcQ=V-Gc0= 6 6 则tan∠GCQ sin☑GCg_5 cos∠GC05 x tan∠GCQ= QG 3 √5 CG 2x2_8w5x 5，.15分 3 解得：x=45或x=-45〈舍) 3 故BQ= 45 17分 3 山大附中2024～2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨斗玉 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．斜二测画法的直观图面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 3．如图，在三棱柱中，E，F分别为AB，AC的中点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（    ） A．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5 4．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知下面给出的四个图都是正方体，A，B为顶点，E，F分别是所在棱的中点， 则满足直线的图形的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 7．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 8．已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中为真命题的有（    ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥﹐圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D．球体是旋转体的一种类型 10．以下说法正确的是（    ） A．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线平行 B．过直线外一点，可以作无数个平面与该直线垂直 C．若两个平面平行，则它们没有公共点 D．若一条直线与一个平面不垂直，则这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 11．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑中，底面，，作于，于，若，，则（    ） A．点到平面的距离恒为定值 B．鳖臑的外接球的表面积为定值 C．三棱锥也是一个鳖臑 D．当三棱锥的体积最大时， 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知三棱锥S­-ABC中，SA，SB，SC两两垂直，且SA＝SB＝SC＝2，Q是三棱锥S-­ABC外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为 ． 13．如图，在空间四边形中，，M，N分别是，的中点．若异面直线与所成的角为，则的长为 ． 14．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，三角形是底边和腰长分别为和的等腰三角形的纸片，将它沿虚线（中位线）折起来，可以得到如图所示粽子形状的四面体，若该四面体内包一蛋黄（近似于球），则蛋黄的半径的最大值为 ．    四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题13分) 在内蒙古草原上，牧民们为了更好地储存和运输牛奶，设计了一种特殊的容器.如图，该容器的上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆柱.已知圆柱的底面直径为40 cm，高为50cm，圆锥的高为20cm. (1)若容器壁的厚度忽略不计，求该容器的容积； (2)为了美观和耐用，牧民们计划在容器的外表面涂上一层特殊的防水涂料，求需要涂防水涂料的面积. 16．(本小题15分) 如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)若为的中点，求证：平面平面. 17．(本小题15分) 如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 18．(本小题17分) 已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，分别是的中点，且 (1)求证: 平面 (2)求平面与平面所成锐二面角的正弦值. 19．(本小题17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离； (3)在(2)的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $$