山东省淄博市桓台渔洋中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试卷

试卷第 1 页，共 4 页 高二级部 6 月月考数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若函数 3 2( ) 2 1f x x x   ，则 '( 1)f   A． 7 B． 1 C．1 D．7 2．哈市某高中二年一班有 50 名学生，其中男生 30 人，通过问卷调查得知，30% 的男生和 10%的女生曾经玩过王者荣耀手机游戏，现随机选取一名学生，此学生 恰好玩过王者荣耀，则该学生是男生的概率为（ ） A． 9 11 B． 2 11 C． 3 4 D． 1 4 3．某羽毛球队共有 11 名男队员，9 名女队员，现组成一男一女的队伍参加男女 混双比赛，则不同的组合方案共有（ ） A．9 种 B．11 种 C．20 种 D．99 种 4．已知数列 na 是各项均为正数的等比数列，其前 n项和为 nS ， 2 3 6 a a ， 4 5 24a a  ，则 6S （ ） A．63 或 63 B． 63 C．63 D．0 5．在等差数列 na 中， nS 为其前 n项的和，若 4 6S  ， 8 20S  ，则 16S （ ） A．30 B．52 C．72 D．80 6．函数 2 14y x x   的单调递增区间是（ ） A．  0, B．  ,1 C． 1 , 2       D．  1, 7．为促进消费，某商场推出抽奖游戏：甲、乙两袋中装有大小、材质均相同的 球，其中甲袋中为 4 个黑球和 6 个白球，乙袋中为 3 个黑球和 5 个白球.顾客要从 试卷第 2 页，共 4 页 甲袋中随机取出 1 个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出 1 个球， 若从乙袋中取出的球是黑球，则获得 100 元消费券，否则获得 50 元消费券.则顾 客获得 100 元消费券的概率为（ ） A． 4 15 B． 17 45 C． 26 45 D． 11 15 8．已知数列 na 满足   * 1 2 1 , N n n na a n     ，且 2 5a  ，记数列 1 1 n na a        的前 n项和为 nS ，则 49S （ ） A． 1 13 B． 1 15 C． 2 15 D．2 二、多选题 9．关于函数 31( ) 4 4 3 f x x x   ，下列说法正确的是（ ） A．它的极大值为 28 3 ，极小值为 4 3  B．当 [3, 4]x 时，它的最大值为 28 3 ，最小值为 4 3  C．它的单调递减区间为 [ 2,2] D．它在点 (0,4)处的切线方程为 4 4y x   10．某高一学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门 作为选科科目，则（ ） A．若不选择生物、政治，选法总数为 8 种 B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 3 3 6 4C C 种 C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 3 1 6 4C C 种 试卷第 3 页，共 4 页 D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 12 种 11．甲罐中有 5 个红球，2 个白球，3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 1 2 3, ,A A A 表示由甲罐取出 的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一个球，以 B 表示由乙罐 取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A．  1 5 11 P B A  B．  3 6 55 P A B  C．   2 5 P B  D．  1 5 9 P A B  三、填空题 12．设离散型随机变量 X 服从两点分布，若   1 0 3 P X   ，则  1P X   ． 13．已知数列 na 的首项 1 2a  ， 1 2 2 n n n a a a    ， 1n  ，2，3，…，则 2012a  ． 14．若函数   3 3f x x x a   有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围 . 四、解答题 15．某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于  15, 25 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示． (1)求 a的值； (2)若从高度在  15,17 和 17,19 中分层抽样抽取 5 株，在这 5 株中随机抽取 3 株，记高度在  15,17 内的株数为 X ，求 X 的分布列； (3)以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取 3 株，求至少有 2 株高度在  21,25 试卷第 4 页，共 4 页 的条件下，至多 1 株高度低于 23cm的概率． 16．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从 A ，B 两个科 室的志愿者中随机抽调 4 人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已 知A ， B 两个科室中的志愿者分布如下： 类别科 室 志愿者 医生 护士 A 科室 2 3 B 科室 3 3 (1)求抽到的 4 人中，恰好有 2 名医生，且这 2 名医生恰好来自同一科室的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中医生的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17．已知数列{ }na 满足： 1 1a  ，   * 1 2n na a n   N ，数列{ }nb 为单调递增 的等比数列， 2 2b  ，且 1b ， 2b ， 3 1b  成等差数列. (1)求数列{ }na ，{ }nb 的通项公式； (2)设 n n nc a b  ，求数列{ }nc 的前n项和 nT . 18．已知函数 ( ) e e 1xf x x   ． (1)求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； (2)证明： 1x  ， ( ) lnf x x x  ． 19．已知函数    ln 2 , e 1xf x x x x g x x    . (1)求  f x 的单调区间； (2)证明：当  0,x  时，    f x g x . 答案第 1 页，共 15 页 《高二级部 6月月考数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C C B A ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】试题分析：因为 3 2( ) 2 1f x x x   ，所以 2( ) 3 4 ,f x x x  则 ( 1) 1f    .故选 B. 考点：导数的基本运算. 2．A 【分析】利用条件概率公式即得. 【详解】由题可知曾经玩过王者荣耀手机游戏的男生有 9 人，曾经玩 过王者荣耀手机游戏的女生有 2 人， 设事件 A 为选到的学生玩过王者荣耀，事件 B 为选到的学生为男生， 则   9 2 11 50 50 P A    ，   9 50 P AB  ， ∴       9 | 11 P AB P B A P A   . 故选：A. 3．D 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】依题意，求不同的组合方案需要两步，先取男队员有 11 种 方法，再取女队员有 9 种方法， 答案第 2 页，共 15 页 所以不同的组合方案共有11 9 99  . 故选：D 4．C 【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式求解即可． 【详解】设等比数列 na 的公比为 q ，由题意可得 0q  且 1q  ， 因为 2 3 6 a a ， 4 5 24a a  ，所以 2 1 1 3 4 1 1 6 24 a q a q a q a q       ， 两式相除得 2 4q  ，解得 12 1q a   ,( 2q   舍去). 所以 6 6 1 2 63 1 2 S     . 故选：C. 5．C 【分析】利用等差数列的前 n 项和公式求出首项和公差，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为 d， 则 4 1 8 1 4 3 4 + 6 2 8 7 8 + 20 2 S a d S a d         ，即 1 1 4 +6 6 4 +14 10 a d a d    ，解得 1 3 1 , 4 2 a d  ， 16 3 16 15 1 16 + 12+60 72 4 2 2 S        . 故选：C. 6．C 【解析】求出函数 2 14y x x   的导数，由导数大于 0 即可得增区间. 答案第 3 页，共 15 页 【详解】因为   2 1 4y f x x x    ，    ,0 0,x   ， 所以   3 2 2 1 8 1 8 x f x x x x      ， 令   0f x  ，解得 1 2 x  ，即函数 2 14y x x   的单调递增区间是 1 , 2       ， 故选：C. 7．B 【分析】根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求出概率，再 利用全概率公式计算即得. 【详解】记顾客获得 100 元消费券的事件为 A ，从甲袋中取出黑球的 事件为 B ， 则 4 2 ( ) 10 5 P B   ， 3 ( ) 5 P B  ， 4 3 1 ( | ) , ( | ) 9 9 3 P A B P A B   ， 所以 2 4 3 1 17 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 5 9 5 3 45 P A P AB AB P B P A B P B P A B         . 故选：B 8．A 【分析】按 n为奇数和偶数讨论得到 1n na a  的通项公式，利用裂项相 消法求数列 1 1 n na a        的前n项和. 答案第 4 页，共 15 页 【详解】 1 22 7a a     ，当   *2 1n k k  N 时， 1 1 22, 2n n n na a a a       ， 两式相减得， 2 4n na a   ， 所以 na 的奇数项是以 7 为首项，4 为公差的等差数列， 1 7 4 1 2 9 2 n n a n             ， 当  *2n k k N 时， 1 1 22, 2n n n na a a a       ，两式相减得， 2 4n na a    ， 所以 na 的偶数项是以 5 为首项， 4 为公差的等差数列， 5 4 1 9 2 2 n n a n            ； 综上可知：     1 *1 2 9 , N n na n n      ， 所以       1 21 ( 1) 2 9 ( 1) 2 7 2 9 2 7 n n n na a n n n n              ， 设 1 1 n n n b a a   ，则    1 1 1 1 2 9 2 7 2 2 9 2 7 nb n n n n              ， 所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 7 5 5 3 3 1 2 9 2 7 n nS b b b b n n                                              1 1 1 2 7 2 7 14 49 n n n            ， 则 49 49 1 14 49 49 13 S     . 答案第 5 页，共 15 页 故选：A 9．ACD 【分析】求导判断函数单调性，进一步可判断函数极值以及它在闭区 间上的最值情况即可判断 ABC，由导数的几何意义可判断 D. 【详解】 函数 31( ) 4 4 3 f x x x   ，     2 4 2 2f x x x x      ． 由 ( ) ( 2)( 2) 0f x x x    ，得 2x  或 2x   ，此时函数单调递 增； 由 ( ) ( 2)( 2) 0f x x x     ，得 2 2x   ，此时函数单调递减， C 正确； 当 2x   时，函数 ( )f x 取得极大值 28 ( 2) 3 f   ， 当 2x  时，函数 ( )f x 取得极小值 4 (2) 3 f   ，A 正确； 当 [3,4]x 时， ( )f x 单调递增，它的最大值为 34 28 (4) 4 4 4 3 3 f      ， 最小值为 33 (3) 4 3 4 1 3 f      ，B 错误； (0) 4f    ， (0) 4f  ，它在点 (0,4)处的切线方程为 4 4y x   ，D 正确． 故选：ACD. 10．BCD 【分析】利用组合计数依次对各个选项分析，采用间接法求得选法总 答案第 6 页，共 15 页 数. 【详解】对于 A 选项：已知不选择生物、政治，则从剩余的 4 门课 程中选择三门作为选修科目， 可得选法总数为 3 4C 4 种，故 A 不正确； 对于 B 选项：采用间接法，六门课程中选三门，选法总数为 3 6C 种， 若物理和化学均不选，选法总数为 3 4C 种， 若物理和化学至少选一门，选法总数为 3 3 6 4C C 种，故 B 正确； 对于 C 选项：采用间接法，若物理和历史同时选，选法总数为 1 4C 种， 若物理和历史不能同时选，选法总数为 3 1 6 4C C 种，故 C 正确； 对于 D 选项：在物理和历史不同时选的前提下，排除物理和化学均 不选， 结合选项 B、C 可知：选法总数为 3 1 3 6 4 4C C C 20 4 4 12      种， 故 D 正确； 故选：BCD． 11．ABD 【分析】求得  1P B A 的值判断选项 A；求得  3P A B 的值判断选 项 B；求得  P B 的值判断选项 C；求得  1P A B 的值判断选项 D. 【详解】由题意知， 1 2 3, ,A A A 是两两互斥的事件， 1 2 3 5 1 2 1 3 ( ) , ( ) , ( ) 10 2 10 5 10 P A P A P A     ,  1 1 5 52 11 1 11 2 P B A    ，则 A 正确； 答案第 7 页，共 15 页      3 3 3 3 4 3 610 11= | = = 310 55 10 P A B P A P B A   ，则 B 正确；        1 2 3P B P A B P A B P A B              1 1 2 2 3 3= | | |P A P B A P A P B A P A P B A  1 5 1 4 3 4 2 = 2 11 5 11 10 11 5 9 22        ，则 C 错误；         1 1 1 1 5 52 11 9 9 22 P A P B A P A B P B     ，则 D 正确. 故选：ABD 12． 2 3 【分析】直接根据两点分布的性质计算可得； 【详解】解：因为离散型随机变量 X 服从两点分布，且   1 0 3 P X   所以   1 2 1 1 3 3 P X     故答案为： 2 3 【点睛】本题考查两点分布的性质，属于基础题. 13． 1 1006 【分析】将 1 2 2 n n n a a a    两边取倒数，即可得到 1 1 1 1 2n na a   ，从 答案第 8 页，共 15 页 而得到 1 na       是以 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列，即可求出 1 na       的通项公式，即可得解； 【详解】解：因为 1 2a  ， 1 2 2 n n n a a a    ，所以 1 1 1 1 2n na a   ，即 1 1 1 1 2n na a   ，所以 1 na       是以 1 2 为首项， 1 2 为公差的等差数列， 所以   1 1 1 1 1 2 2 2n n n a     ，所以 2 na n  ，所以 2012 2 1 2012 1006 a   故答案为： 1 1006 14．  2,2 【分析】讨论函数的单调性进而得出极值点，再结合零点存在定理和 放缩法即可证明. 【详解】 Rx ，   3 3f x x x a   ，     23 3 3 1 1f x x x x     ， 令      0 , 1 1,f x x         ，令    0 1,1f x x     ， 于是  f x 在  , 1  单调递增，在  1,1 单调递减，在  1, 单 调递增， 所以 1x   时，函数有极大值为  1 2f a   ， 1x  时，函数有 极小值为  1 2f a   . 答案第 9 页，共 15 页 由题意函数在 R 上由 3 个不同的零点，则根据三次函数的性质知     1 2 0 2 2 1 2 0 f a a f a              . 故答案为：  2,2 . 15．(1) 0.125a  (2)答案见解析 (3) 26 125 【分析】（1）根据各小组的频率之和等于 1 列式计算即得； （2）根据抽样比得到高度在  15,17 和 17,19 的株数分别为2和3， 确定 X 的可能取值，利用超几何分布计算各概率值，写出分布列即 可； （3）根据独立重复概率公式，以及条件概率公式，即可求解. 【详解】（1）依题意可得  0.05 0.075 0.15 0.1 2 1a      ，解 得 0.125a  ； （2）结合（1）的结论，可得高度在  15,17 和  17,19 的频率分别 为 0.1 和 0.15， 所以分层抽取的 5 株中，高度在  15,17 和 17,19 的株数分别为 2 和 3， 则 X 可取 0，1，2，于是，   3 3 3 5 C 1 0 C 10 P X    ， 答案第 10 页，共 15 页   2 1 3 2 3 5 C C 3 2 3 1 C 10 5 P X       ，   1 2 3 2 3 5 C C 3 1 3 2 C 10 10 P X       所以 X 的分布列为： X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 （3）从所有花卉中随机抽取 3 株，记至少有 2 株高度在  21,25 为 事件 M ， 至多 1 株高度低于 23cm 为事件 N ， 因高度在  21,25 内的频率为 (0.15 0.1) 2 0.5   ，即 1 2 ， 高度在  21, 23 内的频率为0.15 2 0.3  ，即 3 10 ， 高度在  23,25 内的频率为0.1 2 0.2  ，即 1 5 ， 则   3 2 2 13 1 1 1 1 ( ) C ( ) ( ) 2 2 2 2 P M     ， 而   2 2 3 1 2 3 3 1 1 1 3 1 26 C C 2 5 5 10 5 250 P MN                         ， 答案第 11 页，共 15 页 所以       26 26250 1 125 2 P NM P N M P M   ∣ . 16．(1) 2 11 (2)分布列见解析，   20 11 E X  【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式即可求解； （2）分析可知，随机变量 X 的所有可能取值为 0 、1、2 、3、4 ， 计算出随机变量 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分布 列，进而可求得  E X 的值. 【详解】（1）由已知，恰好有 2 名医生的情况包含这 2 名医生都来自 A 科室和都来自 B 科室， 有 2 2 2 2 2 6 3 6C C C C 种情况，从 11 人中抽 4 人有 4 11C 种情况， 所以所求的概率为 2 2 2 2 2 6 3 6 4 11 C C C C 60 2 C 330 11    . （2）随机变量 X 的所有可能取值为 0 、1、 2 、3、 4 ，   0 4 5 6 4 11 C C 1 0 C 22 P X    ，   1 3 5 6 4 11 C C 10 1 C 33 P X    ，   2 2 5 6 4 11 C C 5 2 C 11 P X    ，   3 1 5 6 4 11 C C 2 3 C 11 P X    ，   4 0 5 6 4 11 C C 1 4 C 66 P X    ， 答案第 12 页，共 15 页 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 22 10 33 5 11 2 11 1 66 所以   1 10 5 2 1 20 0 1 2 3 4 22 33 11 11 66 11 E X            . 17．(1) 2 1na n  ， 12nnb  ； (2) 2 2 1nn   . 【分析】（1）根据等差数列的定义写出{ }na 的通项公式，由等差中 项的性质有 2 1 32 1b b b   ，应用等比数列的通项公式求公比，进 而确定{ }nb 的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比前 n 项和公式求 nT . 【详解】（1）因为 * * 1 12( ) 2( )n n n na a an a n      N N ， 又 1 1a  ， 故{ }na 是以 1 1a  为首项，2 为公差的等差数列， 所以 1 2( 1) 1 2( 1) 2 1na a n n n        ， 又 1b ， 2b ， 3 1b  成等差数列，故 2 1 32 1b b b   ， 设 nb 的公比为 q ，其中 2 2b  ，则 2 4 2 1q q    ，解得 2q 或 1 2 当 2q 时， 1 1b  ，此时 1 1 1 2 n n nb b q ，为递增数列，满足要求， 当 1 2 q  时， 1 4b  ，此时 3 1 1 1 2 n n nb b q          ，为递减数列，舍去， 综上， 2 1na n  ， 12nnb  ； 答案第 13 页，共 15 页 （2）由（1） 12 1 2nn n nc a b n      ， 0 1 1 1 2 (1 2 ) (3 2 ) (2 1 2 ) n n nT c c c n           0 1 1(1 3 2 1) (2 2 2 )nn         0(1 2 1) 2 (1 2 ) 2 1 2 nn n      2 2 1nn   . 18．(1) 1 0y  (2)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率 (1)f  ，再确定切 点纵坐标 (1)f ，从而得切线方程. （2）构造函数 ( ) ln 1 , 1g x x x x    求导确定单调性即可得 ln 1x x  ，再设 ( ) e , 1xh x x x   ，求导确定单调性，从而可得 ( ) (ln 1)h x h x  ，结合指数与对数运算即可证得结论. 【详解】（1）函数 ( ) e e 1xf x x   ，求导得 ( ) xf x e e   ，则 (1) 0f   ，又 (1) 1f  ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 1 0y  . （2）设 ( ) ln 1 , 1gx x xx    ，求导得 1 1 ( ) 1 0 x g x x x       ， 函数 ( )g x 在[1, ) 上单调递减， ( ) (1) 0g x g  恒成立，即 ln 1 0x x   ，因此1 ln 1x x   ， 设 ( ) e , 1xh x x x   ，求导得 ( ) e 1 0xh x    ，函数 ( )h x 在 [1, ) 上单调递增， 则 ( ) (ln 1)h x h x  ，则 ln 1e e (ln 1)x xx x    ，即 答案第 14 页，共 15 页 e e ln 1x x x x    ， 所以 e e 1 lnx x x x    ，即 ( ) lnf x x x  . 19．(1)单调递增区间为  3e ,   ，单调递减区间为  30,e . (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数单调性即可； （2）要证    f x g x ，即证 ln 2 e 1xx x x x   ，将指数函数与 对数函数分离，即证 1 ln 2 exx x    ；构造函数，借助导数及中间 函数得证. 【详解】（1）函数   ln 2 , 0f x x x x x   ，   ln 3f x x  ，令 ln 3 0x  ，解得 3x e ， 当 3ex  时，   0f x  ；当 30 ex   时，   0f x  ， 故  f x 的单调递增区间为  3e ,   ，单调递减区间为  30,e . （2）因为    ln 2 , e 1xf x x x x g x x    ， 0x  ， 要证    f x g x ， 即证 ln 2 e 1xx x x x   ，即证 1 ln 2 exx x    . 令函数   1 ln 2 2 , 0h x x x x x      ， 则   2 2 2 1 1 2 1 2 x x h x x x x        ， 令 2 2 2 1 0 x x x     ，解得 1 2 x   或 1x  ， 当 1x  时，   0h x  ；当0 1x  时，   0h x  ， 答案第 15 页，共 15 页 所以  h x 的单调递增区间为  0,1 ，单调递减区间为  1,  ， 则    1 1 0h x h    ，所以 1 ln 2 2x x x    . 令函数   e 2 , 0xu x x x   ，则   e 2xu x   ， 当 ln2x  时，   0u x  ；当 0 ln2x  时，   0u x  ， 所以  u x 的单调递增区间为  ln2,  ，单调递减区间为  0, ln2 ， 则    ln2 2 2ln2 0u x u    ，所以 e 2x x ， 故 1 ln 2 exx x    ， 即当  0,x   时，    f x g x 得证.