精品解析：山西祁县中学校2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷

2026年祁县中学高一4月份月考数学试题 时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可得出结果. 【详解】解：，， 在复平面内对应的点为，在第四象限， 故选：D. 2. 在下列各组向量中，可以做基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，为零向量，故与共线，故不能作为基底； 对于B，，故与不共线，故可以作为基底； 对于C，，故与共线，故不能作为基底； 对于D，，故与共线，故不能作为基底； 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】选项A：因为， 所以三点共线， 选项B：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，因为不共线，对应系数相等得：，方程组无解， 不存在这样的，因此与不共线，选项B错误； 选项C：若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项C错误； 选项D： 若共线，则与共线，假设存在使得， 即：，对应系数相等得：，方程组无解， 因此与不共线，选项D错误. 4. 以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实部、虚部的定义，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意的虚部为，则所求复数的实部为， 的实部为，则所求复数的虚部为， 则所求复数为. 5. 已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用棱台的体积公式可求答案. 【详解】因为正三棱台的上下底面边长分别为2和4，所以其上下底面面积分别为， 设正三棱台的高为，因为正三棱台的体积为，所以， 解得，即正三棱台的高为3. 6. 已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 7. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， 整理得，则， 因为，所以， 又由及正弦定理，得，化简得， 所以为等边三角形， 故选：B 8. 在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求解z的值，再根据复数的相关定义逐个计算判断即可 【详解】由可得 对A，z的虚部为，故A错误； 对B，z在复平面内对应的点位于第四象限，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D错误； 故选：BC 10. 如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当AB，CD共面时，AC∥BD B. 当AB∥CD时， C. 当AB=2CD时，E，F两点不可能重合 D. 当，CD是异面直线时，EF∥α 【答案】ABD 【解析】 【分析】A B由面面平行的性质定理判断；C利用反证法判断；D过点作交平面于点，取线段的中点，求证平面平面即可. 【详解】若AB，CD共面，由平面α∥平面β，平面平面，平面平面，得，故A正确； 若AB∥CD，则共面， 由A选项可知，，故四边形为平行四边形，故，故B正确； 假设E，F两点重合，则共面， 由E，F分别是线段AB，CD的中点，得与全等， 则，显然其值可以为，故假设成立， 故当AB=2CD时，E，F两点可能重合，故C错误； 过点作交平面于点，取线段的中点，连接， 由B选项可知，在平行四边形中，在中， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面α∥平面β，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故D正确. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D； 【详解】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ， ，故选项D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 13. 在中，，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于，则可知，那么根据余弦定理可知，因此可知答案为 考点：正弦定理 点评：解决的关键是根据已知的边和角，结合正弦定理来得到求解，属于基础题． 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出，结合题意，可得x，y，的值，代入求解，分析即可得答案. 【详解】由题意，则， 因为点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P，所以， 所以， ，即， 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ （1）位于第二象限； （2）位于第一象限或第三象限； （3）位于直线上. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的几何意义可知在复平面内对应点为，由题意列不等式组，解不等式组即可求出答案； （2）由题意列不等式组，解不等式组即可求出答案； （3）由题意列方程，解方程即可求出答案. 【小问1详解】 复数在复平面内对应点为， 因为在第二象限， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 由题意可知或， 解得或或， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 解得. 16. 已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明如下： 因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，，， 所以，解得. 17. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,. （1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ （2）若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？ 【答案】（1）120海里 （2）能在3小时内赶到救援 【解析】 【分析】（1）由题意，在中，根据正弦定理即可求解； （2）在中，根据正弦定理求得，进而在中，利用余弦定理求出，而，从而即可作出判断. 【小问1详解】 解：在中，因为，， 所以，，又， 所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； 【小问2详解】 解：在中，根据正弦定理可得，即，解得， 在中，由余弦定理可得，解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 18. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）证明：由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证. （2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年祁县中学高一4月份月考数学试题 时长：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在下列各组向量中，可以做基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知为不共线向量，，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 以的虚部为实部、的实部为虚部的复数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正三棱台的体积为，其上下底面边长分别为2和4，则这个正三棱台的高为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 8. 在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. D. 10. 如图，平面α∥平面β，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，E，F分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当AB，CD共面时，AC∥BD B. 当AB∥CD时， C. 当AB=2CD时，E，F两点不可能重合 D. 当，CD是异面直线时，EF∥α 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 13. 在中，，则的值为___________. 14. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点.把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到的点P的坐标为__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ （1）位于第二象限； （2）位于第一象限或第三象限； （3）位于直线上. 16. 已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 17. 海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,. （1）救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ （2）若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？ 18. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： （1） （2）平面EFG∥平面PBC． 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $