精品解析：2025年河北省邯郸市部分学校中考模拟数学试题

2025年河北省初中学业水平考试数学模拟卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，0， |四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，求绝对值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 首先计算绝对值，然后根据有理数大小比较的法则判断即可． 【详解】解：， ∵ ∴最大的数是， 故选：B． 2. 如图，O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点P．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：， ； ， ， 故选：A． 3. 计算，则“”为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂除法计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法计算，正确理解题意是解题的关键． 4. 如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C， 故选：C． 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的运用，确定的值是解题的关键． 科学记数法的形式为，确定值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值；由此即可求解． 【详解】解：前三日，总票房便达到亿元， ∴平均每天的票房为（亿）， ∴亿， 故选：D ． 7. 如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所标元素能组成“”（一氧化碳）的有种， 所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率为， 故选：D． 9. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先列式，结合分式有意义的条件进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ， ∵， ∴， ∵， 故A选项不符合题意； ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则（舍去）， ∴当时，则， 故选：D 10. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．在卷八方程篇中，记录了如图的数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有5只雀，6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记1斤为16两，则设1只雀x两，一只燕y两，则下列正确的是（ ） A. B. C. 雀重一两 D. 燕重一两 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，由题意可得已知条件为：5只雀、6只燕重量共一斤；将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，由此建立方程． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 11. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3或4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，由根的判别式得，求出，当时，当时，分别求出，结合图象求出取值范围，再由整点的定义，即可求解；理解新定义，能根据根的判别式及数形结合进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 整理得：， 抛物线a和线段b有两个交点， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 当时， ， ， 解得：， 大致图象如下： ， 为整数， 为或或， 当时，与的交点为，，符合题意； 当时，与的交点为不是整点，不符合题意； 当时，与的交点为，，符合题意； 的值为或， 故选：C． 12. 如图，在中，，点E是边上一点，将沿折叠，是点B的对应点．若点落在内（不包括边界），则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形与折叠问题，解直角三角形，勾股定理，二次根式比较大小，分点恰好落在上和点恰好落在上，两种情况分别求出对应的的长，进而得到的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当点恰好落在上时， 由折叠的性质可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴； 如图所示，当点恰好落在上时，过点A作于H， 由折叠的性质可得，， ∴，， 由平行四边形的性质可得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点落在内（不包括边界）时，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 综上所述，只有C选项符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据根式加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查根式的加减运算，及根式相等的条件，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式及根式相等即被开方数相同． 14. 设、是方程的两个根，且，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，得出，，代入，即可求出m的值． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两根时，， ． 15. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确构造辅助线，运用相似三角形解决问题是解题的关键． 先确定比例函数解析式为，过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作交于点，则，求出，则，可求的点的坐标为，则，再由相似比例式求得，即可求解，即可求解点的纵坐标． 【详解】解：由点在反比例函数的图象上，可知， ∴反比例函数解析式为：； 过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作于点D，交于点， ∴， ∴， ∴， 如图，点，， ． ∴， 又，， ， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∵， ∴， ∴， ，即点的纵坐标为4． 故答案为：4． 16. 如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据题意延长于点，延长交于点，证明是等边三角形，将转化为，即可得到答案． 【详解】解：延长于点，延长交于点， 正六边形， ， ， 则和是等边三角形， ，且， ， ， ， 故也是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【详解】解：（1）． 答：上所有数字的和为； （2）根据题意得：，解得：． ∴符合条件的的正整数解为． 18. 如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． （1）求和的值； （2）记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：能被4整除，理由如下， ，， ，， ， 为整数， ，是两个连续的整数，其中必有一个为偶数， 能被4整除，即的结果能被4整除． 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式的运算法则计算出，再根据题意可得，，即可得到答案； （2）先将（1）中和的值代入，再根据运算法则求得，结合为整数，即可判断． 【小问1详解】 解：由题意，， ， ，， 解得：，． 【小问2详解】 略 19. 2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 （1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； （2）求甲组学生成绩的平均分和中位数； （3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 【答案】（1）7， 乙组成绩条形统计图如下： （2）， （3）2 【解析】 【分析】本题主要考查了统计表，扇形统计图，条形统计图，平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念． （1）利用部分的实际数据除以占比得总数，即可求得结果； （2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，利用中位数的公式求得中位数； （3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可． 【小问1详解】 解：由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为， 所以乙组人数为：，则8分人数为： 所以，甲组人数也为20，， 所以，的值为7； 【小问2详解】 解：甲组学生成绩的平均分为：， 甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为； 【小问3详解】 解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：， 甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为， 所以，这名学生至少增加2分． 20. 切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． （1）求的半径； （2）在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 【答案】（1） （2）；旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断 【解析】 【分析】（1）设半径为，由三角函数得，解之即可； （2）如图，连接，由勾股定理得，由垂径定理得，最后根据，即可求解； 如图，当旋转到时，，由含的直角三角形的性质得，由勾股定理得，所以，因为，所以当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【小问1详解】 解：设半径为， 当恰好和相切时，，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， 在中，， ， ； 如图，当旋转到时，， ， ， 连接，在中，， ， ， 当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，含的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 21. 有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均排出优惠方案.甲园的优惠方案是:采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过超过部分折优惠；乙园的优惠方案是:游客进园需购买元门票.采摘的草莓直接按降价出售.已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同. 在乙采摘园所需费用( 元)与草梅采摘量(千克)满足一次函数关系，如下表: 数量/千克 ··· 费用元 ··· （1）求与的函数关系式(不必写出的范围)； （2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格.并求在甲采摘园所需费用(元)与草莓采摘量(千克)的函数关系式； （3）若嘉琪准备花费元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？ 说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）去乙园采摘可以得到更多数量的草莓. 【解析】 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法由当时，； 当时，即可求解； （2）设草莓在生长旺季前的销售价格为元/千克，根据在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同列方程即可求出销售价格为元/千克；依据收费规则直接可得； （3）利用已求出函数解析式分别求出当花费元可得草莓数量进行比较即可解答． 【详解】解:（1）设与的函数关系式为 当时，； 当时， 解得: ． （2）设草莓在生长旺季前的销售价格为元/千克，根据题意，得： 解得:(元/千克)． ． 答：去乙园采摘可以得到更多数量的草莓． 当时，有:． 解得； 当时，， ， 解得， ． 去乙园采摘可以得到更多数量的草莓． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 22. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 23. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】（1）点P的坐标为，最高点的坐标为 （2）①；② （3） （4）2个或3个 【解析】 【分析】由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为； ①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为； 根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； 由，，得到，设竖直摆放的回收箱有m个，得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：点P在抛物线上，且在y轴上， 当时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； 【小问2详解】 ①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； 【小问4详解】 ，， ， 对于， 当时，， 当时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为2个或3个． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 24. 如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． （1）的长为______； （2）如图2，当点D和点C重合时，求的长； （3）①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； （4）如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 【答案】（1） （2） （3） ①如图2所示，线段即为所求． ② （4）， 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求解； （2）当点D和点C重合时，根据，求得的值，进而求解的值， （3）①根据题意，作图即可，②当点D在射线上时，根据对称性，可知，进而求解的值， （4）当点D恰好落在边上时，过点Q作，判定，，当点D落在上时，进而求解的值； 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点D和点C重合时，如图1，，，， 则由题意可得， 所以， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：①略 ②当点D在射线上时，根据对称性，可知， ∵，， ∴，解得：； 【小问4详解】 解：当点D恰好落在边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3． ∴， ∴． ∴， 设，则，． ∵，， ， ， ∴， ∴． 由，得，， 解得， ， 将代入，得， 解得：． 如图4，当点D落在上时， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：． 所以点D在内部的时长为， 综上，t的值为，． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试数学模拟卷 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在，，0， |四个数中，最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 如图，O是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点P．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 计算，则“”为（ ） A. 3 B. 9 C. D. 2 4. 如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 5. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 6. 在2025年春节档期，电影市场的热度持续高涨．电影《哪吒之魔童闹海》上映前三日，总票房便达到亿元，这部电影在上映前三日平均每天的票房为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一个不透明的袋子中装有个分别标有化学元素符号，，，的小球，这些小球除元素符号外无其他差别，从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“”（一氧化碳）的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，则的值可能为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 10. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．在卷八方程篇中，记录了如图的数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕雀重一斤．问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有5只雀，6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记1斤为16两，则设1只雀x两，一只燕y两，则下列正确的是（ ） A. B. C. 雀重一两 D. 燕重一两 11. 如图，已知抛物线，线段．若抛物线a和线段b有两个交点，且两个交点均为整点（横、纵坐标均为整数的点），则整数m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 2或4 D. 2或3或4 12. 如图，在中，，点E是边上一点，将沿折叠，是点B的对应点．若点落在内（不包括边界），则的长可能是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若，则________． 14. 设、是方程的两个根，且，则________． 15. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 16. 如图，在边长为2的正六边形中，点在上，一束光线从点出发，照射到镜面上的点处，经反射后射到上的点处，且，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 18. 如图，将上层的两个关于的整式（，为常数）相乘得到下层的整式． （1）求和的值； （2）记，，若为整数，试判断的结果能否被4整除？说明理由． 19. 2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）． 甲组成绩统计表 分数 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 2 （1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整； （2）求甲组学生成绩的平均分和中位数； （3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分． 20. 切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，． （1）求的半径； （2）在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度． 如图，，当时，求切割的长度为多少； 当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！ 21. 有甲、乙两家草莓采摘园，草莓的销售价格相同，在生长旺季，两家均排出优惠方案.甲园的优惠方案是:采摘的草莓不超过时，按原价销售；若超过超过部分折优惠；乙园的优惠方案是:游客进园需购买元门票.采摘的草莓直接按降价出售.已知在甲园、乙园采摘草莓时，所需费用相同. 在乙采摘园所需费用( 元)与草梅采摘量(千克)满足一次函数关系，如下表: 数量/千克 ··· 费用元 ··· （1）求与的函数关系式(不必写出的范围)； （2）求两个采摘园的草莓在生长旺季前的销售价格.并求在甲采摘园所需费用(元)与草莓采摘量(千克)的函数关系式； （3）若嘉琪准备花费元去采摘草莓，去哪个园采摘，可以得到更多数量的草莓？ 说明理由. 22. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 23. 嘉淇为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图15所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球看成点以某种特定的角度和初速度从y轴上的点P处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． （1）求出点P及抛物线最高点的坐标； （2）若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的，求： ①乒乓球与斜面接触点的坐标； ②抛物线的解析式． （3）嘉淇发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”请求出平移的最短路程； （4）在x轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是，．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内（不含边缘）时，直接写出可竖直摆放的回收箱的个数． 24. 如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． （1）的长为______； （2）如图2，当点D和点C重合时，求的长； （3）①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； （4）如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $